$3×3$ のマス目に $1$ から $9$ までの整数を重複なく書き込む方法のうち,辺を共有せず,頂点を共有するどの $2$ マスについても,そこに書き込まれた $2$ 数が互いに素であるものは何通りありますか?ただし,回転や反転によって一致するものも異なるものとみなします.
素数の組 $(p,q,r)$ であって,以下の等式
$$pq-64=r^4$$
を満たすものすべてについて,$p+q+r$ の総和を求めてください.
半角整数値で解答してください.
正三角形 $ABC$ において,その外接円の劣弧 $BC$ 上(端点を除く)に点 $D$ をとり,三角形 $ABD,BCD,CAD$ の内心をそれぞれ $I_C,I_A,I_B$ とすると,$I_BI_C=2I_AI_B=6$ が成立しました.このとき,$BC$ の長さの $2$ 乗を求めてください.
答えは正整数値になるので,半角で解答してください.
数列 $a_n$ は,$a_1=\sqrt{2-2\cos{\left(\dfrac{882}{5}\right)^\circ}},a_2=1-2\cos{\left(\dfrac{882}{5}\right)^\circ}$ として,以下の漸化式を満たします.
$$a_{n+1}=\dfrac{(a_n)^2-1}{a_{n-1}}(n=2,3,4,\cdots)$$
このとき,$\lfloor (a_{49})^2\rfloor$ の値を求めてください.ただし,$-0.998027<\cos{\left(\dfrac{882}{5}\right)^\circ}<-0.998026$を用いても構いません.
$\lfloor (a_{49})^2\rfloor$ を解答してください.$\lfloor x\rfloor$ は$x$を超えない最大の整数です.
整数 $n$ について,$\dfrac{10^n+11}{3}$ が平方数になるものは存在しますか?存在しないなら $-1$ を解答してください.存在する場合,最小の $n$ を解答してください.ただし答えは非常に大きくなる可能性があるので,$n$ を素数 $998244353$ で割ったあまりを解答してください.
存在しないなら $-1$ を解答してください.存在する場合,最小の $n$ を解答してください.ただし答えは非常に大きくなる可能性があるので,$n$ を素数 $998244353$ で割ったあまりを解答してください.
$AB=100,AC=200$ なる $\triangle ABC$ において,$A$ 類似中線と $BC$ の交点を $X$ とします.$BX,CX$ がいずれも正整数値であるとき,$AX$ の取り得る正整数値の総和を求めてください.
$AX$ の取り得る正整数値の総和を解答してください.
素数 $p$ に対して,$\dfrac{1}{p}$ を小数表記したときに循環する長さを $\Pi(p)$ で表します.正整数 $n$ に対し,$\Pi(p)=n$ なる $p$ のうち最小のものを $M(n)$ とするとき,以下の値を求めてください.ただし,有限小数の場合循環はしないとします.
$$M(1)+M(2)+M(3)+M(4)+M(5)+M(6)$$
答えとなる数字のみを解答してください.
以下を満たす正の合成数 $N$ としてあり得る最大値と最小値の和を解答してください.
・$N$ のすべての正の約数の並び替え $d_1,d_2,\cdots,d_t$ であって,任意の $k=1,2,\cdots,t-1$ に対して
$$\dfrac{(d_{k+1})^N+1}{d_k}$$
が整数となるようなものが存在する.
最大値と最小値の和を解答してください.
三角形 $ABC$ について,内心を $I$ とし,$AD=AB=EB$ なる点 $D, E$ をそれぞれ辺 $AC, BC$ 上にとります. いま,円 $CDE$ と $ID, IE$ の交点をそれぞれ $P(\neq D), Q(\neq E)$ とすると,$AP$ は円 $CDE$ に接しました. $AI$ と円 $ABC$ の交点を $M(\neq A)$ とすると,$AI×IM=233, IP=19$ が成立しました. $MQ$ の長さは互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ を求めてください.
$a+b$ を求めてください.
$AB=2,BC=3,CA=4$ なる $\triangle ABC$ について,ナーゲル点を $N$,ジュルゴンヌ点を $G$ とするとき,$NG$ は互いに素な正整数 $a,c$ と平方因子を持たない正整数 $b$ を用いて $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$ と書けるので,$a+b+c$ を解答してください.
$a+b+c$ を解答してください.
次の条件を満たす正整数 $a,b$ の組を $1$ つ求め,$a,b$ をこの順につなげて解答してください.
・$a>150$
・$a-b=2^7$
・$a$ に登場する数字の集合を $X$,$b$ に登場する数字の集合を $Y$ ,$ab$ に登場する数字の集合を $Z$とすると(例: $a=1233445$ のとき $X={1,2,3,4,5}$),$|X|=3,Y\subset X,|Z|=3,X=Z$ が成立する.
条件を満たす正整数 $a,b$ の組を $1$ つ解答してください.