B

Furina 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 競技数学
2024年6月9日21:00 正解数: 39 / 解答数: 69 (正答率: 56.5%) ギブアップ数: 5
この問題はコンテスト「N村杯Shortlist 001」の問題です。

問題文

一辺の長さが $4$ の正三角形 $ABC$ について,$BC$ の中点を $M$ とし,線分 $BC$ 上に $BD=1$ なる点 $D$ をとります.$3$ 点 $ABD$ を通る円と$3$ 点 $ACM$ を通る円との交点を $X$ とするとき,$AX$ の長さの $2$ 乗を求めてください.ただし,求める値は,互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表せるので,$a+b$ の値を解答してください.

解答形式

半角数字で解答してください.


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$AB=13, AC=15$ なる三角形 $ABC$ について,直線 $BC$ 上に $AP=12$ なる点 $P$ がただ一つ存在しました.三角形 $ABC$ の面積としてありうる値の総和を求めてください.

解答形式

半角数字で解答してください.

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三角形 $ABC$ について,$\angle A$ の二等分線と $BC$ の交点を $D$,円 $ABD$ と $AC$ の交点を $E$,円 $BEC$ と $AB$ の交点を $F$ とし,$AD$ と $FC$ の交点を $P$ とするとき,$AF=2, AC=3, PE=1$ が成立しました.$AB$ の長さは互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ を解答してください.

解答形式

半角数字で解答してください.

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半径が $4$ の円 $\Omega$ 上に2点 $A, B$ を直径をなさないようにとり,$A, B$ における $\Omega$ の接線の交点を $C$ とします.三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とし,3点 $A, C, H$ を通る円と $\Omega$ の交点を $D$ とすれば,$AB=CD$ が成り立ちました.このとき,三角形 $ABC$ の面積の $2$ 乗を求めてください.

追記:$D\neq A$ とします.

解答形式

半角数字で解答してください.

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問題文

次の計算をせよ。
$$
{}_{12}{\mathrm{C}}_{1}\quad+{}_{12}{\mathrm{C}}_{2}\quad+{}_{12}{\mathrm{C}}_{3}\quad+……+{}_{12}{\mathrm{C}}_{12}\quad
$$

解答形式

半角算用数字で解答してください

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問題文

整数 $n$ について,$\dfrac{10^n+11}{3}$ が平方数になるものは存在しますか?存在しないなら $-1$ を解答してください.存在する場合,最小の $n$ を解答してください.ただし答えは非常に大きくなる可能性があるので,$n$ を素数 $998244353$ で割ったあまりを解答してください.

解答形式

存在しないなら $-1$ を解答してください.存在する場合,最小の $n$ を解答してください.ただし答えは非常に大きくなる可能性があるので,$n$ を素数 $998244353$ で割ったあまりを解答してください.

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問題文

三角形 $ABC$ の外接円を $\Gamma$ とします.辺 $BC$ 上に点 $X$ をとります.$B,X$ を通り,$\Gamma$ と接する円を $\Omega_1$ とし,$C,X$ を通り,$\Gamma$ と接する円を $\Omega_2$ とします.$\Omega_1$ と $\Omega_2$ は二点で交わっており,$X$ でない方の交点を $Y$ とします.直線 $XY$ は点 $A$ を通り,線分 $XC$ の垂直二等分線も点 $A$ を通りました.
$$BX = 4,CX=1$$を満たす時,三角形 $ABC$ の面積の二乗を求めてください.ただし,求める値は互いに素な二つの正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表すことができるので,$a+b$ を解答してください.

解答形式

非負整数を半角で入力してください.

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問題文

さるのは答えが9になる足し算の式を知りたいです。そのような足し算の式は沢山ありますが、そのうち一つを解答してください。(答えは複数存在しますが、どれを解答しても正解になります)

例えば、答えが5になる足し算になる式として「3+2」「1+1+1+1+1」「5」などが挙げられます。
「1+2×2」や「0+1+4」や「0.5+4.5」や「-1+6」や「+3+2」や「⑨」などは足し算の式ではない事に注意してください。

足し算の式の厳密な定義 (これは全難易度で共通です)
足し算の式の各文字は1,2,3,4,5,6,7,8,9,+のいずれかで、先頭と末尾の文字は数字で、+どうしは連続しない。
その足し算の式を通常の数式として計算した結果がその足し算の式の答えになる。

解答形式

半角で1行で解答してください。「」は付けないでください
例えば「3+2+1」と解答したい場合は次のように解答してください
3+2+1

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素数の組 $(p,q,r)$ であって,以下の等式
$$pq-64=r^4$$
を満たすものすべてについて,$p+q+r$ の総和を求めてください.

