TMC002(G)

非負の実数の数列 $\lbrace a_{n} \rbrace (n=0,1,2,\cdots)$は次の $3$ つの条件を満たしている.

条件 $1:$ $ a_{n+1}=2a_{n}+3 \lfloor a_{n} \rfloor$
条件 $2:$ $a_{100}$ は整数で,しかも $4$ の倍数である$.$
条件 $3:$ $0 \le a_{0} < 2$

$a_{0}$の取りうる値は $N$ 個あるので $,$ $N$ が $2$ で割り切れる最大の回数を解答してください.

問題文

$1$ 以上 $n$ 以下の自然数であって，$n$ と互いに素なものの個数を $\phi(n)$ とします．
$$0\equiv \phi(n)\equiv\phi(n+1)\pmod{26}$$
となるような正の整数のうち，最小のものを求めて下さい．

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

問題文

漸化式
$$a_{n+2}=(n+3)a_{n+1}-na_n，a_1=0，a_2=2$$
があります．$a_{n}$ が $n$ で割り切れない $50$ 以下の $n$ の個数を求めてください．ただし，$n=1$ を含みます．

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

以下の式の値が素数となるようなすべての正の整数の組 $(m,n)$ について, $mn$ の総和を求めてください.
$$
\dfrac{m^n-1}{m+n+7}
$$

問題文

$\angle BAC > 90^\circ$ なる鈍角三角形 $ABC$ とその外接円 $\Gamma$ があります．点 $B$ における円 $\Gamma$ の接線 $l$ 上に点 $D$ を $\angle DBC > 90^\circ$ となるように取り，線分 $DC$ と 円 $\Gamma$ の交点を $E$ とします．すると以下が成り立ちました．
$$2\angle DBE = \angle EBC，BD=15，DE=9，AB=BE$$
この時，$AB$ の長さを求めて下さい．

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

問題文

$a,b$ を $a\leqq b\leqq 30$ を満たす素数とします．
$$\frac{a^3+b^3+8}{a+b+2}$$
が整数となる $a,b$ の組をすべて求めてください．

解答する数値

求めた全ての組について，$a\times b$ を計算し，以下の解答形式に合わせその総和を解答してください．

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

問題文

正の実数 $x$ に対してその整数部分を $a$ ，小数部分を $b$ とします．以下の等式を満たす最大の $x$ を求めてください．
$$x=\frac{a^3}{2026b}$$

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

問題文

$AB<AC<BC$ なる鋭角三角形 $ABC$ があり，点 $C$ から $\angle BAC$ の二等分線に下ろした垂線の足を $D$ とします．$BC$ 上に2点 $P,Q$ を取ると，$4$ 点 $APQD$ は半径が $\sqrt{66}$ の同一円周上にあり，以下が成り立ちました．
$$AB=BQ，AC=CP，PQ=12$$
この時，三角形 $ADC$ の面積を求めて下さい．

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

問題文

$0,1,2,3$ の数字が $11$ 個，黒板に横並びで書かれています．以下の操作を繰り返したとき，$0$ となる初期配置は何通りありますか?

• 隣り合う項の和を $3$ で割ったあまりに同時に書き換える．

例えば，$01233210$ は一度操作を行うと，$1020201$ となります．

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

問題文

正の実数 $x,y$ に対して $x^2-y^2=1$ が成り立っています．$\sqrt{\frac{y}{x}+1}+\sqrt{\frac{1}{x}+1}$ の最大値を求めてください．

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

正の整数 $m,n$ に対し$x$ が非負整数全体を動くとき次の式の取りうる値の個数を $f(m,n)$と定めます.
$$\dfrac{\left\lbrace \dfrac{x}{m} \right\rbrace}{n}-\dfrac{\left\lbrace\dfrac{x}{n}\right\rbrace}{m}$$
次の和を素数 $997$ で割った余りを求めてください.
$$\displaystyle\sum_{k=1}^{3^{1000}}f(k,3^{1000})$$
ただし $\lbrace y \rbrace$ は $y$ の小数部分を表す.

$AB$ < $AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ について点 $A$ から辺 $BC$ に下した垂線の足を $D,$ 点 $C$ から辺 $AB$ に下した垂線の足を $E,$ 線分 $BC$ の中点を $M$ とし$,$垂心を $H$ とします.三角形 $BHC$ の外接円と 線分 $AM$ の交点を $K$ とし直線 $KH$ と直線 $BC$ の交点を $P$ とすると次のことが成り立ちました. $$\dfrac{PB}{DM}=\dfrac{3}{4}, \dfrac{AE}{EC}=\dfrac{2}{3},PE=\dfrac{15}{\sqrt{13}}$$このとき三角形 $ABC$ の面積を求めてください.