OMC没問3

natsuneko 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2023年11月7日21:02 正解数: 3 / 解答数: 3 (正答率: 100%) ギブアップ数: 0
初等幾何

全 3 件

回答日時 問題 解答者 結果
2024年1月4日12:19 OMC没問3 pomodor_ap
正解
2023年11月19日10:28 OMC没問3 bzuL
正解
2023年11月8日15:53 OMC没問3 nmoon
正解

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OMC没問5

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9月前

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問題文

鋭角三角形 $ABC$ について, 垂心を $H$, 内心を $I$, 外心を $O$ とし, また, $C$ から $AB$ に下した垂線の足を $D$, $B$ から $AC$ に下した垂線の足を $E$, $A$ から $BC$ に下した垂線の足を $F$ とします. すると, $H,I,O$ は相異なり, かつ $AH=AO=10,HI:HO=41:80$ が成立しました. このとき, $DF+EF$ は互いに素な正整数 $a,b$ と平方因子を持たない正整数 $c$ によって, $\cfrac{b \sqrt{c}}{a}​​$ と表されるため, $a+b+c$ の値を解答して下さい.

解答形式

半角整数値で解答して下さい.

自作問題5

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3

問題文

実数$x$は以下の条件をすべて満たす。

  • $x$は有理数であり整数でない。
  • $x$は$10$より大きい。
  • $x$を既約分数で表したとき、分母は$20$であり分子は$17$の倍数である。
  • $x-10$の小数点第一位を四捨五入した値と$\sqrt{x}$の小数点第一位を四捨五入した値は等しい。

このような$x$全てについて、$20x$の総和を求めよ。

幾何問題11/22

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問題文

円 $\omega$ 上に相異なる $2$ 点 $A,B$ がある.ただし,弦 $AB$ は $\omega$ の直径ではない.$A,B$ における $\omega$ の接線をそれぞれ $l,m$ とする.劣弧 $AB$ 上(端点を除く)に点 $P$ をとり,$P$ を通り $l$ に平行な直線と $\omega$ の交点であって,$P$ でないものを $C$ とし,$P$ を通り $m$ に平行な直線と $\omega$ の交点であって,$P$ でないものを $D$ とする.$l$ と直線 $BC$ の交点を $E$,$m$ と線分 $AD$ の交点を $F$ とする.また,線分 $AF$ と線分 $BE$ の交点を $X$,線分 $CF$ と線分 $DE$ の交点を $Y$ とする.$AB=\sqrt{69}$,$AC=3$,$BD=6$ がそれぞれ成り立っているとき,線分 $XY$ の長さは,互いに素な正整数 $a,c$ および平方因子を持たない $2$ 以上の整数 $b$ を用いて $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$ と表されるので,$a+b+c$ の値を求めよ.

解答形式

半角数字で解答してください.

三角形の面積の和

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問題文

$∠$A=69°、$∠ $B=66°、$∠ $C=45°である三角形ABCがあります。辺AC上にAB=DBとなる点Dをとり、辺BC上にAB=AEとなる点Eをとりました。DBとEAの交点をFとします。三角形AFBの周りの長さが12cmの時、三角形ABCの面積の2倍と三角形ABFの面積の和は何cm$^2$ですか。

解答形式

半角数字で入力してください。
例)10

接線の交点

hkd585 自動ジャッジ 難易度:
23月前

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問題文

$\triangle ABC$の辺$AB$上に点$D$が,辺$AC$上に点$E$がそれぞれある.また,辺$BC$上に2点$P,Q$があり,4点$B,P,Q,C$はこの順に並んでいる.
$\triangle BDP$の外接円の$B$における接線と,$\triangle CEQ$の外接円の$C$における接線とが点$F$で交わっている.
$AD=2,DB=4,AE=5,EC=3,BP=1,PQ=10,QC=1$のとき,$AF=\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$である.ただし,$a,b,c$はいずれも正の整数であり,$a,c$は互いに素である.また,根号の内部は十分簡単になっている.
$a+b+c$の値を求めよ.

