OMC没問3

問題文

鋭角三角形 $ABC$ について, 垂心を $H$, 内心を $I$, 外心を $O$ とし, また, $C$ から $AB$ に下した垂線の足を $D$, $B$ から $AC$ に下した垂線の足を $E$, $A$ から $BC$ に下した垂線の足を $F$ とします. すると, $H,I,O$ は相異なり, かつ $AH=AO=10,HI:HO=41:80$ が成立しました. このとき, $DF+EF$ は互いに素な正整数 $a,b$ と平方因子を持たない正整数 $c$ によって, $\cfrac{b \sqrt{c}}{a}​​$ と表されるため, $a+b+c$ の値を解答して下さい.

解答形式

半角整数値で解答して下さい.

問題文

円 $\omega$ 上に相異なる $2$ 点 $A,B$ がある．ただし，弦 $AB$ は $\omega$ の直径ではない．$A,B$ における $\omega$ の接線をそれぞれ $l,m$ とする．劣弧 $AB$ 上（端点を除く）に点 $P$ をとり，$P$ を通り $l$ に平行な直線と $\omega$ の交点であって，$P$ でないものを $C$ とし，$P$ を通り $m$ に平行な直線と $\omega$ の交点であって，$P$ でないものを $D$ とする．$l$ と直線 $BC$ の交点を $E$，$m$ と線分 $AD$ の交点を $F$ とする．また，線分 $AF$ と線分 $BE$ の交点を $X$，線分 $CF$ と線分 $DE$ の交点を $Y$ とする．$AB=\sqrt{69}$，$AC=3$，$BD=6$ がそれぞれ成り立っているとき，線分 $XY$ の長さは，互いに素な正整数 $a,c$ および平方因子を持たない $2$ 以上の整数 $b$ を用いて $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$ と表されるので，$a+b+c$ の値を求めよ．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$∠$A=69°、$∠ $B=66°、$∠ $C=45°である三角形ABCがあります。辺AC上にAB=DBとなる点Dをとり、辺BC上にAB=AEとなる点Eをとりました。DBとEAの交点をFとします。三角形AFBの周りの長さが12cmの時、三角形ABCの面積の2倍と三角形ABFの面積の和は何cm$^2$ですか。

解答形式

半角数字で入力してください。
例）10

問題文

$\triangle ABC$の辺$AB$上に点$D$が，辺$AC$上に点$E$がそれぞれある．また，辺$BC$上に2点$P,Q$があり，4点$B,P,Q,C$はこの順に並んでいる．
$\triangle BDP$の外接円の$B$における接線と，$\triangle CEQ$の外接円の$C$における接線とが点$F$で交わっている．
$AD=2,DB=4,AE=5,EC=3,BP=1,PQ=10,QC=1$のとき，$AF=\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$である．ただし，$a,b,c$はいずれも正の整数であり，$a,c$は互いに素である．また，根号の内部は十分簡単になっている．
$a+b+c$の値を求めよ．

解答形式

半角数字で解答してください．

$n$ を正の整数とする．縦 $3$ 行，横 $3$ 列からなるマス目の各マスに $n,n+1,\ldots,n+8$ を重複なく書き入れる方法であって，以下を満たすものの数を $f(n)$ とします．

• どの列，どの行についてもその $3$ つに書かれている $3$ 数を $3$ 辺の長さに持つ三角形が存在する．

ただし，回転や反転によって一致する数の書き込み方は，区別するものとします．$f(n)\lt3\times10^5$ を満たすとき，$f(n)$ としてあり得る最大の値を解答してください．

問題文

2つの三角形ABCとQCRが図のように配置されています。各点が画像に記した条件を満たすとき、赤い三角形の面積を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

三角形 $ABC$ の内接円と $BC$ の接点を $D$， 三角形 $ABC$ の $\angle A$ 内の傍接円と $BC$ の接点を $E$ とし，直線 $AD$ と $\angle A$ 内の傍接円の交点のうち，$A$ から遠い方を $F$ とします．すると，
$$\angle DAE=30^\circ, \ AF=18, \ AB+CD=12$$

が成立しました．このとき，三角形 $DAE$ の面積の $2$ 乗を求めて下さい．

解答形式

答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\cfrac{b}{a}$ と表されるため，$a+b$ の値を解答して下さい．

問題文

下図で、AB=AF=BC=CD=EB、$∠$EAB=80°、$∠$ABC=40°です。
$∠$FDEの大きさは何度ですか。

解答形式

半角数字で入力してください。
例）10

問題文

三角形 $ABC$ について，内心を $I$ とし，$AD=AB=EB$ なる点 $D, E$ をそれぞれ辺 $AC, BC$ 上にとります. いま，円 $CDE$ と $ID, IE$ の交点をそれぞれ $P(\neq D), Q(\neq E)$ とすると，$AP$ は円 $CDE$ に接しました. $AI$ と円 $ABC$ の交点を $M(\neq A)$ とすると，$AI×IM=233, IP=19$ が成立しました. $MQ$ の長さは互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を求めてください.

解答形式

$a+b$ を求めてください.

問題文

問題の数値設定に不備があったため、数値設定を変更します。申し訳ありません。(三角形 $DEH$ の面積を $9$ から $3$ に変更しました。)

鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$, 外心を $O$ とします. また, 直線 $BH$ と線分 $AC$ の交点を $D$, 直線 $CH$ と線分 $AB$ の交点を $E$ とします. そして, 線分 $DE$ の中点を $N$, 直線 $HN$ と直線 $AO$ の交点を $X$ とします. このとき, $A, X, O$ はこの順に並び, $AX = 3, XO = 5$ が成立しました. また, 三角形 $DEH$ の面積が $3$ であったとき, 三角形 $ABC$ の面積を求めてください.

解答形式

答えは, 正整数 $a, b$ を用いて $\sqrt{a} + b$ と表されるので, $a+b$ の値を半角数字で解答してください.

問題文

三角形 $ABC$ の辺 $AB , AC$ （端点を除く）上にそれぞれ点 $P , Q$ があり，直線 $BC , PQ$ は，半直線 $BC$ 上の点 $R$ で交わっています．また，線分 $BC , PQ$ 上にそれぞれ点 $M , N$ があり， $\dfrac{BM}{MC} = \dfrac{PN}{NQ} = \dfrac{BR}{RC}$ を満たしています．いま，直線 $AN$ と $\triangle ABC$ の外接円の交点のうち，$A$ でない方を $X$ としたところ，$\angle MNR = \angle MXR = 90^{\circ}$，$\angle BXM = 63^{\circ}$ がそれぞれ成り立ちました．このとき，$\angle BAC$ の大きさを度数法で求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題

$0,a,b,c$ は相異なる実数で，$a^3b+b^3c+c^3a=ab^3+bc^3+ca^3$ を満たすとき，次の値を求めよ．$$\min_{a,b,c}\dfrac{(a^3+b^3+c^3)(a^4+b^4+c^4+50)}{a^5+b^5+c^5}$$

解答形式

半角数字で入力してください．