Furina

問題文

整数 $n$ について，$\dfrac{10^n+11}{3}$ が平方数になるものは存在しますか？存在しないなら $-1$ を解答してください．存在する場合，最小の $n$ を解答してください．ただし答えは非常に大きくなる可能性があるので，$n$ を素数 $998244353$ で割ったあまりを解答してください．

解答形式

存在しないなら $-1$ を解答してください．存在する場合，最小の $n$ を解答してください．ただし答えは非常に大きくなる可能性があるので，$n$ を素数 $998244353$ で割ったあまりを解答してください．

問題文

$AB=13, AC=15$ なる三角形 $ABC$ について，直線 $BC$ 上に $AP=12$ なる点 $P$ がただ一つ存在しました．三角形 $ABC$ の面積としてありうる値の総和を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

一辺の長さが $4$ の正三角形 $ABC$ について，$BC$ の中点を $M$ とし，線分 $BC$ 上に $BD=1$ なる点 $D$ をとります．$3$ 点 $ABD$ を通る円と$3$ 点 $ACM$ を通る円との交点を $X$ とするとき，$AX$ の長さの $2$ 乗を求めてください．ただし，求める値は，互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表せるので，$a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

素数 $p$ に対して，$\dfrac{1}{p}$ を小数表記したときに循環する長さを $\Pi(p)$ で表します．正整数 $n$ に対し，$\Pi(p)=n$ なる $p$ のうち最小のものを $M(n)$ とするとき，以下の値を求めてください．ただし，有限小数の場合循環はしないとします．
$$M(1)+M(2)+M(3)+M(4)+M(5)+M(6)$$

解答形式

答えとなる数字のみを解答してください．

問題文

$AB=100,AC=200$ なる $\triangle ABC$ において，$A$ 類似中線と $BC$ の交点を $X$ とします．$BX,CX$ がいずれも正整数値であるとき，$AX$ の取り得る正整数値の総和を求めてください．

解答形式

$AX$ の取り得る正整数値の総和を解答してください．

問題文

三角形 $ABC$ について，$\angle A$ の二等分線と $BC$ の交点を $D$，円 $ABD$ と $AC$ の交点を $E$，円 $BEC$ と $AB$ の交点を $F$ とし，$AD$ と $FC$ の交点を $P$ とするとき，$AF=2, AC=3, PE=1$ が成立しました．$AB$ の長さは互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$AB\lt AC$ なる三角形 $ABC$ において，外心を $O$，内心を $I$ とします．また，三角形 $ABC$ の内接円と辺 $BC$ の接点を $D$ とします．さらに，$I$ を通り直線 $BC$ に平行な直線と直線 $AD$ との交点を $P$ とすると，以下が成立しました．
・直線 $AD$ と直線 $IO$ は直交する．
・$AP=15,DP=8$
$AI$ の長さの $2$ 乗は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表せます．
　ところで，$\cal{AB}=a,\cal{AC}=(b\ \mathrm{mod}\ a)$ なる三角形 $\cal{ABC}$ の内心を $\cal{I}$，内接円 $\omega$ と辺 $\cal CA,AB$ との接点をそれぞれ $\cal E,F$ とします．三角形 $\cal ABE$ の外接円と三角形 $\cal ACF$ の外接円が $\omega$ 上で交わっているとき，辺 $\cal BC$ の長さを求めてください．ただし，求める長さは，正整数 $c,d$ を用いて $c-\sqrt{d}$ と表せます．ただし，$(b\ \mathrm{mod}\ a)$ で $b$ を $a$ で割った余りを表します．
　ところで，$n=d-2c-4$ とします．Furinaくんは，以下のような問題Xを作りましたが，数値設定に悩んでいます．
問題X：$XY=n,YZ=p,ZX=q$ なる三角形 $XYZ$ の内心を $ぴ$，$\angle X$ 内の傍心を $か$ とします．$ぴか$ の長さを求めてください．
　Furinaくんは，解答形式を奇麗にしたいため，$ぴか^2$ が正整数になるようにしたく，さらに $ぴか^2$ が $p$ で割り切れないようにしたいといいます．このようなことが可能な奇素数の組 $(p,q)$ すべてについて，$p+q$ の総積を求めてください．

追記 $\angle A$ 内の傍心とありましたが，これは $\angle X$ 内の傍心のことです．現在は訂正されています．

解答形式

半角整数値で解答してください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ において，外心を $O$，垂心を $H$ とし，$A,B,C$ から対辺におろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とします．直線 $AO$ と三角形 $BHC$ の外接円が三角形 $ABC$ の内部の点 $P$ で交わっており，直線 $EF,DP$ の交点を $X$ とすると，
$$PX=8,PH=3,\angle BAD=\angle FXD$$
が成立しました．
　このとき，三角形 $ABC$ の面積の $2$ 乗を求めてください．

解答形式

例）半角数字で解答してください．

問題文

数列 ${a_n},{b_n},{c_n}$ を，$a_0=73,b_0=1227,c_0=5355$ および以下の式で定める：
$$(a_{n+1},b_{n+1},c_{n+1})=(2b_n-a_n^2,b_n^2-2a_nc_n,-c_n^2)$$
　$b_{404}$ を $5000$ で割った余りを求めよ．

解答形式

半角整数で解答してください．

問題文

円 $\Gamma$ に内接する凸四角形 $ABCD$ において，直線 $AB,CD$ の交点を $S$，$A$ における $\Gamma$ の接線と直線 $CD$ の交点を $T$ とします．$S,C,D,T$ がこの順に並んでおり，かつ，
$$AB=10,SC=16,TD=5,BC\cdot AD=32$$
が成立しているとき，線分 $SB$ の長さを求めてください．ただし求める長さは，正整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{a}-b$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

垂心を $H$ とする鋭角三角形 $ABC$ において，直線 $AH$ と辺 $BC$ の交点を $D$ とすると，
$$BH=2,CH=7,DH=1$$
が成り立ちました．このとき，三角形 $ABC$ の面積の $2$ 乗を求めてください．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$AB=2,AC=1$ をみたす三角形 $ABC$ の垂心を $H$，内心を $I$，外接円を $\Gamma$ とします．直線 $AH$ と $BI$ の交点を $D$ とし，$A$ における $\Gamma$ の接線と直線 $CD$ の交点を $X$ とすると，$AX=BX$ となりました．このとき，辺 $BC$ の長さを求めてください．ただし，求める値は，互いに素な正整数 $a,c$ と平方因子をもたない正整数 $b$ を用いて $\dfrac{a+\sqrt{b}}{c}$ と表されるので，$a\times b\times c$ を解答してください．

解答形式

半角数字で入力してください。