ΠMC002 G

問題文

$AB=2,BC=3,CA=4$ なる $\triangle ABC$ について，ナーゲル点を $N$，ジュルゴンヌ点を $G$ とするとき，$NG$ は互いに素な正整数 $a,c$ と平方因子を持たない正整数 $b$ を用いて $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$ と書けるので，$a+b+c$ を解答してください．

解答形式

$a+b+c$ を解答してください．

問題文

正五角形 $ABCDE$ があり，その中心を $O$ とします．線分 $BO$ 上に点 $F$ を，線分 $EO$ 上に点 $G$ をとり，三角形 $AFG$ の外接円と線分 $AB,AE$ との交点をそれぞれ点 $P,Q$ とすると，以下が成立しました．

$$\angle{FAG}=54^{\circ} , PB=28 , QE = 30$$

このとき，正五角形 $ABCDE$ の一辺の長さを求めてください．
ただし，正多角形の中心とはその正多角形の外接円の中心のことを表すとします．

解答形式

答えは正整数 $a,b,c$ を用いて $a+\sqrt{b - \sqrt{c}}$ と表されるので，$a+b+c$ を解答してください.

$100\times 100$ のマス目があります. 上から $i$ 行目, 左から $j$ 列目のマスを $100(i-1)+j$ と呼ぶことにします. SMC 君は一般的な $6$ 面サイコロを $10000$ 回振り, $i$ 回目に振って出た目をマス $i$ に書き込みます. このとき, 以下の条件を満たす確率を $p$ とするとき, $6^{10000}p$ は整数になるので, 素数 $3299$ で割った余りを求めてください.

• 任意の行について, その行のマスに書かれた整数の総和は偶数.
• 任意の列について, その列のマスに書かれた整数の総和は $3$ の倍数.

【補助線主体の図形問題 #117】
　今週の図形問題です。少しずつ発見を積み重ねていく、やや重めの問題となっています。どうぞじっくりと取り組んでやってください。

お詫びと訂正

${}$　投稿時点から翌日10月2日(月)午前1時過ぎまで、$\mathrm{AB} > \mathrm{AC}$となるべきところが$\mathrm{AB} > \mathrm{BC}$となっていました。お詫びして訂正いたします。現在は修正済みの画像となっています。

解答形式

${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm^2$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm^2$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm^2$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

問題文

円 $\omega$ 上に相異なる $2$ 点 $A,B$ がある．ただし，弦 $AB$ は $\omega$ の直径ではない．$A,B$ における $\omega$ の接線をそれぞれ $l,m$ とする．劣弧 $AB$ 上（端点を除く）に点 $P$ をとり，$P$ を通り $l$ に平行な直線と $\omega$ の交点であって，$P$ でないものを $C$ とし，$P$ を通り $m$ に平行な直線と $\omega$ の交点であって，$P$ でないものを $D$ とする．$l$ と直線 $BC$ の交点を $E$，$m$ と線分 $AD$ の交点を $F$ とする．また，線分 $AF$ と線分 $BE$ の交点を $X$，線分 $CF$ と線分 $DE$ の交点を $Y$ とする．$AB=\sqrt{69}$，$AC=3$，$BD=6$ がそれぞれ成り立っているとき，線分 $XY$ の長さは，互いに素な正整数 $a,c$ および平方因子を持たない $2$ 以上の整数 $b$ を用いて $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$ と表されるので，$a+b+c$ の値を求めよ．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$AB:AC=5:3$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ があり, 線分 $AB$ 上の点 $X$ と線分 $AC$ 上の点 $Y$ が$XY∥BC$ を満たしています. また, 三角形 $AYB$ の外接円と三角形 $AXC$ の外接円の交点のうち, $A$ でない方を $P$ とすると, $P$ は線分 $BC$ 上にありました. このとき, 三角形 $ABC$ の外接円と直線 $AP$ の交点のうち, $A$ でない方を $Q$ とし, 直線 $AP$ と線分 $BC$ の垂直二等分線の交点を $R$ とします. また, 線分 $PR$ を直径とする円と三角形 $ABC$ の外接円は $2$ 点 $S,T$ で交わり, 直線 $ST$ と直線 $PQ$ の交点を $U$ とすると, $PU=QU=5$ となりました. このとき, 線分 $AR$ の長さを求めて下さい. ただし, 答えは正整数 $a,b$ を用いて $a +
\sqrt{b} $ と表されるため, $a+b$ の値を解答して下さい.

解答形式

正整数値を解答して下さい.

問題文

$$\angle{ADB}=\angle{ADC}=\angle{CDB}=90^°$$なる四面体 $ABCD$ の外接球に関して、体積を $V$ 表面積を $S$ としたとき、非負整数 $p$ を用いて、$V=p\pi,S=p\pi$ が成り立ちました。
このとき、四面体 $ABCD$ の体積の最大値の2乗を求めてください。

解答形式

半角数字で入力して下さい。

問題文

正三角形 $ABC$ において，その外接円の劣弧 $BC$ 上（端点を除く）に点 $D$ をとり，三角形 $ABD,BCD,CAD$ の内心をそれぞれ $I_C,I_A,I_B$ とすると，$I_BI_C=2I_AI_B=6$ が成立しました．このとき，$BC$ の長さの $2$ 乗を求めてください．

解答形式

答えは正整数値になるので，半角で解答してください．

問題文

$8\times 8$のマス目に$1\times 2$のタイルと$1\times 1$のタイルを隙間なく並べる方法のうち，以下の条件を満たすものを考えます．

• どの行にも$1\times 1$のタイルがちょうど$1$つ含まれる．

このような並べ方のうち，横向きの$1\times 2$のタイルの個数が最大となるものは何通りありますか？
ただし，回転や裏返しによって一致する並べ方は区別します．また，$1\times 2$のタイルが横向きであるとは，長辺が行に平行であることを指します．

解答形式

半角数字で入力してください．

$n$ を正の整数とする．縦 $3$ 行，横 $3$ 列からなるマス目の各マスに $n,n+1,\ldots,n+8$ を重複なく書き入れる方法であって，以下を満たすものの数を $f(n)$ とします．

• どの列，どの行についてもその $3$ つに書かれている $3$ 数を $3$ 辺の長さに持つ三角形が存在する．

ただし，回転や反転によって一致する数の書き込み方は，区別するものとします．$f(n)\lt3\times10^5$ を満たすとき，$f(n)$ としてあり得る最大の値を解答してください．

問題文

（ https://mathlog.info/articles/Lf8QaKPklfv156yuq309 問題13）
　三角形$ABC$において外接円，内接円，角$A$内の傍接円の半径をそれぞれ$R,r,r_A$とすると

$$R=14,r=6,r_A=19$$

が成り立ちました．このとき$BC$の長さの二乗を求めてください．

解答形式

答えを入力してください．

問題文

問題の数値設定に不備があったため、数値設定を変更します。申し訳ありません。(三角形 $DEH$ の面積を $9$ から $3$ に変更しました。)

鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$, 外心を $O$ とします. また, 直線 $BH$ と線分 $AC$ の交点を $D$, 直線 $CH$ と線分 $AB$ の交点を $E$ とします. そして, 線分 $DE$ の中点を $N$, 直線 $HN$ と直線 $AO$ の交点を $X$ とします. このとき, $A, X, O$ はこの順に並び, $AX = 3, XO = 5$ が成立しました. また, 三角形 $DEH$ の面積が $3$ であったとき, 三角形 $ABC$ の面積を求めてください.

解答形式

答えは, 正整数 $a, b$ を用いて $\sqrt{a} + b$ と表されるので, $a+b$ の値を半角数字で解答してください.