TMC002(I)

$AB$ < $AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ について点 $A$ から辺 $BC$ に下した垂線の足を $D,$ 点 $C$ から辺 $AB$ に下した垂線の足を $E,$ 線分 $BC$ の中点を $M$ とし$,$垂心を $H$ とします.三角形 $BHC$ の外接円と 線分 $AM$ の交点を $K$ とし直線 $KH$ と直線 $BC$ の交点を $P$ とすると次のことが成り立ちました. $$\dfrac{PB}{DM}=\dfrac{3}{4}, \dfrac{AE}{EC}=\dfrac{2}{3},PE=\dfrac{15}{\sqrt{13}}$$このとき三角形 $ABC$ の面積を求めてください.

次の条件を考えます

条件$i:$ $3 \times 3$ のマス目に $1$ から $9$ の数字を $1$ 回ずつ書き込む方法であってどの $2 \times 2$ の $4$ マスを選んでもそこに書かれている数字の総和が $i$ 以下である.

条件を満たす配置が少なくとも $1$ つ存在するような $i$ の最小値を $i_{min}$とする時 $,$条件$i_{min}$を満たすような数字の書き込み方は何通りありますか.

非負の実数の数列 $\lbrace a_{n} \rbrace (n=0,1,2,\cdots)$は次の $3$ つの条件を満たしている.

条件 $1:$ $ a_{n+1}=2a_{n}+3 \lfloor a_{n} \rfloor$
条件 $2:$ $a_{100}$ は整数で,しかも $4$ の倍数である$.$
条件 $3:$ $0 \le a_{0} < 2$

$a_{0}$の取りうる値は $N$ 個あるので $,$ $N$ が $2$ で割り切れる最大の回数を解答してください.

$401$ のようにすべての桁が平方数からなる正の整数を $fool$ 数と呼びます. $1000$ 桁の $fool$ 数のうち $7$ の倍数であるものの個数を $N$ としたとき$,$ $N$ を素数 $499$ で割った余りを求めてください.

$108$ の正の約数全体の集合を $S$ とします．また$,$整数からなる集合 $X$ の要素のうち正の整数 $p$ で割り切れる最大の回数が $n$ であるようなものの個数を $f_{p,n}(X)$ とします. $S$ の部分集合 $U$ であって次の$2$つの条件をともに満たすようなものはいくつありますか$?$

条件$1$ $:$ $f_{2,0}(U)$$,$$f_{2,1}(U)$$,$$f_{2,2}(U)$ は相異なる$.$
条件$2$ $:$ $f_{3,0}(U)$$,$$f_{3,1}(U)$$,$$f_{3,2}(U)$$,$$f_{3,3}(U)$ は相異なる$.$

ただし $p \nmid x$であるとき $x$ が $p$ で割り切れる最大の回数は $0$ とします$.$

問題文

$AB\lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ において，角 $A$ の二等分線と直線 $BC$ の交点を $D$ ，線分 $BC$ の垂直二等分線と直線 $AC$ の交点を $E$ とします．このとき，三角形 $CDE$ の周長は $20$ であり，さらに

$$AD=DC，AE=6$$

が成立しました．線分 $AB$ の長さを求めてください．

解答形式

答えは正整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{a}-b$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

以下の式の値が素数となるようなすべての正の整数の組 $(m,n)$ について, $mn$ の総和を求めてください.
$$
\dfrac{m^n-1}{m+n+7}
$$

問題文

漸化式
$$a_{n+2}=(n+3)a_{n+1}-na_n，a_1=0，a_2=2$$
があります．$a_{n}$ が $n$ で割り切れない $50$ 以下の $n$ の個数を求めてください．ただし，$n=1$ を含みます．

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

問題文

正の実数$x,y,z$について$,$
$$\dfrac{1}{1+x}+ \dfrac{1}{1+y}+ \dfrac{1}{1+z}=1$$
を満たしているとき$,$
$$\dfrac{(1+x)(1+y)(1+z)}{(x+y+z+2)^2}$$
の最大値を求めてください。

解答形式

答えは分数(既約)になるので分母と分子の和を半角数字で入力してください。

問題文

鋭角三角形ABCにおいてAからBCに下ろした垂線の足をDとし, 三角形ABCの外接円と直線ADとの交点のうちAでない方をEとする.
外接円の中心をOとしたとき, 次が成り立った.

OD ⊥ BE
BD = 2, DC = 2√7

外接円の半径が4であるとき, 三角形ABCの面積を求めてください.

解答形式

正整数 a, bを用いてa + √bと表せるので, a + b の値を解答してください.

問題文

整数辺を持つ直角三角形のうち、その斜辺を a、内接円の半径を r としたとき、等式
$a^2 - 4ar - 4r^2 = r$
を満たすものを考える。
そのような三角形すべてのうち、内接円の半径 r が 1000 未満であるもの全ての、面積の総和を求めよ。

解答形式

半角スペースなし

問題文

正の実数 $x$ に対してその整数部分を $a$ ，小数部分を $b$ とします．以下の等式を満たす最大の $x$ を求めてください．
$$x=\frac{a^3}{2026b}$$

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$