数学の問題一覧
問題文
AさんとBさんが以下のようなゲームをする.
・$n$を正の整数とし, $1\leq p,q\leq 2n$を満たす整数 $p, q$ に対し座標平面上の点 $(p,q)$ であらわされるような点全体を$S$, $1\leq r,s\leq 2n-1$を満たす整数 $r,s$ に対し座標平面上の点$(r+\tfrac12,s+\tfrac12)$であらわされるような点全体を$T$とする.
・ Aさんが, $S$に属し距離が$\sqrt2$以下の異なる2点を選び, それをまっすぐな線で結ぶ. これを, どの点とも結ばれていないような$S$上の点が存在しなくなるまで繰り返す. ただし, どの2線分も, 端点を含め共有点を持ってはいけない.
・ Bさんが, Aさんがひいたどの線分とも端点を含め共有点を持たないように, $T$に属し距離が$\sqrt2$以下の異なる2点を選び, それをまっすぐな線で結ぶ. これをBさんが好きなだけ繰り返す. このとき, Bさんが引いた異なる2線分が共有点をもってもかまわない.
・Bさんが引いた線分によって多角形が一つでも形成されていればBさんの, そうでない場合はAさんの勝利とする.
互いが最善を尽くすとする.ここでAさんは長さが$\sqrt2$の線分を引く回数をなるべく減らしたうえで勝利したい. $n=2026$のとき, Aさんは最低何本の長さ$\sqrt2$の線分を引けば勝利できるか.
解答形式
整数でお答えください.
問題文
ゲームを始める前に、プレイヤーは以下の5枚のカードから1枚を選ぶ.
Aのカードには「1、4、7、9」
Bのカードには「1、3、8、9」
Cのカードには「2、3、6、9」
Dのカードには「2、4、5、9」
Eのカードには「5、6、7、8、9」
という数字が書かれている.
カードを1枚選んだのち, スロットを1度回す. 出た数字が選んだカードに書かれていれば勝ち, 書かれていなければ負けである.
このゲームについて調べたところ, AからEまでのどのカードを選んでも勝つ確率は$\dfrac12$であった.
このとき, スロットを1度回して「9」が出る確率を求めよ.
解答形式
答えは互いに素な正の整数$ a, b $を用い$\dfrac{a}{b}$と表されるので$a+b$を解答せよ.
問題文
ある正の整数の組$(a,b,c)$が以下の等式を満たした. このとき, この$3$数の組としてありうるものはどれだけ存在するか. 以下の選択肢から選び回答せよ. あ もしくは い を選ぶ際はその組の数も求めよ.
$a^2+b^2=2026+c^2$
あ 10000組未満 い 10000組以上だが有限個しか存在しない う無数に存在する
解答形式
あ,または い を解答される場合は組の数を, う を解答される場合は う を入力ください.
問題文
正の整数の組$(a,b)$であって, $a^b-ab=k$を満たすようなものが存在する2026未満の正の整数$k$であって最大のものを求めよ.
解答形式
正整数で解答して下さい
問題文
すべての内角の大きさが$120$である六角形$ABCDEF$がある. 対角線$AD, BE$の交点を$P$, $BE, CF$の交点を$Q$, $CF, AD$の交点を$R$とする. また$P$から線分$AF$に引いた垂線の足, $Q$から線分$DE$に引いた垂線の足, $R$から線分$BC$に引いた垂線の足をそれぞれ$X, Y, Z$とすると三角形$XYZ$は正三角形となった. $AB=2, BC=4$のとき, 六角形$ABCDEF$の面積は一辺の長さが1の正三角形の面積の何倍か.
解答形式
正整数で解答して下さい。(単位不要です)
問題文
$\angle B$が鋭角である四角形$ABCD$が以下を満たした. このとき$\angle B$の大きさを求めよ.
$\angle A =70^\circ \quad\angle D=100^\circ\quad BC=CD=DA $
解答形式
正の整数で解答して下さい。(単位不要です)
問題文
ある4桁の数字$A_{(10)}$がある. この数字を7進法, 8進法, 9進法, 11進法, 12進法に書き換えた. すると, 元の数も含むどの数字についても0と9をどの位にも持たず, 数字を構成する数の組み合わせ(重複を含む)について並べ替えにより得られる数字の種類の数が一致した. 元の数字$A_{(10)}$を求めよ.
