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正の整数 $n$ に対し,$n$ の正の約数の個数を $f(n)$ と表します. $f(f(n))=5$ となる最小の正の整数 $n$ を求めてください.
半角数字で解答してください.
$0$ 以上 $6$ 以下の整数からなる組 $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)$ のうち以下を満たすものの個数を求めてください. $$(a_1a_2)^3+(a_2a_3)^3+(a_3a_4)^3+(a_4a_5)^3+(a_5a_1)^3\equiv0\pmod{7}$$
$m$ を正の整数とします.「任意の正の整数 $n$ について,「 $n^3$ が $10!$ の倍数ならば $n^2$ は $m$ の倍数である」が成り立つ」という主張が正しくなるような最大の $m$ を求めてください.
$1,2,3,4,5,6,7,8,9$ を並べ替えてできる $9$ 桁の正の整数のうち $99$ の倍数であるものの最大値を求めてください.$\
$101\times101$ のマス目の各マスには $0,1$ のいずれかが書かれており,どの $2\times2$ のマス目についても $0,1$ が少なくとも $1$ つずつは書き込まれているとき,マス目に書かれた数の和の最大値を求めてください.
$\triangle{ABC}$ の辺 $AC$ に接する傍接円の中心を $I_B$,辺 $AB$ に接する傍接円の中心を $I_C$ とし,$I_BI_C$ の中点を $M$ とする. $I_BI_C=14,BC=10$ のとき,$\triangle{MBC}$ の面積を $2$ 乗した値を解答してください.
半角数字で解答してください
正方形$ABCD$の(辺を含まない)外部に点$P$をとったところ,以下が成り立ちました: $$ \angle{ABP}=\angle{DBP} $$ $$ PB=PC $$ このとき、$\angle{PDA}$の大きさを求めてください.
$\angle{PDA}$は度数法で,互いに素な正整数$a$,$b$を用いて$\frac{a}{b}^\circ$と表されるので,$a+b$を半角数字で解答してください.
直線 $AT$ に点 $T$ で接する円 $\Gamma$ を描き,$A$ を通る直線 $m$と円 $\Gamma$ の交点を $A$ に近い方から順に $B,C$ とします. また,$\angle{CAT}$ の二等分線と直線 $BT$,直線 $CT$ の交点をそれぞれ $D,E$ とします. $BD=4,DE=8,EC=9$ となったとき,$\triangle{TBC}$ の面積を $S$ とすると,$S^2$ は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので,$a+b$ の値を解答してください.
$S=\{1,2,3,4,5,6\}$ とします.$S$ の相異なる部分集合 $A,B,C$ の組であって,$A\subset B\subset C$ を満たすものの個数を求めてください. (ただし,$A,B,C$ は空集合や $S$ に一致してもよいものとします.)
鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$,外心を $O$ とし,$A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とします. $OH=3,AH:HD=7:2$ であり,$\triangle{ABC}$ の外接円半径が $5$ であるとき,${OD}^2$ の値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ の値を解答してください.
$0$ でない相異なる実数 $a,b,c,d$ が以下の関係式を満たすとき,$a^2+b^2+c^2+d^2$ の値を求めてください. $\begin{cases} a^3-12a^2-34a+bcd=0\\ b^3-12b^2-34b+cda=0\\ c^3-12c^2-34c+dab=0\\ d^3-12d^2-34d+abc=0\\ \end{cases}$
次の定積分を求めよ。 $$ \int_{-1}^1\quad(x^{101}+2x^{99}+3x^{97}+・・・+51x)dx $$
半角数字のみを使って解答してください。