トランプゲーム

問題文

正整数 $n$ に対し， $n$ 以下の正整数のうち $n$ と互いに素であるものの個数を $\varphi(n)$ ，$n$ の正の約数の個数を $d(n)$ とします．

このとき，以下の式が成り立つような正整数の組 $(a,b)$ であって $a$ と $b$ がともに $20$ 以上の素因数を持たないようなものを全て求めてください．

$$
a^2 + b^2 = \sqrt{d(b)}(ab - \varphi(a^2))
$$

解答形式

条件を満たす $(a,b)$ 全てについての $ab$ の総積を $P$ とします．$d(P)$ を入力してください．なお，必要であれば電卓を用いても構いません．

問題文タイトル：平方境界・反転素数・合同整合

3桁の正の整数 n が次の条件を満たす：

1. n + 1 は完全平方数である。
2. n の十進表記を反転して得られる整数 r は素数である。
3. |n − r| は 18 の倍数である。
4. n は 13 の倍数である。

このような n を求めなさい。
（解答は整数を1つ、例：123）

問題文を入力してください

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

タイトル：三条件で定まる点と最短距離条件（大学レベル）

平面上に、点 $A(0,0)$、点 $B(12,0)$、点 $C(4,9)$ がある。
点 $P(x,y)$ は次の条件を満たすものとする：

1. 距離比　$\displaystyle \frac{AP}{BP}=\phi^3$（ただし $\displaystyle \phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）
2. 角度条件　$\angle APC = 45^\circ$
3. 直線 $BC$ からの距離が最小となる位置を選ぶ。

点 $P$ の座標を求めなさい。
（解答は「x, y」の順に小数第2位まで。例：1.23, 4.56）
問題文
問題文を入力してください

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題文

x⁷＋x⁵＋x⁴＋x³＋x²＋１を因数分解しなさい。

解答形式

（）は全角でｘは半角で打ってください

問題文

$8\times8$のマス目からなるオセロ盤に，黒石が 4 つ置かれています．tomorunn君は，石が置かれていないマスに白石を 1 つ置く操作を，すべてのマスに石が置かれるまで繰り返します．
「ある白石を置いたとき，その石と既に置かれている白石で一直線（縦・横・斜めの計 8 方向）に挟まれた黒石をすべて白石に変える」というルールの下で，白石を置く順序を適切に選ぶことで，最終的に盤面に残る黒石の個数を 3 つ以下にできるような，黒石の初期配置は何通りありますか？
ただし，最終的に盤面に残る黒石の個数は操作の順番に依らないことが保証されます．

解答形式

例）半角数字で回答してください。

問題文

平面上に鋭角三角形ABCがある。以下の条件をみたすように点Dを定める。
「$AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=2CD^{2}$
　$BC=AD$
　$点Dと点Bは直線ACに関して反対の向きにある$」
ここで線分ACを直径とする円と線分AD,BCとの交点をそれぞれE,Fとおき、
直線ACとEFの交点をPとするとAC=100,EF=90が成立した。
このとき、線分APの長さを求めよ。

解答形式

互いに素な正の整数p,qを用いてp/qと表されるので、p/qと解答してください

問題文

$6$ 桁の正整数 $N$ について$,$ 上 $2$ 桁を取り出し$,$ その順で末尾に持っていくことで得られる $6$ 桁の正整数を $f(N)$ とするとき$,$
$$f(f(N))=4N$$
を満たす正整数 $N$ をすべて求めてください。

解答形式

$N$ の総和を半角数字で入力してください。

問題文

2022^2022を10で割った余り。

解答形式

どうやってといたかもかいてね。
ひらがなでいいよ。
これはさんすうだからね。

問題文

$n$を$2$以上の自然数としたとき、$n^4+4^n$が素数であるような$n$は存在するか。

解答形式

存在するなら、1と回答し、存在しないなら2と回答してください。
ニブイチです。勘で当たるでしょう。

問題文

正の整数$x$に対して,$S(x)$を$x$の桁和とします.例えば$S(2026)=2+0+2+6=10$です.
$x=S(x)+S(S(x))$となるような正の整数$x$を全て求め,その総和を解答してください.

解答形式

半角数字で解答してください.

問題文

$p$を素数,$n$を正の整数とします.$3p^2=n!+141$を満たす$n,p$の組を全て求めてください.

解答形式

与式を満たす組$(p_1,n_1),(p_2,n_2)...(p_m,n_m)(p_1<p_2<...p_m)$について,
$p_1\times n_1+p_2\times n_2 +... p_m\times n_m$の値を半角数字で入力してください.

次のグラフにおいて、毎ターン1つの線分上を駒が移動するとき、初期位置を点Pとして、1024ターン後に駒が点Pに戻るとき、駒の移動のやり方としてあり得るものの総数を1007で割った余りを求めよ。