$$
恒等式\frac{3ax-b}{(x-1)(2x+1)}=\frac{{cos60゜}+{log_24^a}}{x-1}+\frac{{sin45゜}+{log_327^b}}{2x+1}\\について、a,bについて求めて下さい。
$$
$$
(1)\begin{cases}a=\frac{2}{5}\\b=-\frac{1}{4}\end{cases}
(2)\begin{cases}a=\frac{4}{6}\\b=-\frac{2}{5}\end{cases}
(3)\begin{cases}a=\frac{6}{7}\\b=-\frac{3}{7}\end{cases}
(4)\begin{cases}a=\frac{7}{8}\\b=-\frac{5}{9}\end{cases}
$$
$0$ 以上 $1$ 以下の実数の組 $(x_0 , x_1 ,\ldots, x_{100})$ と正の実数の組 $(y_0 , y_1 ,\ldots ,y_{100})$ が以下の条件を満たしました.
$$
x_ny_n=n(0\leq n\leq 100),\quad y_0=2,\quad y_{100}=260
$$
この時,以下の値の最小値を求めてください.
$$
\sum_{k=0}^{99} \left(\sqrt{y_k^2+y_{k+1}^2-2y_ky_{k+1}\Bigl( x_kx_{k+1}+\sqrt{(1-x_k^2)(1-x_{k+1}^2)}\Bigr)}\right)
$$
求める値は $\sqrt{m}$ と表せるので, $m$ の値を半角数字で解答してください.
( https://mathlog.info/articles/Lf8QaKPklfv156yuq309 問題13)
三角形$ABC$において外接円,内接円,角$A$内の傍接円の半径をそれぞれ$R,r,r_A$とすると
$$R=14,r=6,r_A=19$$
が成り立ちました.このとき$BC$の長さの二乗を求めてください.
答えを入力してください.
以下の条件を全て満たす $20001$ 個の整数の組 $(a_0,a_1,…,a_{20000})$ を 階段状な組 と定義します.
また,階段状な組 $A=(a_0,a_1,…,a_{20000})$ に対して スコア $S(A)$ を以下のように定めます.
階段状な組全てに対してスコア $S(A)$ の総和を求め,その値が $2$ で割り切れる最大の回数を求めてください.
答えを入力してください.
三角柱 $ABC-DEF$ があり,いま点 $P$ は頂点 $A$ にいます.点 $P$ が隣り合う頂点に移動する操作を $12$ 回繰り返して点 $A$ に戻るように移動する方法すべてに対して,上下に移動する回数の総和を求めてください.
ただし上下に移動するとは,頂点 $A,B,C$ のいずれから頂点 $D,E,F$ のいずれかに移動すること,またその逆を意味します.
半角数字で解答してください.
図のような展開図を組み立てできる立体の体積は何㎤ですか。
ただし、⚪︎の三角形は直角二等辺三角形、×の三角形は正三角形、⬜︎の四角形はひし形で、青の角の大きさは60°、赤の角の大きさは120°です。また、⚪︎の三角形の面積は36㎠です。
半角数字で入力してください。
例)10