$n$ を非負整数とする．番号 $0,1,2,\cdots,2^n-1$ が $1$ つずつ振られた $2^n$ 枚の札が箱に入っている．「箱から札を無作為に $1$ 枚取り出し，札の番号を記録してから箱の中に戻す」という操作を考える．
以下の問いに答えよ．ただし，自然数 $N$ に対し，$\displaystyle\frac N{2^m}$ が自然数となるような最大の非負整数 $m$ を $f(N)$ で表すとする．
$(1)$ 操作を $1$ 回おこない，記録した番号を $b$ とする．このとき，$f({}_{2^n}\mathrm C_b)$ の期待値を求めよ．
$(2)$ 操作を $2$ 回おこない，記録した番号を $a,b$ とする．このとき，$f({}_{2^n+a}\mathrm C_b)$の期待値を求めよ．
ただし，解答に際しては $n=10$ のときの値を答えよ．
答えの値は， $\displaystyle \xi+\frac{\eta}{\zeta}$ のように，整数部分 $\xi$ と小数部分 $\displaystyle\frac{\eta}{\zeta}$ に分けて求める．ここで，$\eta$ は非負整数，$\zeta$ は自然数で，$\eta$ と $\zeta$ は互いに素とする．
$(1)$ の $\xi,\eta,\zeta$ の値をそれぞれ $1,2,3$ 行目に，$(2)$ の $\xi,\eta,\zeta$ の値をそれぞれ $4,5,6$ 行目に記して答えとせよ．
