よくある整数問題

問題文

2つの実数 $\alpha$ と $\beta$ を次のように定義する。

• $\alpha = \sqrt{17 - 12\sqrt{2}}$
• $\beta = \sqrt{17 + 12\sqrt{2}}$

この $\alpha, \beta$ を用いて、自然数 $n$ に対する数列 ${T_n}$ を以下で定める。

$$T_n = \alpha^{2^n} + \beta^{2^n}$$

このとき、$T_3$ の値は、ある正の整数 $A$ を用いて、

$$T_3= A + \sqrt{A^2-1}$$

と一意に表現することができる。

この整数 $A$ の値を求めよ。

解答形式

半角

問題文

ある4桁の自然数ABCDに対して、$$｢CD\times BA=ABCD$$かつ$A≠0,B≠0,C≠0,D≠0$｣となるようなものを全て求めよ。(条件不十分でしたすみません)

解答形式

例）出てきた解を小さい順に｢,(カンマ)｣で区切って書いてください。

問題文

$\log_2 25$ の小数部分をbとする
このとき、$\log_{10}2$ をbを用いて表せ

解答形式

答えのみ

問題文

円Oが存在して、円O上に点A,B,C,Dをこの順に配置する。角ABD、角DCAそれぞれの二等分線の交点をE、角BAC、角CDBそれぞれの二等分線の交点をF、BDとACの交点をG、△ABG、△DCGそれぞれの内心をI,I’とする。
$$AB=\frac{19}{2},EF=11,△ABI=\frac{19}{2} $$
の時、四角形EIFI’の面積を求めよ。

解答形式

求める値は互いに素な正整数a,bでa/bと表せるので、a+bを解答してください。

問題文

$202\times5$ のマス目があり，それぞれのマスに上下左右のいずれかの矢印が書かれており，以下の $2$ つを満たしました．

• 任意のマスについて，そのマスに書かれている矢印の方向に動くということを繰り返すことで元のマスに戻ることができる．

• 互いに向かい合っているような矢印は存在しない．

• $3$ 列目に書かれた $202$ 個の矢印の中に，左向きの矢印は存在しない．

条件を満たすように矢印を書き込む方法は $N$ 通りあります．$N$ を$2$ つの素数の積 $197\times199$ で割った余りを求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

方程式 $x^2+xy+y^3=7$ の表す図形を $y$ 方向に $\fbox{ (1) }$ 平行移動してから $\fbox{ (2) }$ に関して対称移動し，$x$ 方向に $\fbox{ (3) }$ 平行移動し，$\fbox{ (4) }$ に関して対称移動すると，方程式 $x^3-3x^2+xy-y^2+5y=0$ の表す図形となる．

以上の空欄 $(1)\sim(4)$ を適切に補充せよ．ただし，$(1),(3)$ には数値を答え，$(2),(4)$ には以下の語群から言葉を選び答えよ．

【語群】
$\mathrm A.\,x$ 軸
$\mathrm B.\,y$ 軸
$\mathrm C.$ 直線 $y=x$

答えは，空欄 $(1),(2),(3),(4)$ に当てはまる数または記号をそれぞれ $1,2,3,4$ 行目に記して答えよ．
ここで，整数でない有理数は既約分数(分母は自然数，分子は整数で，互いに素)で表し，$\displaystyle\frac{-5}{13}$ なら
-5/13
と記すこと．

【解答例】
3
A
-5/13
B

問題文

∮(-π/6→π/3) ((sinx)^3)/(sinx+cosx)dxの値を求めよ。

解答形式

解答は π/a-(√ b+c)/d-(1/e)log(√f+g)の形になります。
a,b,c,d,e,f,gに当てはまる自然数を順に半角で答えてください。
また、1つの値の間は1つずつ空白を開けるようにしてください。
(例)a=2, b=3, c=11,d=5,e=6,f=7,g=8の場合、
2 3 11 5 6 7 8

問題

整数 $x,y$ と数列 $z_k=|x-k|+|y-k|$ に対し，次の命題は $xy\leqq 7!$ の反例を何組もつか．

• ある非負偶数 $k$ で $z_k\lt 2$ は，辺長 $x^3+8,\ y^3+8,\ 6xy+8$ の三角形が存在する必要条件である．

解答形式

半角数字で入力してください．

サイコロを $3$ 回振って出た目を $a, b, c$ とする．このとき，$xy$ 平面上の $3$ 直線
$ax+2by+3c=0,\ 3bx+cy+2a=0,\ 2cx+3ay+b=0$
によって囲まれる三角形が存在する確率を求めよ．
答えは互いに素な自然数 $\eta,\zeta$ を用いて $\displaystyle\frac \eta\zeta$ と表されるので，$1$ 行目に $\eta$ を，$2$ 行目に $\zeta$ を答えよ．

$a,b,c\ (a\neq0)$ を実数とする．放物線 $y=ax^2+bx+c$ が，$3$ 直線
$\ y=x-2,\ y=-3x+2,\ y=7x-3$
の全てと接するとき，$a,b,c$ の値を求めよ．

答えは，$a,b,c$ の値をそれぞれ $1,2,3$ 行目に記入せよ．ただし，整数でない有理数は既約分数(分母は自然数，分子は整数で，互いに素)で表し，$\displaystyle\frac{-5}{13}$ なら
-5/13
のように記入して答えよ．

【解答例】
1
-2
-1/3

問題文

$x \ge -1$ の範囲で定義される関数 $f(x)$ を、以下の無限多重根号によって定める。
$$f(x) = \sqrt{x+2\sqrt{x+2\sqrt{x+2\sqrt{x+\cdots}}}}$$
$f(x)$ の逆関数を $g(x) = f^{-1}(x)$ とする。このとき、以下の定積分の値を求めよ。
$$\int_1^4 g(x) \, dx$$

解答形式

半角

問題文

$$
p^{q+r} +q^{p+r} +r^{p+q}が素数となるような10以下の素数の組(p,q,r)の個数を求めよ。
$$

解答形式

半角数字で解答してください。覚悟して解いてください。