数学の問題一覧
問題文
正整数からなる有限集合 $V$ に対し，その要素数を $f(V)$ ，要素の総和を $g(V)$ とします．相異なる正整数からなる有限集合 $S$ であって，次を満たすものを良い集合とします．
- $S$ の任意の部分集合 $T$ について，命題「 $f(T)$ が奇数ならば $g(T)$ は素数である」は真である．
$f(S)$ が最大となるような良い集合 $S$ のうち，$g(S)$ が最小となるようなものは一意に定まるので，その要素の総積を解答してください．
解答形式
答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．
問題文
正六角形 $ABCDEF$ の内部に，正六角形 $GHIJKL$ があります．また，平行な $2$ 直線 $WX,YZ$ の距離を $f(WX,YZ)$ とします．このとき，これらは以下をすべて満たしました．
- $AB\parallel GH,BC\parallel HI$
- $f(AB,GH)\lt f(AB,KJ)$
- $f(AB,GH)+f(BC,HI)+f(CD,IJ)+f(DE,JK)+f(EF,KL)+f(FA,LG)=8$
このとき，$2$ つの正六角形の一辺の長さの差の $2$ 乗を求めてください．
解答形式
答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．
問題文
実数aを媒介変数とし、定数$$g＝\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}$$とする。
(1).関係式$$g(ax+y)-(g(x-ay))^2＝4$$を与える。aを変化させたとき、この関係式を満たす点(x,y)全体の集合をxy平面上に図示せよ。
例)y＝a(0≦a≦5)ならば、y＝0とy＝5の間の領域を図示する。
(2).関数$$y^2＝|x|-4$$をxy平面に図示し、(1)で求めた領域との位置関係を明確にせよ。
(3).(1)と(2)で図示した領域の和集合の面積を求めよ。ただし、領域の範囲は、|x|≦8,|y|≦8に限るものとする。
解答形式
(1)(2)は誘導です。解答は(3)の面積のみ行ってください。
分子の値(空白(半角1マス))分母の値 と解答してください。
また、演算記号は半角を用いて、円周率はπとして、×は省略してください。
例)$$\frac{1-3×π}{2}$$ならば、
1-3π 2
問題文
実数aを媒介変数とし、定数$$g＝\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}$$とする。
(1).関係式$$g(ax+y)-(g(x-ay))^2＝4$$を与える。aを変化させたとき、この関係式を満たす点(x,y)全体の集合をxy平面上に図示せよ。
例)y＝a(0≦a≦5)ならば、y＝0とy＝5の間の領域を図示する。
(2).関数$$y^2＝|x|-4$$をxy平面に図示し、(1)で求めた領域との位置関係を明確にせよ。
(3).(1)と(2)で図示した領域の和集合の面積を求めよ。ただし、領域の範囲は、|x|≦8,|y|≦8に限るものとする。
解答形式
(1)(2)は誘導です。解答は(3)の面積のみ行ってください。
分子の値(空白(半角1マス))分母の値 と解答してください。
また、演算記号は半角を用いて、円周率はπとして、×は省略してください。
例)$$\frac{1-3×π}{2}$$ならば、
1-3π 2
問題文
nを自然数、T(n)をcosθの多項式としてT(n)＝cosnθと定める。このとき、以下の漸化式が成り立つことを与える。
$$T(n+2)-2cosθ×T(n+1)+T(n)＝0$$
k,m,s,t,u,a,b,cを自然数、p,qを素数、θを実数とする。ただし、k≧3，a<bとする。
関数$$f(θ)＝cos((k+1)θ)，g(θ)＝cos(kθ)$$に関して、
次の式①がθの値によらず恒等的に成り立つような(k,m,s,t,u,a,b,c,p,q)の組を求めよ。
①:$$4m\frac{d}{d(cosθ)}f(θ)＝10pq・g(θ)+(s-1)(cosθ)^{k-1}+(t^3-2^u+24)(cosθ)^{k-2}+(3^a+3^b-6^c-20)$$
解答形式
問題文に指定された順に、半角のカンマ(,)で区切って解答してください。
このような形です→k,m,s,t,u,a,b,c,p,q
備考
解答には反映しませんが、求めた解の唯一性まで示してみると面白いです。
問題文
三角形 $ABC$ の外接円の半径は $2026$ です．この三角形の垂心を $H$ とするとき $AH^2+BC^2$ を求めてください．
問題文
$$x^2+2027x+a$$$$x^2+2026x+b$$
この２つの二次方程式に共通の解が１つある時、最小の自然数a、b、それぞれの値を求めない。
解答形式
1行目にaの値を、2行目にbの値を入力してください。いずれもa=、b=は必要ありません。
問題文
完全数たる半素数を全て求めよ。
註
完全数：その数自身を除く正の約数の総和が，その数自身に等しい数。e.g. $28=1+2+4+7+14$
半素数：$2$ つの素数の積で表される数。
解答形式
解が複数ある場合には，小さいものから順に並べ，半角のカンマ「,」で区切り入力してください。スペースは不要です。