除夜コン2023お蔵入り問題

問題文

$2000$ 以下の非負整数 $a$ に対し，数列 $c_{n}$ が以下をみたします.
$$c_{1}=a,　c_{2}=2000-a,　c_{n+2}=c_{n+1}+c_{n}$$
このとき，$c_{2^{4333}}$ が $47^2$ の倍数となるような $a$ としてありうる値の総和を解答してください.

解答形式

半角数字で解答してください.

問題文

以下の条件を全て満たす $20001$ 個の整数の組 $(a_0,a_1,…,a_{20000})$ を 階段状な組 と定義します．

• $a_0=a_{20000}=0$ ．
• $k=0,1,…,19999$ について $|a_{k+1}-a_k|=1$ ．

また，階段状な組 $A=(a_0,a_1,…,a_{20000})$ に対して スコア $S(A)$ を以下のように定めます．

• 以下の条件を全て満たす $1001$ 個の整数の組 $(x_0,x_1,…,x_{1000})$ の個数．
  $\quad$ ・ $k=0,1,…1000$ について $x_k$ は $0$ 以上 $20000$ 以下の 偶数 ．
  $\quad$ ・ $k=0,1,…999$ について $x_k\lt x_{k+1}$ ．
  $\quad$ ・ $a_{x_{1000}}=0$ ．

階段状な組全てに対してスコア $S(A)$ の総和を求め，その値が $2$ で割り切れる最大の回数を求めてください．

解答形式

答えを入力してください．

問題文

$\angle{A} = 60^{\circ}$ なる三角形 $ABC$ の内心を $I$，外心を $O$ とする．直線 $IO$ と直線 $BC$ の交点を $D$ とし，直線 $AD$ と三角形 $ABC$ の外接円との交点を $E(\not = A)$ とすると，以下が成立した:

$$EI = 23 , IO = 18$$

このとき，線分 $AI$ の長さは，互いに素な正整数 $a,b$ を用いて$\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので，$a + b$ を解答してください．

問題文

実数列 $\lbrace a_n \rbrace_{n = 1, 2, \cdots 2024}$ が以下を満たしています.
・ $a_0 = 0$
・ $0 \leq a_n \leq n+1$
・ $a_{2024} = 2025$

このとき,
$$\sum_{n = 1}^{2024} \sqrt{{a_{n-1}}^2 + {a_{n}}^2 - a_{n-1}a_n - 2na_{n-1} + na_n + n^2}$$
には最小値が存在するため, 最小値を取るときの $a_{1000}$ の値を求めて下さい. ($a_{1000}$ の値は一意に定まります.)

解答形式

答えは, 互いに素な正整数 $a, b$ によって $\cfrac{b}{a}$ と表されるため, $a+b$ の値を解答して下さい.

問題文

正の実数 $x,y,z$ が $xyz=x+y+z+2$ を満たしています．このとき， $x+4y+9z$ の最小値を求めてください．

解答形式

答えを入力してください．

問題文

$\triangle{ABC}$ の外接円を $O_1$ とし，辺 $CA$，辺 $CB$，円 $O_1$ に接する円を $O_2$ とします．また，円 $O_2$ と辺 $CA$ ，辺 $CB$，円 $O_1$ の接点をそれぞれ $P,Q,T$ とし，直線 $TP$ と円 $O_1$ の交点を ${R}(\ne{T})$ とし，直線 $TQ$ と円 $O_1$ の交点を $S(\ne{T})とします．$
$TA=23,TB=35,TC=57$ のとき，(四角形 $ARCS$ の面積):(四角形 $BSCR$ の面積)は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $a:b$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

以下の[条件]を満たす $3$ 桁の正の整数(つまり，$100$ 以上 $999$ 以下の正の整数)の組 $(A,B)$ すべてに対し，$A+B$ の値の総和を解答してください．

[条件] $A^2$ の下 $3$ 桁は $B$ であり，$B^2$ の下 $3$ 桁は $A$ である．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

こちらも問題に不備があったため、数値設定を変更いたしました。不備が重なってしまいたいへん申し訳ありません。

正六角形 $ABCDEF$ の線分 $AC, BC, DE$ 上にそれぞれ点 $P, Q, R$ を取ったところ, $PQ \perp BC, PR \perp DE, \angle QAR=60^\circ$ が成立しました. また, 三角形 $APQ$ の外心を $O$, 三角形 $APR$ の外心を $O^\prime$ とし, 三角形 $AOO^\prime$ の外接円と三角形 $APQ$ の外接円の交点を $X( \neq A)$, 三角形$AOO^\prime$ の外接円 と三角形 $APR$ の外接円の交点を $Y( \neq A)$ とすると, $BY=7$ が成立しました. このとき, 線分 $DX$ の長さを求めて下さい.

解答形式

答えは最大公約数が $1$ である正整数 $a,b, c$ によって $\cfrac{\sqrt{b}-c}{a}$ と表されるため, $a+b+c$ の値を半角数字で解答してください.

問題文

$a\lt c$ なる実数 $a, b, c$ が
$$\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}=\dfrac{(b+c)(c-a)}{1+c^2}$$
をみたすとき，$(8a+13b+21c)^2$ の取りうる最小値を解答してください.

解答形式

半角数字で解答してください.

問題文

$AB=5,AC=9$ なる三角形 $ABC$ があり，その外接円を $\Gamma$ とします．辺 $BC$ の中点を $D$ とすると，$B$ における $\Gamma$ の接線と半直線 $DA$ が点 $E$ で交わりました．また，辺 $AC$ 上の点 $F$ が $\angle CDF=\angle BEA$ をみたしています．$DF=\dfrac{10}{3}$ のとき，線分 $AE$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

$4\times9$ のマス目があり，$1$ つのマスの一辺の長さは $1$ とします．最も左下の点 $A$ から出発して，「線に沿って長さ $1$ だけ右または上または左に進む」という操作を繰り返して最も右上の点 $B$ にたどり着く経路のうち同じ線分を $2$ 回以上通過しないもの全てに対し，経路の長さの総和を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

各文字が < か > であるような長さ $13$ の文字列 $S$ の内, 次の条件を満たす整数列 $a_1, a_2, \cdots a_{14}$ が一意に存在するようなものはいくつありますか？
・$S$ の $i$ 文字目が < ならば, $a_{i+1} = a_i + 1$
・$S$ の $i$ 文字目が > ならば, $a_{i+1} = a_i - 1$
・$1 \leq a_k \leq4 \ (k = 1, 2, \cdots, 14)$

解答形式

半角数字で解答して下さい.