数学の問題一覧

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整数問題

sulippa 採点者ジャッジ 難易度:
51日前

5

問題文

素数 $p$ と正の整数 $n$ が、以下の等式を満たすとします。
$$\frac{n^2+np+p^2}{n+p} = 2p-1$$
このような組 $(n,p)$ を全て求めてください。

解答形式

解が有限個であるとされた場合は、全ての解と、それ以外に解が存在しないことの証明を、簡単で構わないのでお願いします。無限個とされた場合は証明いらないので、何らかの形で解を表してください。証明に完全性がないと見なした場合は、採点機能がない都合上、99点をあげたいところも不正解とさせていただきます

原始ピタゴラス数

sulippa 自動ジャッジ 難易度:
51日前

2

問題文

互いに素な整数の辺 $a,b,l$(斜辺 $l$)を持つ直角三角形を考える。内接円の半径を $r$、周長を $L$、面積を $S$ とする。
$L^2=kS$ ($k$ は正の整数) を満たすとき、
全てのkの値を求めよ。

解答形式

半角1スペースおきに小さい順に並べてください

ちょっと前に生えたやつ

kinonon 自動ジャッジ 難易度:
52日前

20

問題文

$n=2\times 577$とする. このとき以下の値を素数$577$で割った余りを求めよ.
$$\sum _{k=0}^{n} {}_{n+k} \mathrm{C}_{n-k}\cdot {}_{2k} \mathrm{C}_{k}$$

解答形式

答えは正整数となるので、その値を解答してください

素微分

Tarotaro 採点者ジャッジ 難易度:
52日前

0

$$n∈𝑁がn=\prod_{i=1}^{∞}p_i^{v_{p_i}(n)}(p∈𝑃)である時、$$$$D(n)=n\sum_{j=1}^{∞}\frac{v_{p_j}(n)}{p_j}と定義する。$$$$この時D(π)を求めよ。ただしπは円周率。$$

四面体の体積,外接球の半径

AS 自動ジャッジ 難易度:
52日前

0

四面体 $\mathrm{ABCD}$ は
$\ \mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=6,\ \mathrm{AD}=\mathrm{BD}=4,\ \mathrm{CD}=5$
を満たす.このとき,四面体 $\mathrm{ABCD}$ の体積 $V$ と,外接球の半径 $R$ を求めよ.

解答においては,$1$ 行目に $V^2$ を,$2$ 行目に $R^2$ を記して答えよ.
ただし,整数でない有理数は既約分数(分母は自然数,分子は整数で,互いに素)で表し,$\displaystyle\frac{5}{13}$ なら
5/13
のように記入せよ.

円に外接する四角形の面積

AS 自動ジャッジ 難易度:
52日前

0

円に外接する凸四角形 $\mathrm{ABCD}$ について,辺 $\mathrm{AB},\mathrm{BC},\mathrm{CD},\mathrm{DA}$ と円との接点をそれぞれ $\mathrm E,\mathrm F,\mathrm G,\mathrm H$ とし,$\mathrm{AE},\mathrm{BF},\mathrm{CG},\mathrm{DH}$ の長さをそれぞれ $a,b,c,d$ とする.このとき,四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$ を $a,b,c,d$ により表せ.

ただし,解答に際しては $a=3,\ b=4,\ c=5,\ d=7$ の場合の $S^2$ の値を答えよ.
整数でない有理数は既約分数(分母は自然数,分子は整数で,互いに素)で表し,$\displaystyle\frac{5}{13}$ なら
5/13
のように記入して答えよ.

接点間距離から半径

AS 自動ジャッジ 難易度:
52日前

1

互いに外接する3つの円 $J,K,L$ があり,$K$ と $L$ の接点を $\mathrm A$,$L$ と $K$ の接点を $\mathrm B$,$J$ と $K$ の接点を $\mathrm C$ とする.$\triangle\mathrm{ABC}$ について,頂点 $\mathrm A,\mathrm B,\mathrm C$ の対辺の長さをそれぞれ $a,b,c$ とするとき,円 $J,K,L$ の半径を求めよ.

ただし,解答に際しては $a=17,\ b=13,\ c=14$ の場合の $J$ の半径の値を答えよ.
整数でない有理数は既約分数(分母は自然数,分子は整数で,互いに素)で表し,$\displaystyle\frac{5}{13}$ なら
5/13
のように記入して答えよ.

自作問題

tomorunn 自動ジャッジ 難易度:
53日前

23

問題文

(10進法で)正の整数を書き、各桁の数字を赤か青に塗ったものを色付き整数と定義する。
例えば、57という数字を色付き整数で表すと、5,7をそれぞれ赤、青に塗るかのそれぞれ2通りあるので4通りの表し方がある。
次の条件を満たす色付き整数の個数を求めよ。
・各桁の数の総和が10である。
・どの桁にも0は使われていない。

解答形式

半角整数で入力してください。

階乗のシグマと合同式

sulippa 自動ジャッジ 難易度:
53日前

2

問題

$p$を$3$より大きい素数とする
$S=\sum_{k=1}^{p-2} k \cdot (k!) \cdot ((p-k-1)!)$ 
を$p$で割った余りを求めよ。

解答形式

解答は既約分数で表せるので、
1行目に分子、
2行目に分母
を半角で書いてください
分母は1になる場合も書いてください

不等式の証明(解説あり)

sulippa 採点者ジャッジ 難易度:
56日前

0

問題文

$0.017$$<$$tan1°$$<$$0.018$
を示せ。

解答形式

大学数学なし
自己流ですが、解説を付けているのでぜひ挑戦してみてください

整数問題 解説あり

sulippa 自動ジャッジ 難易度:
56日前

3

問題文

$p$ を $p \ge 5$ なる素数とする。集合 $G_p = {1, 2, \dots, p-1}$ の部分集合 $S$ が自己双対的であるとは、
$$a \in S \implies a^{-1} \pmod p \in S \quad \text{かつ} \quad a \in S \implies p-a \in S$$
が全ての $a \in S$ に対して成り立つことと定義する(ここで $a^{-1}$ は $\pmod p$ における $a$ の乗法逆元)。

$N_p$ を、$G_p$ の自己双対的な部分集合 $S$ の総数とする(空集合 $\emptyset$ も含む)。

$N_p = 32$ となるような素数 $p$ ($p \ge 5$) をすべて求めよ。


解答形式

解を半角1スペースおきに小さい順に並べてください

極限

sulippa 自動ジャッジ 難易度:
56日前

5

問題文

n を正の整数とし、$p$ を素数とする。$n!$ の素因数分解における $p$ の指数を $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$ とする。

量 $Q_n$ を次のように定義する。
$$ Q_n = \sum_{p \le n} \left( \frac{n}{p-1} - E_p(n!) \right) \log p $$
ただし、和は $n$ 以下の全ての素数 $p$ を走り、$\log$ は自然対数とする。

次の極限値を求めよ。
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{Q_n}{n} $$

ただし、オイラー・マスケロー二定数を $γ$ とする。

解答形式

半角で