解答形式
正整数で解答して下さい
問題文
一辺の長さが1である白い小立方体と黒い小立方体がそれぞれたくさんある. これらを,同じ色の面同士が隣り合わないように組み合わせて一辺100の立方体$ABCD-EFGH$を作成した. ただしAが含まれる小立方体の色は白とする.この立方体を平面$BDE, BDG, BEG, DEG$で切断し, 中央に残った立体を$P$とする. さて, ここで一辺の長さが$\sqrt{2}$である正四面体, また斜辺が$\sqrt2$の直角二等辺三角形を底面にもち高さが$1$の直角三角錐が白黒どちらもたくさんある. これら組み合わせ表面・内部ともに色が$P$と一致する立体を作成したい. それぞれいくつ必要か. ただし, 白い立体と黒い立体は内部もそれぞれ白色, 黒色であるものとする.
解答形式
【(白正四面体の個数)1(黒正四面体の個数)1(白直角三角錐の個数)1(黒直角三角錐の個数)】の数字を解答してください.
たとえば{(白正四面体), (黒正四面体), (白直角三角錐), (黒直角三角錐)}={5, 6, 10, 23}ならば$516110123$と解答してください
問題文
ある食堂では, 27日間各参加者に毎日, 食パン・白米・納豆のいずれか1種類を配る. ここで, 参加者のどの2人についても, 受け取る食品の組合せ9通りが, それぞれちょうど3日ずつ現れるようにしたい. ただし, 組合せは2人の順序を区別して数えるものとする. 最大何人まで参加者を増やせるか.
解答形式
正整数で解答して下さい。(単位不要です)
問題文
$$
\Large\int_{e^{-1}}^e {\frac{x^{x+1}}{x^{x+2}+x^{-{\frac{1}{x}}}}}dx
$$
の値を求めてください.
解答形式
※「」は鍵括弧の中身だけを入力してください
・分数表記は「\frac{a}{b}」が「$\frac{a}{b}$」となります. 帯分数は避けて下さい.
・「\pi」と入力すると「$\pi$」となります.
・「{a}^{b}」と入力すると「${a}^{b}$」となります. 「\sqrt{a}」と入力すると「$\sqrt{a}$」となります.
・「\log_{a}{b}」と入力すると「$\log_{a}{b}$」となります. ただし, 底(a)が$e$である場合は「\log{b}」と入力すると「$\log{b}$」となるのでこちらの表記で提出してください.
・この問題が有限値収束することは保証されています.
$AB>AC$なる鋭角三角形$ABC$について, 内心を$I$, 内接円を$\omega$とし, $\omega$と辺$BC,CA,AB$の接点をそれぞれ$D,E,F$とします. 辺$BC$上に点$P$を, 線分$FP$が線分$AD$と平行になるようにとり, 円$ADF$と円$AIB$の交点を$K(\ne{A})$とします. ここで, 直線$DK$と直線$EF$の交点を$Q$とすると
$$
BP:FQ=5:2\sqrt6, {\quad}\angle{EFP}=\angle{EKF}
$$
が成り立ちました. 線分$EP$と線分$AD$の交点を$R$とするとき, $\Large{\frac{ER}{EF}}$の値は整数$a,b,c$を用いて$\Large{\frac{b+\sqrt{c}}{a}}$と表せるので, $a+b+c$の値を解答してください.
問題文
$$
\large
\lim_{n\to \infty} {\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos{(n+1){\theta}}-\cos{n{\theta}}}{\cos{\theta}-1}
}}d\theta
$$
の値を求めてください.
※但し$\theta=0$のときの被積分関数の値を$0$とします.
解答形式
※「」は鍵括弧の中身だけを入力してください
・分数表記は「\frac{a}{b}」が「$\frac{a}{b}$」となります. 帯分数は避けて下さい.
・「\pi」と入力すると「$\pi$」となります.
・「{a}^{b}」と入力すると「${a}^{b}$」となります. 「\sqrt{a}」と入力すると「$\sqrt{a}$」となります.
・「\log_{a}{b}」と入力すると「$\log_{a}{b}$」となります. ただし, 底(a)が$e$である場合は「\log{b}」と入力すると「$\log{b}$」となるのでこちらの表記で提出してください.
・この問題が有限値収束することは保証されています.