正整数 $N$ に対し, $f(N)$ を以下のように定めます. ・ $N$ の正の約数全てに対し, それが $2$ で割り切れる最大の回数の総和
例えば, $f(6) = 2, f(4) = 3$ となります. このとき, $f(M) = 40$ となる最小の正整数 $M$ を解答して下さい.
正整数を解答して下さい.
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直方体 $ABCD-EFGH$があり, $AB=\sqrt{2},AD=2023\sqrt{2},AE=2024\sqrt{2}$ です. 三角形 $BDE$ の面積を求めてください.
任意の二次関数$\ f\ $についてある$\ \theta \ (0\le \theta \le 2\pi)$があって,$\ xy$座標平面上で$\ y=f(x)\ $を$\ \theta \ $反時計回りに回転させたものを考える.$\ $これがある関数$\ g(x)\ $で$\ y=g(x)\ $と表せるときの$\ \theta\ $としてありうるものの総和を$\ S\ $とするとき$\ S\ $を超えない最大の整数を回答して下さい.
整数で回答してください.
$$\angle{ADB}=\angle{ADC}=\angle{CDB}=90^°$$なる四面体 $ABCD$ の外接球に関して、体積を $V$ 表面積を $S$ としたとき、非負整数 $p$ を用いて、$V=p\pi,S=p\pi$ が成り立ちました。 このとき、四面体 $ABCD$ の体積の最大値の2乗を求めてください。
半角数字で入力して下さい。
正整数 $a , b$ の最大公約数を $g(\not=1)$,最小公倍数を $l$ としたとき,以下が成立しました.
$$\dfrac{l - 1}{g - 1} = 100$$
このときの $(a , b)$ の組としてあり得るものを全て求め,$a + b$ の総和を求めてください.
正整数で答えて下さい.
$-1\leq k \leq 1$ を満たす実数 $k$ において,$10k + 11\sqrt{1-k^2}$ の最大値を $2$ 乗したものを求めてください.
正の整数 $n$ に対し,$n$ の正の約数の個数を $f(n)$ と表します. $f(f(n))=5$ となる最小の正の整数 $n$ を求めてください.
半角数字で解答してください.
【補助線主体の図形問題 #117】 今週の図形問題です。少しずつ発見を積み重ねていく、やや重めの問題となっています。どうぞじっくりと取り組んでやってください。
${}$ 投稿時点から翌日10月2日(月)午前1時過ぎまで、$\mathrm{AB} > \mathrm{AC}$となるべきところが$\mathrm{AB} > \mathrm{BC}$となっていました。お詫びして訂正いたします。現在は修正済みの画像となっています。
${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。 (例) $12\cm^2$ → $\color{blue}{12.00}$ $10\sqrt{2}\cm^2$ → $\color{blue}{14.14}$ $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm^2$ → $\color{blue}{1.62}$ 入力を一意に定めるための処置です。 たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。 近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。
$11 \times 11$ の長方形のマスのうちいくつかを次の条件を満たしながら黒色に塗っていきます.
このとき,黒色に塗ることができるマスの数は最大でいくつですか.
関数 $f : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ が $f(f(x) + y) = x + f(y)$ を (任意の整数の組 $(x, y)$ に対して) 満たすとき, $f(2024)$ の取りうる値の総和を解答してください.
半角数字で解答してください.
素数 $p$ に対して,$\dfrac{1}{p}$ を小数表記したときに循環する長さを $\Pi(p)$ で表します.正整数 $n$ に対し,$\Pi(p)=n$ なる $p$ のうち最小のものを $M(n)$ とするとき,以下の値を求めてください.ただし,有限小数の場合循環はしないとします. $$M(1)+M(2)+M(3)+M(4)+M(5)+M(6)$$
答えとなる数字のみを解答してください.
以下の極限値を求めよ。
$$\lim_{n\rightarrow{\infty}}\biggr(\lim_{x\rightarrow{0}}\prod_{k=1}^n\frac{kx}{\sin(k+1)x}\biggr) $$
扇形内部に図のように線を引きました。青い三角形の面積が12のとき、緑の三角形の面積を求めてください。
半角数字で解答してください。