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問題文

プロジェクト空間 $\mathbb{P}^2$ 内の射影多様体 $V = Z(x^3 + y^3 + z^3) \subset \mathbb{P}^2$ を考える。この多様体が非特異であることを示しなさい。

解答形式

証明してください。

問題文

$3^{2025}$を $11$ で割った余りを求めよ。

解答形式

半角左詰め

問題文

$p, q, r $を互いに異なる3つの素数とする。

整数 $K = (qr)^{p-1} + (rp)^{q-1}+ (pq)^r$が、
$K ≡ p+q-1　(mod r)$
という条件を満たすとき、和 $p+q+r$ の最小値を求めよ。

解答形式

半角左詰め

問題文

$p=3, \quad q=5, \quad r=7$

$X = p^q + q^p$
$Y = q^r + r^q$
$Z = r^p + p^r$

$N = X^p + Y^q + Z^r$

このとき、$N$を$105$で割った余りを求めよ。

解答形式

半角左詰め

問題文

数列 ${a_n} $を、初項 $a_0 = 2, a_1 = 1 $と、漸化式 $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n (n ≧ 0) $によって定める。
集合 $S $を、$1 ≦ k ≦ 42$ を満たす整数$ k $のうち、方程式 $m^2 - 43n = k $が整数解 $(m, n)$ を持たないような $k$ 全体の集合とする。
このとき、積 $P$ $= ∏_{k ∈ S} a_k$ を$43$で割った余りを求めよ。

解答形式

半角左詰め

問題文

整数 $x$ と素数 $p$ が、以下の連立合同式を満たす。

$x \equiv p \pmod{9797}$
$x \equiv 11p + 69 \pmod{9991}$

この条件を満たす最小の素数 $p$ を求めよ。

解答形式

半角左詰め

問題文

$p$ を $101$ 以上の素数とする。$g$ を法 $p$ における原始根とし、$1$ から $p-1$ までの整数 $k$ に対して、$g^{\text{ind}(k)} \equiv k \pmod p$ となる $0 \le \text{ind}(k) \le p-2$ の整数 $\text{ind}(k)$ を定める。

ある整数 $k$ ($2 \le k < p$) に対して、数列 ${a_n}$ を以下で定める。
* $a_1 = k$
* $a_{n+1} \equiv a_n \cdot g \pmod p \quad (n=1, 2, 3, \dots)$

また、数列 ${b_n}$ を $b_n = \text{ind}(a_n)$ で定め、数列 $\ {b_n}$ の初項から第 $p-1$ 項までの和
$S = \sum_{n=1}^{p-1} b_n$
とする。
このとき、和 $S$ が $2000$ で割り切れるような素数 $p$ の最小値を求めよ。

解答形式

半角左詰め

問題文

非負整数 $n$ に対して, $a_n$ を以下で定めます.$$a_0=1,\quad a_{n+1}=10a_n+4$$ このとき, $a_n$ が累乗数となるような非負整数 $n$ に対して, $a_n$ の総和を求めてください.
ただし, 累乗数とは, 自然数 $a$ と$2$ 以上の自然数 $b$ を用いて $a^b$ と表せる数です.

解答形式

例）整数を答えてください.

$(S,\mathfrak{O})$を位相空間とする。
※ただし$\mathfrak{O}$は開集合系とする。
このとき$A\subset{S},\partial{A}$を$A$の境界とすると次が成り立つことを示せ。
$$\partial{A}=\emptyset⇔Aは開集合かつ閉集合$$

問題文

全ての自然数に対し、偶数の時は2で割り、奇数の時は1を足して２で割る操作を繰り返すと必ず1になることを証明せよ。

解答形式

特に指定はなし。

問題文

$AB=AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ があり，その外接円上に点 $D(\neq B)$ を，$AC\perp BD$ を満たすようにとると，
$$CD=3,\quad AD=7$$
が成立しました．このとき，線分 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり，その外心を $O$ とします．直線 $AO,BC$ の交点を $D$，直線 $BO,AC$ の交点を $E$ とすると，
$$BD=6,\quad CD=3,\quad CE:EA=3:4$$
が成立しました．このとき，線分 $AC$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．