解答形式

半角数字で解答してください.

OMC没問6

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5

問題文

三角形 $ABC$ の内接円と $BC$ の接点を $D$, 三角形 $ABC$ の $\angle A$ 内の傍接円と $BC$ の接点を $E$ とし,直線 $AD$ と $\angle A$ 内の傍接円の交点のうち,$A$ から遠い方を $F$ とします.すると,
$$\angle DAE=30^\circ, \ AF=18, \ AB+CD=12$$

が成立しました.このとき,三角形 $DAE$ の面積の $2$ 乗を求めて下さい.

解答形式

答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\cfrac{b}{a}$ と表されるため,$a+b$ の値を解答して下さい.

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5

問題文

下図で、AB=AF=BC=CD=EB、$∠$EAB=80°、$∠$ABC=40°です。
$∠$FDEの大きさは何度ですか。

解答形式

半角数字で入力してください。
例)10

求面積問題19

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問題文

2つの三角形ABCとQCRが図のように配置されています。各点が画像に記した条件を満たすとき、赤い三角形の面積を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

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10

問題文

四角形 $ABCD$ があり,以下を満たしています:

$$
\angle B + \angle C = 120^{\circ} , \angle D = \angle B + 30^{\circ} , AB = CD = 7 , BC = 13 .
$$

このとき,辺 $AD$ の長さの $2$ 乗を解答してください.

解答形式

半角数字で解答してください.

C

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問題文

問題の数値設定に不備があったため、数値設定を変更します。申し訳ありません。(三角形 $DEH$ の面積を $9$ から $3$ に変更しました。)

鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$, 外心を $O$ とします. また, 直線 $BH$ と線分 $AC$ の交点を $D$, 直線 $CH$ と線分 $AB$ の交点を $E$ とします. そして, 線分 $DE$ の中点を $N$, 直線 $HN$ と直線 $AO$ の交点を $X$ とします. このとき, $A, X, O$ はこの順に並び, $AX = 3, XO = 5$ が成立しました. また, 三角形 $DEH$ の面積が $3$ であったとき, 三角形 $ABC$ の面積を求めてください.

解答形式

答えは, 正整数 $a, b$ を用いて $\sqrt{a} + b$ と表されるので, $a+b$ の値を半角数字で解答してください.

幾何問題12/12

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5

問題文

三角形 $ABC$ の辺 $AB , AC$ (端点を除く)上にそれぞれ点 $P , Q$ があり,直線 $BC , PQ$ は,半直線 $BC$ 上の点 $R$ で交わっています.また,線分 $BC , PQ$ 上にそれぞれ点 $M , N$ があり, $\dfrac{BM}{MC} = \dfrac{PN}{NQ} = \dfrac{BR}{RC}$ を満たしています.いま,直線 $AN$ と $\triangle ABC$ の外接円の交点のうち,$A$ でない方を $X$ としたところ,$\angle MNR = \angle MXR = 90^{\circ}$,$\angle BXM = 63^{\circ}$ がそれぞれ成り立ちました.このとき,$\angle BAC$ の大きさを度数法で求めてください.

解答形式

半角数字で解答してください.

Matrix Triangle

MARTH 自動ジャッジ 難易度:
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$n$ を正の整数とする.縦 $3$ 行,横 $3$ 列からなるマス目の各マスに $n,n+1,\ldots,n+8$ を重複なく書き入れる方法であって,以下を満たすものの数を $f(n)$ とします.

  • どの列,どの行についてもその $3$ つに書かれている $3$ 数を $3$ 辺の長さに持つ三角形が存在する.

ただし,回転や反転によって一致する数の書き込み方は,区別するものとします.$f(n)\lt3\times10^5$ を満たすとき,$f(n)$ としてあり得る最大の値を解答してください.