数学の問題一覧

問題文

$202\times5$ のマス目があり，それぞれのマスに上下左右のいずれかの矢印が書かれており，以下の $2$ つを満たしました．

• 任意のマスについて，そのマスに書かれている矢印の方向に動くということを繰り返すことで元のマスに戻ることができる．

• 互いに向かい合っているような矢印は存在しない．

• $3$ 列目に書かれた $202$ 個の矢印の中に，左向きの矢印は存在しない．

条件を満たすように矢印を書き込む方法は $N$ 通りあります．$N$ を$2$ つの素数の積 $197\times199$ で割った余りを求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

三角形 $ABC$ において，$\angle{A}, \angle{B}, \angle{C}$ の角の二等分線と辺 $BC, CA, AB$ との交点を $D, E, F$ ，直線 $CF$ と $DE$ の交点を $X$ ，三角形 $ABC$ の外接円と直線 $AD, AX$ の交点を $M, N$ とすると，以下が成り立ちました．
$$
MN=NC， BD=4， DC=6
$$このとき，三角形 $ABC$ の面積を求めてください．ただし，答えは 正整数 $a, b, c$ ( $a$ と$b$ は互いに素，$c$ は平方因子を持たない)を用いて $\dfrac{b\sqrt{c}}{a}$ と表されるので $a+b+c$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$1$ 以上 $5$ 以下の整数しか項に持たない全 $2025$ 項の数列があり，任意の連続する $3$ 項において以下を満たします．

• $3$ 項の順番を並び替えることで等差数列になる．

例えば，$1, 1, 1, 1, \ldots$ や $1, 3, 5, 4, \ldots$ は条件を満たします．このような数列は $N$ 個あります．$N$ を素数 $677$ で割った余りを求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

正整数値に対して定義され正整数値をとる関数 $f(x)$ は，任意の正整数 $a, b, c$ において，以下を満たしました．
$$
f(a)+f(b)+f(c)=f(abc)+2
$$また，$f(15)=15$ を満たすとき，$f(2025)$ としてあり得る値の総和を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

△ABCの内接円が辺ABと点D、辺BCと点E、辺CAと点Fで接する。角ACBの二等分線と辺ABの交点をG点Dから線分EFに引いた垂線と辺BCの交点をH とすると、
$$BG=8,BD=6,BH=\frac{31}{2}$$
となった。
この時HCの長さを求めよ。

解答形式

求める長さは互いに素なa,bで$$\frac{a}{b}$$と表せるのでa+bを解答してください。

問題文

$$\sum_{i=1}^{n} x_i^n = y^n$$
$x_i$がすべて互いに素でnが6以上のときこの式を満たす自然数は高々有限個しか存在しない。

解答形式

この命題が真か偽を証明しなさい。

問題文

$D_n$ を $1$ から $n$ までの整数の順列 $(a_1, a_2, \cdots ,a_n)$ のうち
$$a_k \neq k \quad (k=1, 2, \cdots ,n)$$ を満たすものの個数とする. 例えば, $D_2=1, D_3=2, D_4=9$ である.
このとき,任意の素数 $p$ に対して$$D_{p-1} \equiv \sum_{k=0}^{p-1}{k! } \pmod{p}$$ となることを示せ.

解答形式

方針だけでも採点します

問題文

ある数は2の倍数であり、1を引くと3の倍数である。この数を、小さい順で10個答えよ

解答形式

数字を10個

問題文

$a^{17}+b^{17}=c^{17}$を満たす自然数の組み合わせ$(a,b,c)$が存在しないことを示せ。

解答

多少厳密じゃなくても正解になります。

問題文

リーマンゼータ関数の自明でないゼロ点は閉じた形で表せられるか。

解答形式

証明またはリーマンゼータ関数の自明でないゼロ点の閉じた形を解答しなさい。

問題文

gcd(a,b)=1 なる2以上の正整数a,bについて、
$$a^3b-ab^3$$
が平方数とならないことを示せ。

解答形式

解答の文章を入力してください(省略ok)

$S$を集合として$M$をその任意の部分集合とする。
(i). $\mathfrak{O}_M:=\{X|M\subset {X},X\subset {S}\}\cup{}\{\emptyset\}$は$S$の位相となることを示せ。
(ii).{$\mathfrak{O}_M\}_{M\in\mathcal{P}(S)}$以上の濃度をもつ$S$の位相の集合は存在するか。するなら具体的に一つ述べよ。
ただし$S$の濃度$|S|≧2$とする。