$3×3$ のマス目に $1$ から $9$ までの整数を重複なく書き込む方法のうち,辺を共有せず,頂点を共有するどの $2$ マスについても,そこに書き込まれた $2$ 数が互いに素であるものは何通りありますか?ただし,回転や反転によって一致するものも異なるものとみなします.
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$10$人で輪になってじゃんけんをするとき,どの隣り合う$3$人も「あいこ」にならないような手の出し方は何通りありますか?
半角数字で入力してください.
正の実数 $x,y,z$ が $xyz=x+y+z+2$ を満たしています.このとき, $x+4y+9z$ の最小値を求めてください.
答えを入力してください.
$2000$ 以下の非負整数 $a$ に対し,数列 $c_{n}$ が以下をみたします. $$c_{1}=a, c_{2}=2000-a, c_{n+2}=c_{n+1}+c_{n}$$ このとき,$c_{2^{4333}}$ が $47^2$ の倍数となるような $a$ としてありうる値の総和を解答してください.
半角数字で解答してください.
$100\times 100$のマス目に整数(負でもよい)を書き込んで、各行・各列の積が全て$10$になるようにしたものを良い盤面と呼びます。良い盤面に書かれた数の$2$乗和をその良い盤面のスコアとします。 すべての良い盤面にわたるスコアの総和を$M$とするとき、$M$が$2$で割り切れる最大の回数を求めてください。
$0$ 以上 $1$ 以下の実数の組 $(x_0 , x_1 ,\ldots, x_{100})$ と正の実数の組 $(y_0 , y_1 ,\ldots ,y_{100})$ が以下の条件を満たしました. $$ x_ny_n=n(0\leq n\leq 100),\quad y_0=2,\quad y_{100}=260 $$ この時,以下の値の最小値を求めてください. $$ \sum_{k=0}^{99} \left(\sqrt{y_k^2+y_{k+1}^2-2y_ky_{k+1}\Bigl( x_kx_{k+1}+\sqrt{(1-x_k^2)(1-x_{k+1}^2)}\Bigr)}\right) $$
求める値は $\sqrt{m}$ と表せるので, $m$ の値を半角数字で解答してください.
$a\lt c$ なる実数 $a, b, c$ が $$\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}=\dfrac{(b+c)(c-a)}{1+c^2}$$ をみたすとき,$(8a+13b+21c)^2$ の取りうる最小値を解答してください.
以下の条件を全て満たす $20001$ 個の整数の組 $(a_0,a_1,…,a_{20000})$ を 階段状な組 と定義します.
また,階段状な組 $A=(a_0,a_1,…,a_{20000})$ に対して スコア $S(A)$ を以下のように定めます.
階段状な組全てに対してスコア $S(A)$ の総和を求め,その値が $2$ で割り切れる最大の回数を求めてください.
$n^4+4n^2-38n+69$ が平方数となるような正整数 $n$ の総和を求めてください.
三角形 $ABC$ の辺 $BC$ の中点を $M$ とし,辺 $AB,AC$ 上にそれぞれ点 $D,E$ をとると,以下が成立した:
$$\angle{DME}=90^{\circ},AD=6,DB=2,AE=7,EC=3$$
このとき,辺 $BC$ の長さの $2$ 乗を求めてください.
非負整数で解答してください.
鋭角三角形ABCについて,外心をO,重心をG,垂心をH,内心をIとします. $$AO=\dfrac{325}{24}, AH=\dfrac{125}{12}, AG=\sqrt{145}$$ であるとき,$AI$の2乗を答えてください.
答えは非負整数なので非負整数値を入力してください.
鋭角三角形 $ABC$ に対し,重心と垂心をそれぞれ $G,H$ とし,直線 $GH$ と辺 $AB,AC$ との交点をそれぞれ $D,E$ とし,直線 $AH$ と辺 $BC$ の交点を $F$ としたところ,$DH:HG=4:3,BF:FC=3:7$ となりました. ${AD}^2:{AE}^2$ は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $a:b$ と表されるので,$a+b$ の値を求めてください.
半角数字で解答してください.
三角柱 $ABC-DEF$ があり,いま点 $P$ は頂点 $A$ にいます.点 $P$ が隣り合う頂点に移動する操作を $12$ 回繰り返して点 $A$ に戻るように移動する方法すべてに対して,上下に移動する回数の総和を求めてください.
ただし上下に移動するとは,頂点 $A,B,C$ のいずれから頂点 $D,E,F$ のいずれかに移動すること,またその逆を意味します.