数学の問題一覧

問題文

$86^{48}-64$ を $864$ で割った余りを求めよ。

問題文

$3$ つの円が互いに外接し、かつ各円が直線 $l$ に接している。ある円と直線 $l$ との接点を $O$ とし、他の $2$ 円との接点をそれぞれ $A$ $,$ $B$ とする。 $O$ から直線 $AB$ に下ろした垂線の足を $H$ とする。線分 $AB$ の長さを $d$ として、線分 $OH$ の長さを $d$ を用いて表せ。

問題文

正整数$N$を$7,10,13,16,19$で割った余りがそれぞれ$2,3,4,5,6$であるとします。このとき$N$を$1729$で割った余りを求めてください。

$$問　題$$
$自然数Nと素数p,q,rが以下の式を満たすとき、Nを求めよ。$
$$
\begin{cases}
N＝p^qq^pr\\
p ^q +q ^p＝r
\end {cases}
$$

問題文

$\angle{ADC}=\angle{BCD}=90^\circ,BAD>90^\circ$なる台形$ABCD$について,
$$\angle{BAC}=90^\circ,AB=4,AC=3$$
が成立した.$ABCD$の面積を求めよ.

解答形式

求める値は互いに素な正整数$p,q$を用いて$\frac{p}{q}$と表せるので,$p+q$を解答してください.

以下の値を素数 $97$ で割った余りを求めてください.
$$\sum_{k=200}^{300}(-4)^{300-k}{}_{2k}\mathrm{C}_{k}\cdot {}_{k}\mathrm{C}_{300-k}\cdot {}_{2k-300}\mathrm{C}_{k-200}$$

問題文

上から $i$ 段目 $(1 \leq i \leq 2026)$ に $i$ 個の正整数を並べて三角形を作る方法であって，どの段も総和が $2026$ となるようなものの個数を素数 $2029$ で割ったあまりを解答してください．

問題文

正整数 $a$ に対して，$\dfrac{n(n+2)}{a}$ が平方数であるような正整数 $n$ が無限に存在しました．さらに小さい方から $i$ 番目のものを $n_i$ とすると，任意の正整数 $i$ が $n_{i+2}+n_{i}=98n_{i+1}+2n_1$ を満たしました．このとき，$a$ としてありうるものの総和を解答してください．

問題文

$60$ 以下の正整数 $n$ に対して，それを $2,3,4,5$ で割ったあまりをそれぞれ $a,b,c,d$ とします．$xy$ 平面上に $P(a,b)$ と $Q(c,d)$ をとったとき $PQ= 1$ となるような $n$ の個数を解答してください．

問題文

$\dfrac{51-n}{n-1}$ が平方数となるような整数 $n$ の総和を解答してください．

(13:17追記　 $0$ も平方数に含むとします)

問題文

$S=\lbrace 0,1, \ldots , 30 \rbrace$ とします．関数 $f:S \rightarrow S$ であって，以下を満たすようなものの個数を $N$ とします．

• 任意の $x,y \in S$ について，$x^{12}-y^{12}$ が $31$ の倍数ならば，$f(x)^{25}-f(y)^{25}$ も $31$ の倍数．

$N = a \cdot b^c$ であるような正整数 $a,b,c$ について，$a+b+c$ の最小値を解答してください．

問題文

平方因子を持たない正整数 $n$ であって，$\dfrac{\phi(n)}{\gcd(n,\phi(n))} = 18$ を満たすものの総和を解答してください．