ただの整数問題

問題文

網掛けになっている小さい正六角形と大きい正六角形の面積比は、互いに素な自然数 $a,b$ を用いて $a:b$ と表せます。 $a+b$ の値を答えてください。

第3問

次の不定積分を求めなさい。
$$\int \frac{1}{6x^2+8}dx$$

問題文

次の関数方程式を満たす関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ をすべて求めよ。
$$f(f(x) + y) = f(x^2 - y) + 4xf(y)$$
さらに、実定数 $c$ に対して定義される方程式 $f(f(x) + y) = cx + f(f(y) - x)$ が、定数関数でない多項式解 $f(x)$ を持つための $c$ の条件を特定せよ。

解答形式

例）文章で解き方含め入力してください。

問題文

鋭角三角形ABCにおいてAからBCに下ろした垂線の足をDとし, 三角形ABCの外接円と直線ADとの交点のうちAでない方をEとする.
外接円の中心をOとしたとき, 次が成り立った.

OD ⊥ BE
BD = 2, DC = 2√7

外接円の半径が4であるとき, 三角形ABCの面積を求めてください.

解答形式

正整数 a, bを用いてa + √bと表せるので, a + b の値を解答してください.

長方形ABCDがあり
ADがBCより上
AD上にAE=3cmとなるEを取り
AB上にAF=2cmとなるFを取る。
FとEを結ぶ
BとDを結ぶ
AとCを結ぶ
ACとEFの交点をG
ACとBDの交点をHとする。
またEとHを結びBCとの交点をI
IとGを結ぶBDとの交点をJとする。
AB=3cm
BC=4cm
であるとき。
三角形GIEの面積を求めよ

解答形式

第6問

次の和が発散することを示しなさい。
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$$

問題文

x⁷＋x⁵＋x⁴＋x³＋x²＋１を因数分解しなさい。

解答形式

（）は全角でｘは半角で打ってください

問題文

扇形AOB、正方形AOFE、正方形BODCがあり、AO、BOで辺を共有している。(それぞれ重なり合わない)
正方形の面積は48㎠であり、角AOB＝60°である。
この時、次の文の(ア)〜(カ)に当てはまる数字を答えなさい。

(1)線分CEの長さは(ア)√(イ)+(ウ)cmである

(2)角OAG＝2°となるような点Gを線分CE上に取る。ただし点Gは扇形の内部にある。　　
点Gから弦AB、辺CD、辺EFに向かって垂線を引き、それぞれの交点をP、Q、Rとする。
この時GP+GQ+GR＝(エ)√(オ)+(カ)cmである

解答形式

行ごとにジャッジをするため、ア、イ、ウ､､､ごとに行を変えながら答えを書きなさい。左詰めで書くこと！
(例)
1
2
3
4
5
6

問題

$y=x^{2}$のグラフ上に$x$座標が$n-1,n,n+1$である$点A,B,C$がある。$点A,点B$を通る直線をグラフ$l$、$点B,点C$を通る直線をグラフ$m$とする。グラフ$l,m$と$y$軸の交点を$点D,E$とするとき$△DEB$の面積は$ab^{c}$と表せるこのときの$a,b,c$の値を求めよ。

解答形式

一行目に$a$の値を、二行目に$b$の値を、三行目に$c$の値を、書いてください。

問題

一辺が、$6\sqrt{3}$の$正三角形ABC$がある。
ここで、操作1
「$PA:PB:PC=1:2:3$となる$点P$を三角形の内部にとる。$点P$を頂点とし、$辺AB,BC,CA$の一部をそれぞれ底辺とする正三角形を作る。」を行う。
次に操作$n$$(2\leq n\leq 2027^{2026})$とする。
「操作$(n-1)$でできた三角形において、それぞれ新たな$点A,B,C$を定め、操作1を行う。」を操作$2027^{2026}$まで繰り返す。
操作$2027^{2026}$でできた三角形全てに操作$n$と同じように$点P$を定め、それぞれの三角形の三辺に$点P$から垂線を引く。この垂線全ての長さの和を求めてください。

$AB < AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ において辺 $BC$ を $2:1$ に内分する点を $D,1:3$ に内分する点を $E,$ 三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とすると $\angle DHE=90°$ で，四点 $A,C,D,H$ は共円となりました。$BC=9$ の時，$AB^2$ を求めてください.

問題文

鋭角不等辺三角形ABCが存在する。
内心をI,外心をO,垂心をH、重心をGとする。∠Aの内側にある傍心をJとする。
内接円とAB,ACとの接点をD,Eとして、CD,BEの交点をUとする。BC上にPをとり、BCの中点をM,AからBCに下ろした垂足をFとすると、FPの中点はMとなった。AHの中点をKとして、KMの中点をNとする。また、IUと、Pを通りAFと平行な直線の交点をLとする。JからBCに下ろした垂線とIOの交点をVとする。さらに、Aを含まない方の弧BCの中点をBCで対称移動させた点をA1とし、線分CH上にCZ=2DIとなるZをとり、三角形A1ZHの外心をWとする。GWとNVの交点をXとし、GVとXLの交点をYとする。XY/YLを求めよ。

解答形式

解答は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表せるので、$a,b$を($10$進法において)この順に連結して出力して下さい。