指数・対数といろいろ

問題文

実数x,yが$$2x+3y=π$$を満たす時、$$sin2x+cos3y $$の最大値と最小値を求めよ。

解答形式

・答えが分数になる場合は$$分子/分母$$と表記してください。
・回答する際は$$最大値,最初値$$と答えてください。
・マイナスは全角－で表記してください。
・$$\sqrt{x^2+x}$$などと√の内部の式が大きくなったり、二文字以上の数字の場合は $$√(数式や数値)$$と答えてください。
・$$\sqrt3$$など√内が一文字の数字の場合は$$√数字$$と回答してください。

問題文
$n$を自然数とし、$$1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots+x^{2^{n}-1}$$を因数分解したときの因数の数を$n$を用いて求めよ。

問題文

a^3+b^3=(ab)^2を満たす自然数a,bの組を全て求めよ

解答形式

例）
記述式　簡単でいいです

$$
-|-log_\sqrt{a}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{a}^{32}}}}}}|
$$

$n$ を自然数として $\displaystyle\frac1n$ と表される数全体の集合を $A$ とする．また，$A$ の要素のうち，$7$ 進法で小数展開したとき，小数点以下が基本周期 $3$ の数字の列で表される循環小数となるもの全体の集合を $B$ とする．
このとき，$B$ の要素の総和を求めよ．答えは互いに素な自然数 $a, b$ により $\displaystyle\frac ab$ と表されるので，$1$ 行目に $a$，$2$ 行目に $b$ を答えよ．

問題

実数$x，y$が
$$
\begin{cases}
x^2+y^2=1\\
2x^3+2y^3=1
\end{cases}
$$
を満たしているとき，$x+y$ のとりうる値をすべて求めよ．

解答形式

解答に$sinθ，cosθ$を含む場合は，$cosθ(0<θ<π)$に統一し，記入例にしたがって全て$半角$で解答してください．なお，度数法で解答すると不正解となるので，弧度法を用いてください．
小数などを用いた近似値での解答は不正解となります．
複数の解答がある場合は小さい値から順に上から改行してください．

記入例
3cos(5π/6)
3cos(π/3)

第3問

$t$が実数全体を動くとする。
このとき、点$$\left(\frac{1}{1+t^2},\frac{t}{1+t^2}\right)$$はどのような図形を描くか答えよ。

解答する際の注意

答えの図形が正確に分かるようにお答えください。

問題文

Aさんは今一個のチョコレートを持っています。もっとチョコレートがほしくなりチョコレートが同時に4個出る機械からチョコレートを1200個ゲットしようと思ってます。同時に4個出たときそれを一サイクルとすると何サイクル目で到達しますか？

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題文

数列{$a_{n}$}を次の条件により定める。
$$
a_{1}=a_{2}=1,
a_{n+2}-a_{n+1}+a_{n}=0
　(n=1,2,3,...)$$
これについて、次の問いに答えよ。
$(1)$　$a_{3}$を求めよ。
$(2)$　$a_{2025}$を求めよ。
$(3)$　$\sum_{n=1}^{2025}\quad{a_{n}}$を求めよ。

解答形式

答えのみを半角算用数字で答えてください
例えば(1)の答えが3、(2)の答えが100、(3)の答えが80のときは、
3,100,80
のように答えてください。

問題文

ある数は2の倍数であり、1を引くと3の倍数である。この数を、小さい順で10個答えよ

解答形式

数字を10個

第7問

次の定積分を求めよ。$$\int_{0}^{\frac{π}{2}}{\frac{dx}{1+\tan x}}\quad$$

第4問

$θ$を媒介変数とし、次のように表される曲線$C$を考える。$$\begin{cases}x=θ-\sinθ\\y=1-\cosθ\end{cases}$$
$0≦θ≦2π$として、この曲線$C$の長さ$L$を求めよ。