数学の問題一覧
3辺の長さがそれぞれ自然数の三角形であり、3辺の長さの合計が1200になるという。このような条件を満たす三角形の個数を求めよ。
次の問題のxとyを求めてください。
3x➕2y🟰x➖y🟰2x➖3y➖7
x＝○○、y＝○○
の形で回答してください。
xとyは小文字です。
マイナスが付く場合はひらがなの延ばし棒を記入してください。
問題文
$p$ は $gcd(p, 10) = 1$ を満たす $p > 1$ の素数とする。
$\frac{1}{p}$ の小数表示における循環節を $C_1C_2...C_L$ とし、その長さを $L$ とする (すなわち $L = ord_p(10)$ である)。
循環節を構成する数字の並びから、以下の2つの整数を定義する。
1. $N_0 = C_1C_2...C_L$ (これを10進法の整数として評価した値)
2. $N_1 = C_2C_3...C_LC_1$ (同様に10進法の整数として評価した値)
また、$C_1 = \lfloor \frac{10}{p} \rfloor$ (すなわち $\frac{1}{p}$ の小数第1位の数字) とする。
以下の2つの条件 (A) と (B) を同時に満たすような、全ての組 $(p, q)$ を求めよ。
(A) $N_1 = qN_0$ が成り立つ。ここで $q$ は $q \ge 2$ を満たす整数である。
(B) $L = q - C_1$ が成り立つ。
解答形式
ある程度解答の方針を示した上で、
解を答えて下さい
問題
x,y,z を正の整数とするとき、方程式
$$ \frac{x^2+y^2+z^2}{xyz+1}=k $$
は正の整数 k の値をとるとする。
(1)この条件を満たす$(x,y,z)$のうち、少なくとも1つが$1$であるとき、$k＝1+m^2$(mは自然数)とかけることを示せ。
(2) k=5 とする。方程式 $\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz+1}=5$ を満たす正の整数解 (x,y,z) で、$x \le y \le z$ を満たすものを考える。これらの解の中で、比の値 $\frac{z}{y}$ が $9.8$ より大きくなるような解のうち、$z$ の値が最小となるものを求めよ。
解答形式
(1)は簡潔な証明と、
(2)はある程度解答の方針を示した上で
解を答えて下さい。
問題文
$p $を 3 以上の素数とする。$X = (p-1)! $とおく。
次の和 S を考える。
(1) $S = X^X + X^{pX}$
$S $を $p^2 $で割った余りを求めよ。
(2)$p$ を $3$ 以上の素数とし、$X=(p-1)!$ とおく。
$k=1, 2, \dots, p-1$ に対して、$A_k = k^{(X^p)}$ および $B_k = (X^k)^{(p-1)}$ と定義する。
次の和 $S$ を考える。
$$S = \sum\nolimits_{k=1}^{p-1} (A_k + B_k)$$
$S$ を $p^2$ で割った余りを求めよ。
対角線同士が $E$ で交わっている凸四角形 $ABCD$ について，
$$BA=9, AD=6, DC=7, \angle AED = \angle ADC = \angle DCB$$
が成り立っているとき，線分 $BC$ の長さは整数 $a,b$ を用いて $a+\sqrt b$ と表せるので，$a+b$ を解答せよ．
$(i,j) (0\leq i,j\leq 2)$ の $9$ 個の格子点がある．いま，この中から $n$ 点をうちどの $3$ 点も直角三角形を成さないように選ぶことができる最大の正の整数 $n$ を $N$ とし，$n=N$ のときの条件を満たす選び方を $M$ 通りとするとき，$M^N$ を解答せよ．