数学の問題一覧

問題文

以下の値を素数 $2017$ で割った余りを解答してください。ただし、$\lfloor x\rfloor$ は $x$ 以下の最大の整数を表します。

$\displaystyle\sum_{k=1}^{2023} \left\lfloor\dfrac{3}{7}×2^k\right\rfloor(-1)^{k+1}$

解答形式

非負整数を半角で入力してください．

問題文

$f_0=0,f_1=1,f_{n+2}=f_{n+1}+f_n$で定義された数列において、$f_p$が$p$の倍数となるような素数$p$を全て求めてください。

解答形式

計算式全てを書く必要はないので論証の概略と答えを書いてください。

問題文

正整数 $N$ が 素直 であるとは以下の条件をともに満たすことを言います．

• $N$ は十進法表記で $6$ 桁であり，各桁に $0$ も $9$ も含まない数である．
• $N$ の上 $i$ 桁目を $a_i$ とするとき，「$a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_6$」もしくは「$a_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge a_6$」のいずれかが成り立つ．

素直な整数の総和を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

整数$x, y, z$は$0<x<28,0<y, 0\leq z<20$ と $37x-13y=2z$ を共に満たします。このような整数の組$(x,y,z)$はいくつあるでしょう？

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

正四面体ABCDを考える。正四面体の全ての面に接する内接球の中心を点O、∠AOB=θと定める。

θと108°のうちどちらの方が大きいか。

解答形式

θの方が大きい場合はA、108°の方が大きい場合はB、θ=108°の場合はCと半角入力してください。

問題文

2024年は閏年なので、2024年M月D日という日付が存在するような$(M,D)$の組は366組存在します。このような組のうち、
$$\frac{2024}{M・D}$$
が整数となる組の個数を求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

次の計算をせよ。
$$
{}_{12}{\mathrm{C}}_{1}\quad+{}_{12}{\mathrm{C}}_{2}\quad+{}_{12}{\mathrm{C}}_{3}\quad+……+{}_{12}{\mathrm{C}}_{12}\quad
$$

解答形式

半角算用数字で解答してください

問題文

凸四角形$ABCD$は$\angle{BAC}$$=$$12^\circ$$,$$\angle {CAD}$$=$$30^\circ$$,$$\angle{ACD}$$=$$24^\circ$$,$$AB=CD$を満たします.このとき、$\angle{ADB}$の値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{a}{b}$度となるので、積$ab$の値を求めてください.

解答形式

半角数字で解答してください.

問題文

赤い音符と青い音符の二種類の音符を横に並べたものを譜面と呼びます．
以下の条件を同時に全て満たすような譜面がいくつあるかを求めてください．

• その譜面の赤い音符と青い音符の合計はちょうど $17$ 個である．
• その譜面の最も左の音符は赤い音符である．
• その譜面の左から $2$ 番目の音符は青い音符である．
• その譜面から任意の $3$ つの連続する音符を抜き出したとき，それが左から順に
  「赤い音符，青い音符，赤い音符」にならない
• その譜面から任意の $3$ つの連続する音符を抜き出したとき，それが左から順に
  「青い音符，赤い音符，青い音符」にならない

解答形式

非負整数を半角数字で入力し解答してください。

問題文

$5^n$ の十進法における上一桁の数が $1,2,3$ のいずれかであるような $9999$ 以下の正整数 $n$ はいくつありますか．ただし，$5^{9999}$ は十進法において $6990$ 桁であり，上一桁の数は $1$ です．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

三角形$ABC$は$|AB|=84$、$|BC|=|CA|=72$を満たす二等辺三角形です。この三角形の垂心を$H$、頂点$A, B, C$から延びる垂線の足をそれぞれ$D,E,F$と置きます。さらに、直線$CF$上に$|DF|=|DG|$を満たす$F$でない点$G$をとります。この時、四角形$DFEG$の面積は互いに素な正整数$p,r$と平方因子を持たない数$q$を用いて$\dfrac{p\sqrt{q}}{r}$と表されるので、$p+q+r$を解答してください。ただし、$|AB|$で$AB$間の距離を表すものとします。

解答形式

半角数字で解答してください。

次の不定積分を求めよ。

∫x^x dx