解答形式

半角整数値で解答してください.

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問題文

さるのも答えが9になる足し算の式を自分で一つ思いついたようです。さるのの考えた足し算の式を当ててください。
ただし、さるのの考えた足し算の式が解答した文字列の(連続していなくても良い)部分文字列にあれば正解とします。
例えば、「129+1341398+89006」と解答した場合、さるのの考えた足し算の式が「9」や「1+8」や「2+1+6」だった場合には正解ですが、「2+7」や「1+2+3+2+1」や「1+2+6」だった場合は不正解と判定されます。

例えば、答えが5になる足し算になる式として「3+2」「1+1+1+1+1」「5」などが挙げられます。
「1+2×2」や「0+1+4」や「0.5+4.5」や「-1+6」や「+3+2」や「⑨」などは足し算の式ではない事に注意してください。

足し算の式の厳密な定義 (これは全難易度で共通です)
足し算の式の各文字は1,2,3,4,5,6,7,8,9,+のいずれかで、先頭と末尾の文字は数字で、+どうしは連続しない。
その足し算の式を通常の数式として計算した結果がその足し算の式の答えになる。

解答形式

半角で1行で解答してください。「」は付けないでください。
例えば「129+1341398+89006」と解答したい場合は次のように解答してください。
129+1341398+89006

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問題文

パーフェクトさんすう教室 -Normal- (問題文)
さるのは答えが9になる足し算の式を自分で一つ思いついたようです。さるのの考えた足し算の式を当ててください。
ただし、さるのの考えた足し算の式が解答した文字列の(連続していなくても良い)部分文字列にあれば正解とします。

この問題は長い文字列を解答すれば正解することが出来ますが、あなたはこの問題にもっとスマートに解答したいです。
全ての 答えが9になる足し算の式 を(連続していなくても良い)部分文字列として含む長さが31の文字列を解答してください。
なお、答えが9になる足し算の式 を(連続していなくても良い)部分文字列として含む長さが30以下の文字列は存在しないことが証明できます。

例えば、答えが5になる足し算になる式として「3+2」「1+1+1+1+1」「5」などが挙げられます。
「1+2×2」や「0+1+4」や「0.5+4.5」や「-1+6」や「+3+2」や「⑨」などは足し算の式ではない事に注意してください。

足し算の式の厳密な定義 (これは全難易度で共通です)
足し算の式の各文字は1,2,3,4,5,6,7,8,9,+のいずれかで、先頭と末尾の文字は数字で、+どうしは連続しない。
その足し算の式を通常の数式として計算した結果がその足し算の式の答えになる。

解答形式 (重要)

ジャッジの都合上、特殊な解答形式になっています。
答えを改行区切りで16回連続して解答してください。「」は付けないでください。(4回 全体をコピー&ペーストすると16個になります)
必ず同じ文字列を16連続で解答してください。
解答の1行目に謎の空間が出来る事がありますが、謎の空間があっても正解判定になる事が確認されています。もし不安だったらsimasimaのXのDMに送るか質問をしてください。
例えば「129+1341398+89006」と解答したい場合は次のように解答してください。
129+1341398+89006
129+1341398+89006
129+1341398+89006
129+1341398+89006
129+1341398+89006
129+1341398+89006
129+1341398+89006
129+1341398+89006
129+1341398+89006
129+1341398+89006
129+1341398+89006
129+1341398+89006
129+1341398+89006
129+1341398+89006
129+1341398+89006
129+1341398+89006

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問題文

素数 $p$ に対して,$\dfrac{1}{p}$ を小数表記したときに循環する長さを $\Pi(p)$ で表します.正整数 $n$ に対し,$\Pi(p)=n$ なる $p$ のうち最小のものを $M(n)$ とするとき,以下の値を求めてください.ただし,有限小数の場合循環はしないとします.
$$M(1)+M(2)+M(3)+M(4)+M(5)+M(6)$$

解答形式

答えとなる数字のみを解答してください.

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問題文

正の整数 $n$ に対し,$n$ の正の約数の個数を $f(n)$ と表します.
$f(f(n))=5$ となる最小の正の整数 $n$ を求めてください.

解答形式

半角数字で解答してください.