数学の問題一覧
問題文
非常に細長いガムテープがあります。このガムテープは $M$ 個の区画に分かれています。ここで、$M$ は非常に大きい整数です。
はじめ、ガムテープには何も描かれていません。じーえむ君は $M$ 回以下の操作を行い、絵を描きます。
- まだ何も塗られていない隣接する二つの区画を一様ランダムに選び、黒く塗る。そのような区画が存在しない場合は何もしない。
操作が終わった後黒く塗られている区画の数を $X$ とします。
$M$ が限りなく大きくなるときの $\frac{X}{M}$ の期待値の極限を求めてください。
解答形式
答えとなる値を $p$ として $10^{10}p$ の整数部分を求めてください。
なお、以下の定数表を参考にしても構いません。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%AE%9A%E6%95%B0
問題文
じーえむ君は $n×n$ の盤面のマス目に $2\times 2$ の正方形タイルを重ならないように出来るだけ多く入れたいです。
ただし、盤面はトーラスになっています。上から $x$ 行目 左から $y$ 列目のマスを $(x,y)$ と表すとき、左上のマスが $(x,y)$ であるようなタイルは $(x,y),(x+1( mod \ n),y),(x,y+1( mod \ n)),(x+1( mod \ n),y+1( mod \ n))$ の $4$ マスを占有します。
じーえむ君が入れることが出来るタイルの数の最大値を $N$ とする時、じーえむ君がタイルを $N$ 個入れる方法は何通りありますか？
ただし、回転や平行移動などで一致する入れ方は区別して数えてください。
上記の問題は $n$ が $4$ で割って $1$ 余る数である時上手く解くことが出来ます。
$n= 333,1001,7777$ のそれぞれについて上記の問題を解いてその答えの総和を解答してください。
解答形式
非負整数で解答してください。
問題文
この四角に切れの解はいくつ存在しますか？
http://pzv.jp/p.html?shikaku/21/21/zzzi.z..z..z..z..z..z..z..z..z..z..z..z.9z..z..z..z..z..i
解答形式
非負整数で入力してください
問題文
冨安四発太鼓保存会は冨安四発太鼓の競技化を進めており、全ての曲の長さは $1$ 単位時間と定められました。
冨安四発太鼓のスコアは次のように定められています。
曲が開始した時刻を $0$ とし、太鼓が叩かれた時刻を小さい順に $t_1,t_2,t_3,t_4$ とした時に、スコアは $t_1^{39}t_2^{71}t_3^{94}t_4^{104}$ と定められます。
フニャオ君は曲の中で太鼓をランダムに $4$ 回叩きます。正確には区間 $[0,1]$ から実数を一様ランダムに選ぶという行為を独立に $4$ 回行い選ばれた実数を小さい順に並べ$t_1,t_2,t_3,t_4$ とした時、時刻 $t_1,t_2,t_3,t_4$ に太鼓を叩きます。
この時、フニャオ君のスコアの期待値を求めてください。
解答形式
答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ の値を求めてください。
問題文
正の実数からなる $2$ つの数列 $a_1,a_2,...$ と $b_1,b_2,...$ があり, 任意の整数 $n$ について以下を満たしている．
$$
(a_{n+1},b_{n+1})=\left(\frac{a_n}{2},b_n+\frac{a_n}{2}\right)または(a_{n+1},b_{n+1})=\left(a_n+\frac{b_n}{2},\frac{b_n}{2}\right)が成立する．
$$
$(a_1,b_1)$ が $(7,11)$ であるとき, $a_{100}$ としてあり得る値の中で $2025$ 番目に小さいものを求めよ．
解答形式
答えの値を $x$ としたとき, $2^{100}x$ の値を解答してください．
参考:$2^{100}=1267650600228229401496703205376$
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マ謔ｲ魑ｴッ蟄､迢ｬカ蜻ｪ諤ｨ蠢ｵ蜻ｪ標蜻ｪ謔ｲ魑ｴ上蜻ｪ格諤ｨ蠢ｵに蜻ｪ店蟄､迢ｬカ蜻ｪェ蜻ｪチ諤ｨ蠢ｵン店蜻ｪす。
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$x,y$ 蜻ｪ標諤ｨ蠢ｵち諤ｨ蠢ｵ $1$ 蜻ｪ上 $n$ 以蜻ｪで謔ｲ魑ｴよ諤ｨ蠢ｵマ蜻ｪ蜻ｪッ諤ｨ蠢ｵ蜻ｪフ諤ｨ蠢ｵ店蜻ｪ数諤ｨ蠢ｵ大値蜻ｪ $f(n)$ 諤ｨ蠢ｵる蟄､迢ｬ全蜻ｪ諤ｨ蠢ｵ蜻ｪ数 $n$ に蜻ｪ謔ｲ魑ｴ $cf(n)\geq n^2$ が謔ｲ魑ｴ立謔ｲ魑ｴ蜻ｪ謔ｲ魑ｴ負整蜻ｪ $c$ 蜻ｪ最小蜻ｪを蟄､迢ｬて諤ｨ蠢ｵさ蜻ｪ。
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非謔ｲ魑ｴ数蜻ｪ解諤ｨ蠢ｵて蜻ｪ謔ｲ魑ｴい。
問題文
$10^{12}$ 以下の正整数であって，$9$ の倍数または $10$ 進法表記した時どこかの桁に $9$ が現れる数はいくつありますか？
解答形式
非負整数で入力してください。
問題文
$AB<AC$ の鋭角三角形 $ABC$ について，$\angle{BAC}$ の二等分線と線分 $BC$ との交点を $D$ とし，点 $D$ から線分 $AB,AC$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $F,E$ としたとき，以下が成立しました．$$AE=4,CE=2,CD=2\sqrt{2}$$三角形 $ABC,AEF$ の外接円をそれぞれ $\omega_1,\omega_2$ ，その中心をそれぞれ $O_1,O_2$ とし，$\omega_1$ と $\omega_2$ との交点のうち $A$ でない方を $P$ ，直線 $PO_2$ と直線 $DO_1$ との交点を $Q$ としたとき，線分 $PQ$ の長さは互いに素な正整数 $a,c$ と平方因子を持たない正整数 $b$ を用いて $\displaystyle\frac{a\sqrt{b}}{c}$ と表せるので，$a+b+c$ を解答してください．
解答形式
半角数字で入力してください。
問題文
$AB<AC$ を満たす三角形 $ABC$ について，その内心を $I$ ，外心を $O$ ，垂心を $H$ ，内接円の半径を $r$ ，外接円の半径を $R$ としたとき，以下が成立しました．$$r=6,R=13,BC=24$$直線 $AI$ と直線 $HO$ との交点を $D$ としたとき，線分 $OD$ の長さは互いに素な正整数 $a,c$ と平方因子を持たない正整数 $b$ を用いて $\displaystyle\frac{a\sqrt{b}}{c}$ と表せるので，$a+b+c$ を解答してください．
解答形式
例）半角数字で入力してください。