三角形 $ABC$ の辺 $BC$ の中点を $M$ とし,辺 $AB,AC$ 上にそれぞれ点 $D,E$ をとると,以下が成立した:
$$\angle{DME}=90^{\circ},AD=6,DB=2,AE=7,EC=3$$
このとき,辺 $BC$ の長さの $2$ 乗を求めてください.
非負整数で解答してください.
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桁数が偶数の自然数$n$の各位を$2$桁ごとに分割し、そうしてできる自然数の和を$S(n)$のする。例えば、 $S(2024)=20+24=44,S(120321)=12+3+21=36$ である。 さて、 $n+S(n)=5233$ を満たすような$n$を全て求めよ。
$n$の値を整数でお答えください。
半径が $1,2,3,4,5$ の同心円に半径 $5$ の円の直径を $1$ 本付け加えて出来る図形を一筆書きで描く方法は何通りあるかを求めてください. ただし,同じ道でも向きが異なる一筆書きは異なるものとして数えるものとします.
半角数字で解答してください.
$2000$ 以下の非負整数 $a$ に対し,数列 $c_{n}$ が以下をみたします. $$c_{1}=a, c_{2}=2000-a, c_{n+2}=c_{n+1}+c_{n}$$ このとき,$c_{2^{4333}}$ が $47^2$ の倍数となるような $a$ としてありうる値の総和を解答してください.
半角数字で解答してください.
正の実数 $x,y,z$ が $xyz=x+y+z+2$ を満たしています.このとき, $x+4y+9z$ の最小値を求めてください.
答えを入力してください.
$\triangle{ABC}$ の外接円を $O_1$ とし,辺 $CA$,辺 $CB$,円 $O_1$ に接する円を $O_2$ とします.また,円 $O_2$ と辺 $CA$ ,辺 $CB$,円 $O_1$ の接点をそれぞれ $P,Q,T$ とし,直線 $TP$ と円 $O_1$ の交点を ${R}(\ne{T})$ とし,直線 $TQ$ と円 $O_1$ の交点を $S(\ne{T})とします.$ $TA=23,TB=35,TC=57$ のとき,(四角形 $ARCS$ の面積):(四角形 $BSCR$ の面積)は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $a:b$ と表されるので,$a+b$ の値を解答してください.
以下の[条件]を満たす $3$ 桁の正の整数(つまり,$100$ 以上 $999$ 以下の正の整数)の組 $(A,B)$ すべてに対し,$A+B$ の値の総和を解答してください.
[条件] $A^2$ の下 $3$ 桁は $B$ であり,$B^2$ の下 $3$ 桁は $A$ である.
円 $O_1$,円 $O_2$ が点 $P$ で外接しており,円 $O_1$ 上の点 $Q$ における円 $O_1$ の接線を引いたところ円 $O_2$ と異なる $2$ 点で交わったので,その $2$ 交点を $Q$ に近い方から順に $A,B$ とします. $AP=4,AB=6,BP=9$ となったとき,${PQ}^2$ の値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ の値を解答してください.
$a\lt c$ なる実数 $a, b, c$ が $$\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}=\dfrac{(b+c)(c-a)}{1+c^2}$$ をみたすとき,$(8a+13b+21c)^2$ の取りうる最小値を解答してください.
$n$ を正の整数とする.縦 $3$ 行,横 $3$ 列からなるマス目の各マスに $n,n+1,\ldots,n+8$ を重複なく書き入れる方法であって,以下を満たすものの数を $f(n)$ とします.
ただし,回転や反転によって一致する数の書き込み方は,区別するものとします.$f(n)\lt3\times10^5$ を満たすとき,$f(n)$ としてあり得る最大の値を解答してください.
$4\times9$ のマス目があり,$1$ つのマスの一辺の長さは $1$ とします.最も左下の点 $A$ から出発して,「線に沿って長さ $1$ だけ右または上または左に進む」という操作を繰り返して最も右上の点 $B$ にたどり着く経路のうち同じ線分を $2$ 回以上通過しないもの全てに対し,経路の長さの総和を求めてください.
鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$,外心を $O$ とし,$A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とします. $OH=3,AH:HD=7:2$ であり,$\triangle{ABC}$ の外接円半径が $5$ であるとき,${OD}^2$ の値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ の値を解答してください.
3/3 23:49 問題を一部変更しました. 下図で、$ABCD$は一辺$6$の正方形,$ADEFGH$は正六角形, $IBC$は正三角形です.$AI$と$BF$の公点を$J$としたときの三角形$FJI$の面積を求めてください.
半角の正整数で答えてください.