数学の問題一覧

問題文

以下の式の値を $1000$ で割った余りを答えよ
$$
47!\sum_{k=1}^{45}\
\frac{2k^{3}+7k^{2}+5k-3}{(k+2)!}
$$

解答形式

正整数で回答してください

正整数 $a,b$ であって以下が整数になるようなすべての組 $(a,b)$ について $ab$ の総和を求めてください
$$
\frac{(3ab+2a+4b-6)^2}{13(a^2b^2+a^2+4b^2+4)}
$$

鋭角三角形$ABC$について,その外接円を$\Gamma$,外心を$O$,垂心を$H$,点$A$から辺$BC$に下した垂線の足を$D$とします.さらに,直線$AO$と辺$BC$の交点を$E$,直線$AO$と$\Gamma$の交点を$F$とすると以下が成立しました.
$$
OH=10,　DH=12,　EF=13
$$
このとき$\Gamma$の面積としてありうるものの総和は互いに素な正の整数$a,b$を用いて$\frac ab\pi$と表せるので$a+b$を回答してください.

関数$A(n),B(n)$を
$$
A(n)=(1\le x \le nを満たす1001と互いに素な整数xの個数)\\
B(n)=(n\le x \le 1001を満たす1001と互いに素な整数xの個数)
$$
と定めるとき,次の値を求めてください.
$$
\sum_{n=1}^{1000}\quad \frac{A(n)^2}{A(n)-B(n)}
$$

問題文

ある鋭角三角形ABCにおいてAから対辺への
垂線の足をD,ADの中点をM,△ABCの内心を
IとするとAC//MIである。
BD=1,CD=6のとき△ABCの面積を求めよ。

解答形式

ある程度シンプルな形で答えよ。

問題

任意の自然数nにおいて、$A(n+1)=\frac{A(n)^2+A(n+2)^2}{A(n)+A(n+2)},A(n)>0$
が成り立つ数列{A(n)}をA(2),A(1)の値に
よって定める。
この数列はA(2)>A(1)>0を満たす
任意の(A(1),A(2))組に対して一意に定まる。
$$\lim_{n\to \infty}A(n)を求めよ。
$$(但し、数列{X(n)}において常にX(n)>X(n+1)>x
ならX(n)が収束することを用いて良い)

解答形式

収束するならその値を、
振動するときは'振動する'と、
無限大に発散する時は∞と答えよ。

問題文

xy平面上に固定された円板C:x^2+y^2=1と、
CにA(1,0)で固定された長さ2π、もう一方の端点をPとする糸がある。
始めにP=Aとなるように糸を時計回りでCに巻き付ける。
ここで、Cと合同な円板C'をAで外接させ、
C’上の接点とPを接着する。
C'がCに接しながら糸を弛ませずに反時計回りに
Cを一周する。
(但し、始めからしばらくはC'に糸は巻きつかない)
Pの軌跡の長さを求めよ。

解答形式

Xπ+Y(X,Yは有理数)の形になるので
X+Yを最もシンプルな形で答えよ。
(但し、X,Yは正の数とは限らない)
不正解となった場合、Xπ＋Yもしくは簡単な方針を質問欄に入れてくれると助かります

問題

ある三角形OABにおいて
OP=sOA、OQ=tOBとなるように
P,Qを半直線OA,OB上におく(0<s,t<1)
そして、点Rを次のように定める
・Rは四角形ABQPの内部に存在し、
　 |O-AB|:|O-PQ|=|R-AB|:|R-PQ|を満たす
(但し、|X-YZ|は点Xから直線YZへの距離とする)
このとき、s,tがs+t=1を満たしながら変動する。
Rの存在領域の面積を求めよ！！

解答形式

〈(10D+E)√F−Gπ〉|△OAB|÷9√3と表せるので(D,E,F,Gは数字)、四桁の数DEFGを答えよ

問題文

横一列に並んだ $14$ 個のオセロの石があります．そして，以下の操作を何度か行い，黒面を向いた石の個数をできるだけ少なくします．

• 連続して並んだ $4$ 個の石を選んで，左から $1,2,4$ 個目の石を全て裏返す．

全ての操作の終了後に黒面を向く石の個数を スコア とします．最初の石の配色は $2^{14}$ 通りありますが，これら全ての場合においてスコアの総和を求めてください．
　但し，オセロの石は，片方が黒面で，もう片方が白面であるとする．

解答形式

正整数で答えてください．

問題文

nmoon君は黒板に $60$ の正の約数を一つずつ全て書き込みます．そして，以下の操作をできなくなるまで行います．

• 黒板に書かれた $2$ つの正の整数 $x,y$ について，黒板から $x,y$ を消し，$x,y$ の最大公約数と最小公倍数を黒板に書き込む．但し，このとき，操作前と操作後での黒板に書かれた数が，重複を許して全て一致することはないようにする．

全ての操作が終了したとき，黒板に書かれた数の総和としてあり得る値の総和を求めてください．

解答形式

正整数で答えてください．

問題文

以下の式を満たす正の整数の組 $(m,n)$ 全てについて，$m + n$ の総和を求めてください．

$$(mn - 1)^2 + (m + n)^2 = 650$$

解答形式

正整数で答えてください．

問題文

$AB \lt AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$，とする．直線 $BH, CH$ と三角形 $ABC$ の外接円との交点をそれぞれ $E (\not = B) , F (\not = C)$ とし，辺 $AB , AC$ と 線分 $EF$ との交点をそれぞれ $P , Q$ とする．直線 $AC$ に関して $P$ と対称な点を $R$，直線 $AB$ に関して $Q$ と対称な点を $S$ とし，三角形 $RSH$ の外心を $O$ とすると，以下が成立した．

$$ AH = 3 , BC = 4 , AO = 1$$

このとき，$AB$ の長さを求めてください．

解答形式

互いに素な正整数 $b , c$ および正整数 $a$ を用いて $\dfrac{\sqrt{a} - b}{c}$ と表されるので，$a + b + c$ を答えてください．