$AB\lt AC$ なる三角形 $ABC$ において,外心を $O$,内心を $I$ とします.また,三角形 $ABC$ の内接円と辺 $BC$ の接点を $D$ とします.さらに,$I$ を通り直線 $BC$ に平行な直線と直線 $AD$ との交点を $P$ とすると,以下が成立しました.
・直線 $AD$ と直線 $IO$ は直交する.
・$AP=15,DP=8$
$AI$ の長さの $2$ 乗は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表せます.
ところで,$\cal{AB}=a,\cal{AC}=(b\ \mathrm{mod}\ a)$ なる三角形 $\cal{ABC}$ の内心を $\cal{I}$,内接円 $\omega$ と辺 $\cal CA,AB$ との接点をそれぞれ $\cal E,F$ とします.三角形 $\cal ABE$ の外接円と三角形 $\cal ACF$ の外接円が $\omega$ 上で交わっているとき,辺 $\cal BC$ の長さを求めてください.ただし,求める長さは,正整数 $c,d$ を用いて $c-\sqrt{d}$ と表せます.ただし,$(b\ \mathrm{mod}\ a)$ で $b$ を $a$ で割った余りを表します.
ところで,$n=d-2c-4$ とします.Furinaくんは,以下のような問題Xを作りましたが,数値設定に悩んでいます.
問題X:$XY=n,YZ=p,ZX=q$ なる三角形 $XYZ$ の内心を $ぴ$,$\angle X$ 内の傍心を $か$ とします.$ぴか$ の長さを求めてください.
Furinaくんは,解答形式を奇麗にしたいため,$ぴか^2$ が正整数になるようにしたく,さらに $ぴか^2$ が $p$ で割り切れないようにしたいといいます.このようなことが可能な奇素数の組 $(p,q)$ すべてについて,$p+q$ の総積を求めてください.
追記 $\angle A$ 内の傍心とありましたが,これは $\angle X$ 内の傍心のことです.現在は訂正されています.
半角整数値で解答してください.
鋭角三三三角形 $ABCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC$ において,その外心を $O$,垂心を $H$,内接円を $\omega$ としたとき,$O,H$ はともに $\omega$ 上にあり,$\omega$ の半径は $1$ であった.
この条件下で線分 $OH$ の長さとしてありうる値の総積を $xxxxxxxxxx$ とする.$xxxxxxxxxx$ の最小多項式を $P$ として,$|P()|$ の値を解答せよ.ただし,$xxxxxxxxxx$ が最小多項式をもつことが保証される.
半角数字を用いて解答せよ.解答すべき値が $$ でないことは保証される.
$$\sum^{100}_{k=1}\left\lfloor \sqrt[3]{1001001-k^3}\right \rfloor$$
を $2$ で割った余りはいくつですか?
非負整数で解答してください。
この問題の提出制限は $1$ 回です。
正の有理数に対してスコアを次のように定義する。
有理数に対して正則連分数の数列を $[a_0;a_1,a_2,...,a_n]$とした時、$\sum^{n}_{i=0}a_i$
連分数を知らない人は下のWikipediaを見ても良いです
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B0
例えば、$9$ のスコアは $9$ で、$\frac{7}{4}$ のスコアは $5$ で、$\frac{1}{7}$ のスコアは $7$ です。
スコアが $10$ であるような正の有理数の中で $100$ 番目に小さいものを解答してください。
答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて、$\frac{b}{a}$ と表せるので $a+b$ を解答してください。
この問題の提出制限は $5$ 回です。
左から右に一列に並んだ $n$ 色のボールがあります。AliceとBobはボールを使ったデスゲームで遊ぶようです。
Aliceが先手でそれ以降は交互に手番を行います。
各手番のプレイヤーは隣り合う $2$ つのボールを選択し、その位置を入れ替えます。この時、その $2$ つのボールの組が(自分相手関係なく)過去に選ばれていた場合、全てのボールが大爆発し、手番のプレイヤーは死にます。死ななかった方が勝ちです。
例: $n=3$ の場合
最初のボールの並びを (赤,青,黄) とします。
Aliceの手番
赤と青を入れ替えました。盤面:(青,赤,黄)
Bobの手番
赤と黄を入れ替えました。盤面:(青,黄,赤)
Aliceの手番
黄と青を入れ替えました。盤面:(黄,青,赤)
Bobの手番
赤と青を入れ替えようとしますが、赤と青の組は最初のターンで選ばれています。全てのボールが大爆発し、Bobは死にました。
Aliceの勝利です。
Bobが死んでしまったのでゲームが出来なくなってしまいました...
あなたが代わりに参加して下さい。
あなたが負けた場合は全ての問題が大爆発し、得点が-5000兆点になります。
今回は $n=333$ です。あなたが先手か後手を選んでください。
あなたが選ぶ手番を先手か後手の漢字二文字で解答してください。
この問題に不正解の判定を受けた場合、あなたのUSOMO004での得点は $-5000000000000000$ 点になります。
この問題の提出制限は $1$ 回です。
$40000000001$ は二つの異なる素数の積で表されます。その二つの素数のうち小さい方を解答してください。
非負整数で解答して下さい。
この問題の提出制限は10回です。
10の倍数でない正の整数 $n$ に対し, $f(n)$は, 十進法表示で $n$ を $1$ の位から逆の順番で読んで得られる正の整数として定めます. たとえば$f(123456789) = 987654321$です. $n+f(n)$が81の倍数となるような十進法で10桁の$n$の個数を解答してください.
本問は大学への数学2024年12月学コン3番に掲載されている自作問題です.
三角形$ABC$において,$A,B,C$から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とし,$AD,BC$の中点をそれぞれ$M,N$とする.$A N$と$EF$の交点を$P$とし,$DP$と$MN$の交点を$Q$,三角形$ABC$の外接円と$AQ$が再び交わる点を$R$としたとき,$$AN=10 AB=9 NR=3$$が成立した.このとき,$AC²$の値を解答してください.
半角で解答してください.
三角形 $T$ の一つの辺の長さは平方数で,残りの辺の長さは素数であるとする.また,$T$ の面積は整数で,外接円の直径は素数であるとする.$T$ の各辺の長さを求めよ.
$T$の3辺の長さの総和としてありうる値の総和を解答してください。(論証は解説を参照してください。)
2018年3月の大学への数学「読者と作るページ」に掲載された問題です。
(1) $\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$を用いて, $\displaystyle\lim_{t\to +0}\int_{t}^{1} \log{\sin{\frac{\pi}{2}\theta}}\, d\theta = -\log{2}$を示せ(極限値の存在は認めてよい). これを用いて$\displaystyle\lim_{t\to + 0}\int_{t}^{1} \dfrac{\theta\cos{\frac{\pi}{2}\theta}}{\sin{\frac{\pi}{2}\theta}} \, d\theta$ を求めよ.
(2) $\displaystyle\lim_{n\to \infty} \left(\int_{\frac{1}{n}}^{1} \sqrt[n]{\sin{\dfrac{\pi}{2}\theta}} \, d\theta\right)^{n}
$を求めよ.
電卓などを利用することで, (1)の答えを $L_1$ とし, (2)の答えを $L_2$ とするとき, $L_1 + L_2$ の値を小数点第5位まで表示したものを回答してください. (例:0.1234567なら0.12345と解答する)