$2000$ 以下の非負整数 $a$ に対し,数列 $c_{n}$ が以下をみたします. $$c_{1}=a, c_{2}=2000-a, c_{n+2}=c_{n+1}+c_{n}$$ このとき,$c_{2^{4333}}$ が $47^2$ の倍数となるような $a$ としてありうる値の総和を解答してください.
半角数字で解答してください.
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正の実数 $x,y,z$ が $xyz=x+y+z+2$ を満たしています.このとき, $x+4y+9z$ の最小値を求めてください.
答えを入力してください.
$a\lt c$ なる実数 $a, b, c$ が $$\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}=\dfrac{(b+c)(c-a)}{1+c^2}$$ をみたすとき,$(8a+13b+21c)^2$ の取りうる最小値を解答してください.
$(1)$ $4$ つの実数 $(10\pm\sqrt 2\pm 4\sqrt 3)^3+1$ の和と等しい整数の最大素因数を求めよ. $(2)$ 方程式 $(2x^2-x)(2x^2-7x+6)=7$ の実数解 $x$ に対する $x^5-\dfrac{1}{x^5}$ の値を求めよ.
$(1),(2)$ の和を半角数字で入力してください.
$∠$A=69°、$∠ $B=66°、$∠ $C=45°である三角形ABCがあります。辺AC上にAB=DBとなる点Dをとり、辺BC上にAB=AEとなる点Eをとりました。DBとEAの交点をFとします。三角形AFBの周りの長さが12cmの時、三角形ABCの面積の2倍と三角形ABFの面積の和は何cm$^2$ですか。
半角数字で入力してください。 例)10
下図において,黒線の図形は正十五角形であり,青線の長さは $8$ ,緑線の長さは $6\sqrt{5} - 2 + 2\sqrt{6}\sqrt{5 - \sqrt{5}}$ です. このとき,赤線の長さは,正整数 $a,b,c,d,e,f,g$ (ただし,$c,d,e,g$ は平方因子を持たない)を用いて $a - b\sqrt{c} + (\sqrt{d} + \sqrt{e})\sqrt{f-\sqrt{g}}$ と表せるので,積 $abcdefg$ の値を解答してください.
余分な空白や改行を入れずに,半角数字のみを用いて解答してください.
$10$人で輪になってじゃんけんをするとき,どの隣り合う$3$人も「あいこ」にならないような手の出し方は何通りありますか?
半角数字で入力してください.
鋭角三角形ABCについて,外心をO,重心をG,垂心をH,内心をIとします. $$AO=\dfrac{325}{24}, AH=\dfrac{125}{12}, AG=\sqrt{145}$$ であるとき,$AI$の2乗を答えてください.
答えは非負整数なので非負整数値を入力してください.
三角形 $ABC$ の辺 $BC$ の中点を $M$ とし,辺 $AB,AC$ 上にそれぞれ点 $D,E$ をとると,以下が成立した:
$$\angle{DME}=90^{\circ},AD=6,DB=2,AE=7,EC=3$$
このとき,辺 $BC$ の長さの $2$ 乗を求めてください.
非負整数で解答してください.
鋭角三角形 $ABC$ に対し,重心と垂心をそれぞれ $G,H$ とし,直線 $GH$ と辺 $AB,AC$ との交点をそれぞれ $D,E$ とし,直線 $AH$ と辺 $BC$ の交点を $F$ としたところ,$DH:HG=4:3,BF:FC=3:7$ となりました. ${AD}^2:{AE}^2$ は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $a:b$ と表されるので,$a+b$ の値を求めてください.
半角数字で解答してください.
$(1)$ 集合 $S_n=\{nx\mid x^3\leqq 2x^2+5x-6\}$ に対し,整数 $k\notin\overline{S_1\cap S_2}\cup S_3$ は何個あるか. $(2)$ $3$ 桁の素数は $200$ 個未満か.
命題は真なら $1$,偽なら $0$ として,$(1),(2)$ の和を半角数字で入力してください.
実数列 $\lbrace a_n \rbrace_{n = 1, 2, \cdots 2024}$ が以下を満たしています. ・ $a_0 = 0$ ・ $0 \leq a_n \leq n+1$ ・ $a_{2024} = 2025$
このとき, $$\sum_{n = 1}^{2024} \sqrt{{a_{n-1}}^2 + {a_{n}}^2 - a_{n-1}a_n - 2na_{n-1} + na_n + n^2}$$ には最小値が存在するため, 最小値を取るときの $a_{1000}$ の値を求めて下さい. ($a_{1000}$ の値は一意に定まります.)
答えは, 互いに素な正整数 $a, b$ によって $\cfrac{b}{a}$ と表されるため, $a+b$ の値を解答して下さい.
円 $\omega$ 上に相異なる $2$ 点 $A,B$ がある.ただし,弦 $AB$ は $\omega$ の直径ではない.$A,B$ における $\omega$ の接線をそれぞれ $l,m$ とする.劣弧 $AB$ 上(端点を除く)に点 $P$ をとり,$P$ を通り $l$ に平行な直線と $\omega$ の交点であって,$P$ でないものを $C$ とし,$P$ を通り $m$ に平行な直線と $\omega$ の交点であって,$P$ でないものを $D$ とする.$l$ と直線 $BC$ の交点を $E$,$m$ と線分 $AD$ の交点を $F$ とする.また,線分 $AF$ と線分 $BE$ の交点を $X$,線分 $CF$ と線分 $DE$ の交点を $Y$ とする.$AB=\sqrt{69}$,$AC=3$,$BD=6$ がそれぞれ成り立っているとき,線分 $XY$ の長さは,互いに素な正整数 $a,c$ および平方因子を持たない $2$ 以上の整数 $b$ を用いて $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$ と表されるので,$a+b+c$ の値を求めよ.