数学の問題一覧
問題文
集合 $\{ 1,2,3,\cdots,10 \}$ を $S$ とおきます。 $S$ の各要素に対して定義され、 $S$ 上に値をとる関数 $f$ であって、任意の $S$ の要素 $x$ に対して $f(f(f(x))) = x$ が成り立つ $f$ の総数を解答してください。
解答形式
算用数字で解答してください
問題文
正整数 $N$ に対して $N$ を $2$ 進数で表したときの $0,1$ の個数をそれぞれ $p_0(N),p_1(N)$ とします．以下を満たす正整数の組 $(A,B)$ の個数を素数 $4057$ で割ったあまりを解答してください．
$$p_1(A) \geq p_0(A), \quad p_1(B) \geq p_0(B), \quad
p_1(A)+p_1(B)=2026$$
解答形式
算用数字で解答してください．
問題文
正の整数$n$について、以下の様に$f(n)$を定める：
$1$以上$n$以下の整数$i$に対して、$n$と$i$の公約数の総和を$g(n,i)$とする
このとき、$f(n)=\sum_{i=1}^{n} g(n,i)$である
$1$以上$2026$以下の整数$n$について、$f(n)$の値が奇数となるような$n$の総和を求めなさい。
解答形式
例）答えで解答してください。
x^16+8x^12+24x^8+36x^4+16を整式の範囲で因数分解しろ。ただし、次数が低い因数を優先して先に書き、次数が同じなら-の項の数が少ない順に先に書け。
(余談:複四次式の因数分解について広めて)
問題文
正の実数 $a,b$ に対し、楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ に異なる $4$ 点で内接、外接する正方形の面積をそれぞれ $S_1, S_2$ とする。以下の選択肢の中から面積比 $\dfrac{S_2}{S_1}$ を表しているものを選べ。
1 $\,\dfrac{a+b}{ab}\quad$2 $\,\dfrac{(a+b)^2}{ab} \quad $3 $\,\dfrac{a^2+b^2}{ab} \quad $4 $\,\dfrac{(a^2+b^2)^2}{a^2b^2} \quad $5 $\,\dfrac{a^4+b^4}{a^2b^2}$
6 $\,\dfrac{a+b}{2ab}\quad$7 $\,\dfrac{(a+b)^2}{2ab} \quad $8 $\,\dfrac{a^2+b^2}{2ab} \quad $9 $\,\dfrac{(a^2+b^2)^2}{2a^2b^2} \quad $10 $\,\dfrac{a^4+b^4}{2a^2b^2}$
解答形式
選択肢の数字を答えてください。
問題文
$AB＞AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とし，線分 $AH$ を直径に持つ円と三角形 $BHC$ の外接円の交点を $X$ と定めます．
直線$AX$ と直線 $BC$ の交点を $N$，線分 $BC$ に対して点 $X$ と対称な点を $K$ とします．
この時次が成り立ちました．$$XN=7，AC=28$$
また，直線 $AN$ と三角形 $ABC$ の外接円の交点を $U$ ，点 $A$ から線分 $BC$ へ下ろした垂線の足を $D$ とすると，点 $X,U,K,D$ は同一円周上にあったそうです．
線分 $KC$ の長さを求めて下さい．
解答形式
答えが正整数なら半角数字でそのまま入力して下さい．
答えが分数なら互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ を入力して下さい．
問題文
マナブ君は迷路に挑戦することにしました．
迷路にはスタート・ゴールを含む $5$ 箇所のチェックポイントがあり，それぞれに設置されたボタンを $1$ 回押すことで移動できます．
スタートからは必ず次のチェックポイントに移動でき，スタート・ゴール以外の $3$ 箇所については，次のチェックポイントに $\dfrac{1}{5}$ の確率で移動します(それ以外の場合，その場に留まります)．
ゴールに到着すると迷路クリアとなる時，クリアするまでにマナブ君がボタンを押す回数の期待値を求めて下さい．
解答形式
答えが正整数なら半角数字でそのまま入力して下さい．
答えが分数なら互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ を入力して下さい．
問題文
$AB=6，AC=7$ を満たす三角形 $ABC$ の内心を $I$ ，重心を $G$ とすると， $IG⊥BC$ が成り立ちました．
直線 $BG$ と三角形 $ABC$ の外接円 $Γ$ の交点$T(≠B)$ と， $BI$ と $AC$ の交点 $F$ を結んだ直線について， $Γ$ との交点を $S(≠T)$ とします．
$BG$ と $AC$ の交点を $D$，$SD$ と $Γ$ の交点を $X(≠S)$ とし， $BX$ と $AC$ の交点を $K$ とする時，線分 $BK$ の長さの $2$ 乗の値を求めて下さい．
解答形式
答えが正整数なら半角数字でそのまま入力して下さい．
答えが分数なら互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ を入力して下さい．
