約数ひっかけ問題

問題文

次の定積分を求めよ。
$$
\int_{-1}^1\quad(x^{101}+2x^{99}+3x^{97}+・・・+51x)dx
$$

解答形式

半角数字のみを使って解答してください。

問題文

$ $　地理奈ちゃんは，$1$ を含んだ数列をいくつか思い浮かべようとしています．
$ $　そこで，以下のルールをすべて守った数列を，良い数列と呼ぶことにします:

• $1$ 以上 $9$ 以下の整数から $3$ つを選んでいる数列である．
• その数列は公差が $0$ でない等差数列である．
• 数列のどこか $1$ 項に必ず $1$ を含んでいる．

$ $　この時，良い数列は全部でいくつありますか？

解答形式

非負整数を半角で解答してください．

問題文

以下の値を求めてください。
$$
\begin{align}
\sum_{k=1}^{33333^2+200\cdot33333}\sqrt{\frac{2k+19999-2\sqrt{k^2+19999k+99990000}}{k^2+19999k+99990000}}
\end{align}
$$

解答形式

答えは互いに素な正整数$p,q$を用いて$\frac{p}{q}$と表されるので、
$p+q$の値を解答してください。

制作者の声

(誰かがもう作ってそうです...知っている方がいれば教えてほしいです)

問題文

正の整数 $n$ に対し，$n$ の正の約数の個数を $f(n)$ と表します．
$f(f(n))=5$ となる最小の正の整数 $n$ を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

素数の組 $(p,q,r)$ であって，以下の等式
$$pq-64=r^4$$
を満たすものすべてについて，$p+q+r$ の総和を求めてください．

解答形式

半角整数値で解答してください．

問題文

整数 $n$ について，$\dfrac{10^n+11}{3}$ が平方数になるものは存在しますか？存在しないなら $-1$ を解答してください．存在する場合，最小の $n$ を解答してください．ただし答えは非常に大きくなる可能性があるので，$n$ を素数 $998244353$ で割ったあまりを解答してください．

解答形式

存在しないなら $-1$ を解答してください．存在する場合，最小の $n$ を解答してください．ただし答えは非常に大きくなる可能性があるので，$n$ を素数 $998244353$ で割ったあまりを解答してください．

問題文

$\dfrac{777777777}{888888}$ は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

${}$　西暦2024年問題第6弾です。いよいよ整数問題のお出ましとなりました。ある程度は手を動かす必要がありますが、あることに気づけば調べる候補をぐっと減らすことができます。約数の個数を求めるのが面倒な方はWolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com なども併用して構いません。

解答形式

${}$　解答は求める$n$の最小値をそのまま入力してください。
（例）$n=2106$ → $\color{blue}{2106}$

【補助線主体の図形問題 #115】
　今週の図形問題です。今回は重めの問題にしてみました。とはいえ、補助線が活躍するのはいつも通りです。じっくり腰を据えて挑戦してください！

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

以下の極限値を求めよ。

$$\lim_{n\rightarrow{\infty}}\biggr(\lim_{x\rightarrow{0}}\prod_{k=1}^n\frac{kx}{\sin(k+1)x}\biggr)
$$

問題文

$$\angle{ADB}=\angle{ADC}=\angle{CDB}=90^°$$なる四面体 $ABCD$ の外接球に関して、体積を $V$ 表面積を $S$ としたとき、非負整数 $p$ を用いて、$V=p\pi,S=p\pi$ が成り立ちました。
このとき、四面体 $ABCD$ の体積の最大値の2乗を求めてください。

解答形式

半角数字で入力して下さい。

問題文

次の計算をせよ。
$$
\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}+\frac{1}{72}+\frac{1}{90}
$$

解答形式

分子/分母 の形で解答してください
既約分数で解答してください
例 1/3