数学の問題一覧

問題文

$1,2,4,\dots,512$ の並び替え $a_1,a_2,\dots,a_{10}$ であって，

$$\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_3}{a_4}+\frac{a_5}{a_6}+\frac{a_7}{a_8}+\frac{a_9}{a_{10}}=1$$

を満たすものはいくつありますか．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$x$ についての $4$ 次方程式 $x^4+2x^3+3x^2+4x+5=0$ の $4$ つの複素数解を $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ としたとき，次の値を求めてください．

$$(\alpha\beta\gamma+\delta)(\beta\gamma\delta+\alpha)(\gamma\delta\alpha+\beta)(\delta\alpha\beta+\gamma)$$

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$x$ についての $100$ 次方程式 $x^{100}+x^{99}+\dots+x+1=0$ の $100$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_{100}$ とします．このとき，

$$\left|\sum_{k=1}^{100}\frac{1}{\alpha_k-1}\right|$$

の値を求めてください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

座標平面上で，$0\leq i\leq5,0\leq j\leq5$ なる整数 $i,j$ を用いて $(i,j)$ と表される点のうち相異なる $3$ つを選んでそれらを良い点とします．次を満たすように $3$ つの良い点を選ぶ方法は何通りありますか．

• 点 $(0,0)$ から点 $(5,5)$ まで $x$ 座標または $y$ 座標が整数である状態を保って最短で移動する経路であって，良い点をすべて通るようなものが存在する．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$360$ の正の約数 $24$ 個を小さい順に $d_1,d_2,\dots,d_{24}$ とします．$24$ 以下の正整数組 $(i,j,k)$ であって，$360=d_id_jd_k$ を満たすものはいくつありますか．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

正整数 $k$ であって，

$$2^k=a^b$$

を満たす正整数組 $(a,b)$ がちょうど $6$ 個存在するようなものを小さい順に $3$ 個求め，それらの総和を解答してください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$n$を$2$以上の自然数としたとき、$n^4+4^n$が素数であるような$n$は存在するか。

解答形式

存在するなら、1と回答し、存在しないなら2と回答してください。
ニブイチです。勘で当たるでしょう。

問題文

$2026$枚のコインが円周上に並んでいます。
あなたは以下の操作を好きな回数繰り返すことができます。
操作:隣り合う$3$枚のコインを選び、両端の$2$枚だけを裏返す。
はじめ、コインは全て表向きで置かれているものとします。
このとき、操作を繰り返すことで$1$枚だけが裏という状態にすることは可能ですか？

解答形式

可能または不可能と入力してください。

問題文

a^3+b^2+c=11を満たす正の実数a,b,cについて、積abcの最大値を求めてください

解答形式

求める値は異なる有理数w,x,y,zを用いてw^x・y^zと表されるので、積wxyzを解答してください

問題文

正の整数$n$について、以下の様に$f(n)$を定める：

$1$以上$n$以下の整数$i$に対して、$n$と$i$の公約数の総和を$g(n,i)$とする
このとき、$f(n)=\sum_{i=1}^{n} g(n,i)$である

$1$以上$2026$以下の整数$n$について、$f(n)$の値が奇数となるような$n$の総和を求めなさい。

解答形式

例）答えで解答してください。

問題文

集合 $\{ 1,2,3,\cdots,10 \}$ を $S$ とおきます。 $S$ の各要素に対して定義され、 $S$ 上に値をとる関数 $f$ であって、任意の $S$ の要素 $x$ に対して $f(f(f(x))) = x$ が成り立つ $f$ の総数を解答してください。

解答形式

算用数字で解答してください

問題文

げるまにうむ君は$2029$問のテストを受けました。
$1$以上$2029$以下の整数$i$について、このテストの$i$問目の正答は$2i$です。
$i$問目について、げるまにうむ君は、$i$を解答した時、またその時に限り発狂します。
各問題について、発狂する回数は高々$1$回です。
いま、げるまにうむ君は全ての問題について$0$以上の整数を$1$つずつ解答し、その総和は$2028^{2026}-2$でした。
この時、げるまにうむ君の解答としてあり得るもの全てについて、げるまにうむ君が発狂した回数の総和を素数$2027$で割った余りを求めてください。

解答形式

答えを解答してください。