素数の組 $(p,q,r)$ であって,以下の等式 $$pq-64=r^4$$ を満たすものすべてについて,$p+q+r$ の総和を求めてください.
半角整数値で解答してください.
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正の整数 $n$ に対し,$n$ の正の約数の個数を $f(n)$ と表します. $f(f(n))=5$ となる最小の正の整数 $n$ を求めてください.
半角数字で解答してください.
以下の値を求めてください。 $$ \begin{align} \sum_{k=1}^{33333^2+200\cdot33333}\sqrt{\frac{2k+19999-2\sqrt{k^2+19999k+99990000}}{k^2+19999k+99990000}} \end{align} $$
答えは互いに素な正整数$p,q$を用いて$\frac{p}{q}$と表されるので、 $p+q$の値を解答してください。
(誰かがもう作ってそうです...知っている方がいれば教えてほしいです)
桁数が偶数の自然数$n$の各位を$2$桁ごとに分割し、そうしてできる自然数の和を$S(n)$のする。例えば、 $S(2024)=20+24=44,S(120321)=12+3+21=36$ である。 さて、 $n+S(n)=5233$ を満たすような$n$を全て求めよ。
$n$の値を整数でお答えください。
正整数 $N$ が $2$ で割り切れる最大の回数を $v_2 (N)$ で表すことにします. (例 : $v_2(6) = 1, \ v_2(16) = 4$) このとき, $$\sum_{i = 1}^{1024} \sum_{j = 1}^{1024} \sum_{k = 1}^{1024} v_2 ( \textrm {gcd} (i, j, k))$$ の値を解答して下さい. ( $\textrm{gcd}(i,j,k)$ で $i,j,k$ の最大公約数を表しているとします.)
半角数字で解答して下さい.
関数$f(x,y)=x²+y²-2x+4y+1$の最小値とそのときの$x,y$の値を求めよ。 ただし、$x,y$はいずれも実数とする。
x=𓏸𓏸,y=𓏸𓏸で、最小値𓏸𓏸と答えてください 数字は全て半角で答えてください
正整数 $N$ に対し, $f(N)$ を以下のように定めます. ・ $N$ の正の約数全てに対し, それが $2$ で割り切れる最大の回数の総和
例えば, $f(6) = 2, f(4) = 3$ となります. このとき, $f(M) = 40$ となる最小の正整数 $M$ を解答して下さい.
正整数を解答して下さい.
注:すみません,ネタ問題です.TeXも使っていません.
任意の自然数nについて,約数の総和をp(n),約数の個数をq(n)とすると,整数の定数kを用いてp(n)=k×(q(n))と表せます.kを求めてください.
半角の整数で解答してください. 余計な空白や改行を含まないよう注意してください.
関数 $f : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ が $f(f(x) + y) = x + f(y)$ を (任意の整数の組 $(x, y)$ に対して) 満たすとき, $f(2024)$ の取りうる値の総和を解答してください.
半角数字で解答してください.
$\dfrac{777777777}{888888}$ は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので,$a+b$ の値を解答してください.
$0$ でない相異なる実数 $a,b,c,d$ が以下の関係式を満たすとき,$a^2+b^2+c^2+d^2$ の値を求めてください. $\begin{cases} a^3-12a^2-34a+bcd=0\\ b^3-12b^2-34b+cda=0\\ c^3-12c^2-34c+dab=0\\ d^3-12d^2-34d+abc=0\\ \end{cases}$
鋭角三角形 $ABC$ について, 線分 $BC$ 上に点 $D$ を取り, 三角形 $ABD$ の垂心を $H_1$, 三角形 $ADC$ の垂心を $H_2$ とします. すると, $BD = DC = H_1 H_2 = 10$, $H_1 D : H_2 D = 2 : \sqrt{10}$ が成立しました. このとき, 三角形 $ABC$ の面積としてあり得る値の総積を解答してください.
答えは正整数になるため, その値を半角数字で解答してください.
$m$ を正の整数とします.「任意の正の整数 $n$ について,「 $n^3$ が $10!$ の倍数ならば $n^2$ は $m$ の倍数である」が成り立つ」という主張が正しくなるような最大の $m$ を求めてください.