ただの整数問題

問題文

次の関数方程式を満たす関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ をすべて求めよ。
$$f(f(x) + y) = f(x^2 - y) + 4xf(y)$$
さらに、実定数 $c$ に対して定義される方程式 $f(f(x) + y) = cx + f(f(y) - x)$ が、定数関数でない多項式解 $f(x)$ を持つための $c$ の条件を特定せよ。

解答形式

例）文章で解き方含め入力してください。

問題文

nを正の整数とし、
$$
ω(n)=nの異なる素因数の個数
\\
Ω(n)=nの重複込みの素因数の個数
$$
とします。
例えば、
$$
2100=2^{2}×3×5^{2}×7
\\
7=7
$$
なので、

$$
ω(2100)=4
\\
Ω(2100)=2+1+2+1=6
\\
ω(7)=1
\\
Ω(7)=1
$$
となります。

$$
\sum_{n=1}^{256} Ω(n)-ω(n)
$$
を求めなさい。
ただし、√256以下の素数は2,3,5,7,11,13です。

解答形式

半角正整数

問題文

$\angle B$が鋭角である四角形$ABCD$が以下を満たした. このとき$\angle B$の大きさを求めよ.
$\angle A =70^\circ \quad\angle D=100^\circ\quad BC=CD=DA $

解答形式

正の整数で解答して下さい。(単位不要です)

問題文

網掛けになっている小さい正六角形と大きい正六角形の面積比は、互いに素な自然数 $a,b$ を用いて $a:b$ と表せます。 $a+b$ の値を答えてください。

問題文

正の整数の組$(a,b)$であって, $a^b-ab=k$を満たすようなものが存在する2026未満の正の整数$k$であって最大のものを求めよ.

解答形式

正整数で解答して下さい

$AB < AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ において辺 $BC$ を $2:1$ に内分する点を $D,1:3$ に内分する点を $E,$ 三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とすると $\angle DHE=90°$ で，四点 $A,C,D,H$ は共円となりました。$BC=9$ の時，$AB^2$ を求めてください.

問題文

ゲームを始める前に、プレイヤーは以下の5枚のカードから1枚を選ぶ.
Aのカードには「1、4、7、9」
Bのカードには「1、3、8、9」
Cのカードには「2、3、6、9」
Dのカードには「2、4、5、9」
Eのカードには「5、6、7、8、9」
という数字が書かれている.
カードを1枚選んだのち, スロットを1度回す. 出た数字が選んだカードに書かれていれば勝ち, 書かれていなければ負けである.
このゲームについて調べたところ, AからEまでのどのカードを選んでも勝つ確率は$\dfrac12$であった.
このとき, スロットを1度回して「9」が出る確率を求めよ.

解答形式

答えは互いに素な正の整数$ a, b $を用い$\dfrac{a}{b}$と表されるので$a+b$を解答せよ.

第6問

次の和が発散することを示しなさい。
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$$

第3問

次の不定積分を求めなさい。
$$\int \frac{1}{6x^2+8}dx$$

問題文

鋭角三角形ABCにおいてAからBCに下ろした垂線の足をDとし, 三角形ABCの外接円と直線ADとの交点のうちAでない方をEとする.
外接円の中心をOとしたとき, 次が成り立った.

OD ⊥ BE
BD = 2, DC = 2√7

外接円の半径が4であるとき, 三角形ABCの面積を求めてください.

解答形式

正整数 a, bを用いてa + √bと表せるので, a + b の値を解答してください.

長方形ABCDがあり
ADがBCより上
AD上にAE=3cmとなるEを取り
AB上にAF=2cmとなるFを取る。
FとEを結ぶ
BとDを結ぶ
AとCを結ぶ
ACとEFの交点をG
ACとBDの交点をHとする。
またEとHを結びBCとの交点をI
IとGを結ぶBDとの交点をJとする。
AB=3cm
BC=4cm
であるとき。
三角形GIEの面積を求めよ

解答形式

問題文

x⁷＋x⁵＋x⁴＋x³＋x²＋１を因数分解しなさい。

解答形式

（）は全角でｘは半角で打ってください