nCrの足し算

問題文

$ $　地理奈ちゃんは，$1$ を含んだ数列をいくつか思い浮かべようとしています．
$ $　そこで，以下のルールをすべて守った数列を，良い数列と呼ぶことにします:

• $1$ 以上 $9$ 以下の整数から $3$ つを選んでいる数列である．
• その数列は公差が $0$ でない等差数列である．
• 数列のどこか $1$ 項に必ず $1$ を含んでいる．

$ $　この時，良い数列は全部でいくつありますか？

解答形式

非負整数を半角で解答してください．

問題文

正整数 $N$ について，次の $2$ つのことがわかっています．

• $N$ を素因数分解すると $N=3^2 \times 11 \times 31 \times 2,354,911,118,533$ である.
  ただし，「 $,$ 」は $3$ 桁ごとの区切りです．
• $N$ の各桁に現れる数字は $2$ 種類あり，それらを $a,b\ (a \gt b)$ としたとき，$a$ と $b$ の現れる回数は等しい.

$10a+b$ の値を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください．

問題文

一辺の長さが $4$ の正三角形 $ABC$ について，$BC$ の中点を $M$ とし，線分 $BC$ 上に $BD=1$ なる点 $D$ をとります．$3$ 点 $ABD$ を通る円と$3$ 点 $ACM$ を通る円との交点を $X$ とするとき，$AX$ の長さの $2$ 乗を求めてください．ただし，求める値は，互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表せるので，$a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$ $　$1$ を $3$ つ，$2$ を $1$ つ，$7$ を $2$ つを全て使い，それらを並べ替えてできた長さ $6$ の文字列は全部でいくつありますか？
$ $　ただし，同じ文字は区別しません．

解答形式

非負整数を半角で解答してください．

問題文

連続する8つの正整数の三乗の和で表せる数のうち、2000に最も近いものを求めよ。

解答形式

半角で入力してください。

問題文

$ $　正方形の中を等間隔に区切ってできた $6×6$ のマス目があります．正方形の中心を中心として点対称となるようにマス目を塗ることを考えます．
$ $　正方形全体で $10$ マスちょうどを塗るとき，マス目の塗られ方は何通りありますか？ただし，反転・回転して一致するものは全て区別します．

解答形式

非負整数を半角で解答してください．

$$
|||||{i}^{10}|||||\\について求めて下さい。
$$

問題文

$AB=13, AC=15$ なる三角形 $ABC$ について，直線 $BC$ 上に $AP=12$ なる点 $P$ がただ一つ存在しました．三角形 $ABC$ の面積としてありうる値の総和を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

三角形 $ABC$ について，$\angle A$ の二等分線と $BC$ の交点を $D$，円 $ABD$ と $AC$ の交点を $E$，円 $BEC$ と $AB$ の交点を $F$ とし，$AD$ と $FC$ の交点を $P$ とするとき，$AF=2, AC=3, PE=1$ が成立しました．$AB$ の長さは互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$12$桁の整数$111111111111$の素因数の総和を求めてください.
但し,素因数の１つとして４桁の素数が含まれます.

解答形式

整数で答えてください.

問題文

$ $　地理奈ちゃんは，$10$ 面サイコロを $4$ つ持っており，それを $4$ つ全て同時に $1$ 回振ることを考えます．ここでの $10$ 面サイコロは，$1$ 以上 $10$ 以下の整数の目が同様に確からしい確率で $1$ つ出るサイコロとします．
$ $　また，サイコロの出目により，それぞれのサイコロに対して，成功数を以下のように定義します．

• 出目が $1$ のとき $2$
• 出目が $2$ 以上 $7$ 以下のとき $1$
• 出目が $8$ 以上 $9$ 以下のとき $0$
• 出目が $10$ のとき $-1$

$ $　この時，$4$ つのサイコロを振って，その成功数の合計が $0$ 以下になる確率は，互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．

【追記】
難しすぎるという意見をいただいたので難易度を2→3に変更しました。

解答形式

非負整数を半角で解答してください．

問題文

$ $　$5$ 種類の大きさ $1,2,3,4,5$ の服がそれぞれ $3$ 枚ずつあり，合計 $15$ 枚にはすべてに相異なる色が着色されています．$A$ さん，$B$ さん，$C$ さんの $3$ 人は，これら $15$ 枚の服からそれぞれ $1$ 枚ずつ異なる服を選んで着ます．ここで，$3$ 人が着ることのできる服の大きさは以下の通りです．

• $A$ さんは，大きさ $1,2,3,4,5$ 全てを着ることができる．
• $B$ さんは，大きさ $1,2,3$ を着ることができる．
• $C$ さんは，大きさ $3,4,5$ を着ることができる．

$ $　このとき，$3$ 人の服の選び方はいくつありますか？
$ $　ただし，$3$ 人全体で見て同じ服を選んでいても着ている人が異なる場合違う選び方として区別します．

追記:6/26
解説の誤字を修正しました。ご指摘ありがとうございます。

解答形式

非負整数を半角で解答してください．