三角柱 $ABC-DEF$ があり,いま点 $P$ は頂点 $A$ にいます.点 $P$ が隣り合う頂点に移動する操作を $12$ 回繰り返して点 $A$ に戻るように移動する方法すべてに対して,上下に移動する回数の総和を求めてください.
ただし上下に移動するとは,頂点 $A,B,C$ のいずれから頂点 $D,E,F$ のいずれかに移動すること,またその逆を意味します.
半角数字で解答してください.
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$0$ 以上 $1$ 以下の実数の組 $(x_0 , x_1 ,\ldots, x_{100})$ と正の実数の組 $(y_0 , y_1 ,\ldots ,y_{100})$ が以下の条件を満たしました. $$ x_ny_n=n(0\leq n\leq 100),\quad y_0=2,\quad y_{100}=260 $$ この時,以下の値の最小値を求めてください. $$ \sum_{k=0}^{99} \left(\sqrt{y_k^2+y_{k+1}^2-2y_ky_{k+1}\Bigl( x_kx_{k+1}+\sqrt{(1-x_k^2)(1-x_{k+1}^2)}\Bigr)}\right) $$
求める値は $\sqrt{m}$ と表せるので, $m$ の値を半角数字で解答してください.
$10$人で輪になってじゃんけんをするとき,どの隣り合う$3$人も「あいこ」にならないような手の出し方は何通りありますか?
半角数字で入力してください.
$AB=100,AC=200$ なる $\triangle ABC$ において,$A$ 類似中線と $BC$ の交点を $X$ とします.$BX,CX$ がいずれも正整数値であるとき,$AX$ の取り得る正整数値の総和を求めてください.
$AX$ の取り得る正整数値の総和を解答してください.
大変だ!Golden Gokiburi が座標 $(0,0)$ に出たぞ! Golden Gokiburi は 一回の移動で $(x,y)$ から $(x+1,y+1)(x,y+1)(x-1,y+1)(x+1,y)(x-1,y)(x,y-1)$ の6地点のうちいずれか一つに等確率で移動します。 $(3,7)$ にいるしましま君は不安で不安で仕方がありません。 $(0,0)$ にいる Golden Gokiburi が $900$ 回移動した後の $(3,7)$ と Golden Gokiburi との距離の $2$ 乗の期待値を求めてください。
答えは非負整数になるので半角で解答してください。
$100\times 100$のマス目に整数(負でもよい)を書き込んで、各行・各列の積が全て$10$になるようにしたものを良い盤面と呼びます。良い盤面に書かれた数の$2$乗和をその良い盤面のスコアとします。 すべての良い盤面にわたるスコアの総和を$M$とするとき、$M$が$2$で割り切れる最大の回数を求めてください。
$f(n)=n ^{15}+21n^{10}+147n^5+343$ とします. 正整数 $n$ に対して, $f(n)$ が $5^m$ で割り切れるような最大の非負整数 $m$ を $g(n)$ と定めます.$10000$ 以下の正整数 $k $であって $g(n)=k $ を満たす正整数 $n$ が存在するような $k$ の総積を $3343$ で割った余りを解答してください.ただし,$3343$ は素数です.
非負整数を解答してください.
$x,y,z$は整数とする。また、$p$は素数とする。 $x^{4}+y^{4}+z^{4}-2x^{2}y^{2}-2y^{2}z^{2}-2z^{2}x^{2}-8x^{2}yz-8xy^{2}z-8xyz^{2}=p$となるとき、$p$の最小値を求めよ。また、$p$が最小値をとるとき、$x,y,z$の組を全て求めよ。
$p$の最小値を$p$=~の形式で1行目に、$x,y,z$の組を$(x,y,z)$=~ の形式で2行目以降にすべて書いてください。ジャッジは自分でするのであまり気にしないで自由に回答してください。
$2000$ 以下の非負整数 $a$ に対し,数列 $c_{n}$ が以下をみたします. $$c_{1}=a, c_{2}=2000-a, c_{n+2}=c_{n+1}+c_{n}$$ このとき,$c_{2^{4333}}$ が $47^2$ の倍数となるような $a$ としてありうる値の総和を解答してください.
半角数字で解答してください.
正の実数 $x,y,z$ が $xyz=x+y+z+2$ を満たしています.このとき, $x+4y+9z$ の最小値を求めてください.
答えを入力してください.
$14^3$ の $16$ 個の正の約数を並び替えた数列を $a_1,\ldots,a_{16}$ とおき,$15^3$ の $16$ 個の正の約数を並び替えた数列を$b_1,\ldots,b_{16}$ とおきます.この二つの数列のスコアを $$ \sum_{k=1}^{16} \frac{a_k}{b_k} $$ で定めます.数列 $a,b$ の組として考えられるものは $(16!)^2$ 通りありますが,これらの組におけるスコアの(相加)平均を求めてください.ただし,求める値は互いに素な正整数 $p,q$ を用いて,$\dfrac{p}{q}$ と表されるため,$p+q$ を解答してください.
$a\lt c$ なる実数 $a, b, c$ が $$\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}=\dfrac{(b+c)(c-a)}{1+c^2}$$ をみたすとき,$(8a+13b+21c)^2$ の取りうる最小値を解答してください.
$100\times 100$ のマス目があります. 上から $i$ 行目, 左から $j$ 列目のマスを $100(i-1)+j$ と呼ぶことにします. SMC 君は一般的な $6$ 面サイコロを $10000$ 回振り, $i$ 回目に振って出た目をマス $i$ に書き込みます. このとき, 以下の条件を満たす確率を $p$ とするとき, $6^{10000}p$ は整数になるので, 素数 $3299$ で割った余りを求めてください.