数学の問題一覧
問題文
円$O_1,O_2,O_3$は点$O$を中心とする同心円で、この順に半径が小さい。円$O_1,O_2,O_3$の周上に、それぞれ点$A,B,C$をとるとき、$△ABC$の内部または周上に点$O$が含まれる確率を求めよ。
解答形式
0または1の場合はそのまま答え、互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{b}{a}$と表せる場合は$ab$を解答してください。
問題文
x, y は x^2 + y^2 = 1 を満たす実数である。このとき、、等式 x^2 + y^2 + (y/x)^2 - xy - (y^2)/x - y = 0を満たすx, yは存在するか。 存在する場合はx, yを求め、存在しない場合はそれを示せ。
解答形式
日本語で論述してください。
問題文
$abc=def=ghi=adg=beh=cfi=2025^2$を満たす正の整数の組$(a,b,c,d,e,f,g,h,i)$はいくつあるか．
解答形式
半角で解答してください．
問題文
$1$ から $30$ までの自然数が書かれたカードがそれぞれ $1$ 枚ずつの計 $30$ 枚ある。
この中から $1$ 枚を引き，書かれている数字を確認してから束に戻す操作を $11$ 回繰り返す。
この $11$ 回の操作で得られた自然数を小さい順にならべ，$A_{1}$ から $A_{11}$ とする。
$A_{1}$ から $A_{11}$ は以下の条件を満たしている。
＜条件＞
① $A_{1}$ から $A_{11}$ は相異なる自然数である。
② データの範囲は $27$ である。
③ データの四分位範囲 [$\mathrm{IQR}$] は $9$ である。
④ 四分位数 [$Q_1,Q_2,Q_3$] はこの順に等比数列になっている。
⑤ 中央値と平均値 [$\bar{A}$] の差の絶対値は $1$ である。
⑥ $A_7$ から $A_{11}$ までの $5$ つの数の和は $A_1$ から $A_5$までの $5$ つの数の和のちょうど $2$ 倍である。
⑦ $A_{1}$ から $A_{11}$ の中に立方数が $2$ つある。
⑧ このデータのうち四分位数を除いた $8$ 個の数字を $2$ つずつに分けてできた $4$ つの数字の組
$(A_1,A_2),(A_4,A_5),(A_7,A_8),(A_{10},A_{11})$ について、それぞれの組に $1$ つずつ素数がある。
⑨ このデータには外れ値が $1$ つ存在する。ただし外れ値は以下の通りに定義する。
[$Q_1-1.5 \times \mathrm{IQR}$ 以下 または $Q_3+1.5 \times \mathrm{IQR}$ 以上]
問 このデータの要素を決定せよ。
解答形式
$A_1$ から $A_{11}$ までの11個の自然数を半角空白区切りで1行で回答
投稿者より
問題の不備などありましたら，
感想から教えてくださるとありがたいです。
問題文
どの$2$辺の長さも等しくない鋭角三角形$ABC$の外心，垂心をそれぞれ$O,H$とし，辺$BC$の中点を$M$とします.
$A,B,C$から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とし，直線$DE$と直線$AB$の交点を$P$，直線$DF$と直線$AC$の交点を$Q$とすると，$$
EF=4 AH=5 PQ||AM$$が成り立ちました.直線$PQ$と直線$OH$との交点を$R$とするとき，線分$OR$の長さの$2$乗は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{a}{b}$と表されるので，$a+b$の値を解答してください.
解答形式
半角で解答してください.
問題文
$ $ 原点を $O$ とする $xy$ 平面において，（正とは限らない）整数 $n$ に対し座標 $(60, n)$ の点を $P_n$ と表します．$n$ を整数全体で動かしたとき，線分 $OP_n$ の長さとしてあり得る整数値の総和を求めて下さい．
解答形式
半角英数にし，答えとなる正整数値を入力し解答して下さい．
問題文
点$O_1,O_2$を中心とする円$\omega_1,\omega_2$が異なる$2$点$A,B$で交わっている。これらの共通外接線のうち直線$O_1O_2$に関して$B$と同じ側に接点を持つ物を$l$とし、$\omega_1,\omega_2$との接点を$S_1,S_2$とする。
直線$AB$と$l$の交点を$X$とし、$X$から$\omega_1,\omega_2$に引いた($l$以外の)接線の接点を$T_1,T_2$とすると、$O_1,T_2,S_2$ / $O_2,T_1,S_1$はそれぞれ一直線上にあった。
$\omega_1$の半径が$\sqrt{3}$、$S_1X=\sqrt{2}$のとき、五角形$AO_1S_1S_2O_2$の面積を求めてください。
解答形式
求める値は正整数$a$及び、互いに素な正整数$b,c$、平方因子を持たない正整数$d$により$a+\dfrac{b\sqrt{d}}{c}$
と表せるので、$a+b+c+d$を半角英数字で入力してください。