数学の問題一覧

以下の式を満たす正整数の組 $(x,y,z)$ すべてについて，$xyz$ の総和を求めてください．
$$x^3+y^3+z^3+\dfrac{xyz}{16}=2026$$

${}$　西暦2026年問題第3弾は規則性の問題でお送りします。あることに気づけば機械的な計算で答えが求まります。規則性の妙をお楽しみください。

解答形式

${}$　解答は$n$の値を半角でそのまま入力してください。「$n=$」の記載は不要です。
（例）$n=103$ → $\color{blue}{103}$
　なお、この条件を満たす$n$が存在しない場合には、$\color{blue}{-1}$と入力してください。

$20\times26$のマス目のいずれかにおせちが置かれており，太郎君はおせちが置かれていないいずれかのマスから，通るマスの数が最小となるようにおせちまで移動します．
お年玉を太郎君が通ったマスの個数と定義するとき，
おせちと太郎君の初期位置すべてについて，お年玉の総和を求めてください．
ただし，最初のマスと最後のマスも通ったマスとみなします．

以下の操作を数字が$100$以下になるまで繰り返し行います．
・下$2$桁の数字を取り除き、残った数字にかける．
たとえば，$2108$は，$21×8=168$となります．
このとき、$2$回目の操作までに数字が$100$になる数を今年の数と呼ぶことにします．
今年の数のうち、2026は何番目に小さいですか？
ただし、100は今年の数に含まれないものとします.

問題文

全ての桁が偶数からなる正整数を今年の数とします．例えば $2026$ は今年の数です．
$2026$ 以下の今年の数は全部でいくつありますか．

問題文

$2 \times 6$ のマス目があります．全てのマスそれぞれに $0,2,6$ のうち一つを選んで書き込みます．以下の条件を満たすような書き込み方は何通りありますか．
・どの辺を共有して隣り合う $2$ マスについてもそれらに書き込まれた数の和がある非負整数 $a$ を用いて $2^a$ と表せる．
ただし，回転・反転によって一致するものも区別します．

$3$ 点 $A,B,C$ はこの順で一直線に並んでおり，$AC,AB,BC$ を直径とする円をそれぞれ $\omega_1,\omega_2,\omega_3$ とし，点 $B$ を通る直線と $\omega_1,\omega_2,\omega_3$ の交点を，$P,Q,B,R,S$ の順に並ぶように定めると，
$$AB<BC,\quad AB=\sqrt{390},\quad QB=18,\quad BR=24$$
が成り立ちました．このとき，互いに素な正整数 $m,n$ を用いて $PB:BS=m:n$ と表されるので，$m+n$ の値を解答してください．

相異なる $1$ 桁の整数の組 $(A,K,E,O,M)$ について， $2026\times P=\overline{AKEOME}$ を満たす素数 $P$ の総和を求めてください．ただし，$A\neq 0$ であるものとします．

$10$進法での正整数$N$の桁和を$S(N)$とおきます．
$2026=1013\times 2$,
$2+0+2+6=(1+0+1+3)\times 2$
のように，$N=p\times q$と素因数分解できるときに，
$S(N)=S(p)\times S(q)$と表せるような正整数$N$を今年の数とよびます．
4桁の今年の数のうち2026は小さい方から何番目か求めてください。

問題文

ある正整数 $n$ が今年の数であるとは $n=a^b-(a-1)^b$ とあらわせるような正整数の組 $(a,b)$ が存在しない数であるとします.例えば$2026$は今年の数です.
このとき,$2026$以下の今年の数はいくつありますか.

${}$　西暦2025年問題第2弾です。第1弾に引き続き虫食算で、今回は割り算にしてみました。数学的手法（約数や倍数、偶奇性や剰余、不等式による絞り込み、などなど）を適宜用いることで面倒な場合分けや仮置きを軽減できるよう仕込んでいるのは変わりません。パズル的に解くのもよし、数学的にゴリゴリ解くのもよし、どうぞお好きなようにお楽しみください！

解答形式

${}$　解答は2行目を「被除数÷除数」の形で入力してください。
（例） $2026 \div 102 = 19$ 余り $88$ → $\color{blue}{2026 \text{÷} 102}$
　入力を一意に定めるための処置です。数字は半角で、「÷」の演算記号はTeX記法（\div）でも、絵文字や環境依存文字でもなく、全角記号の「÷」でお願いします。空白（スペース）も入れる必要はありません。

${}$　2026年、あけましておめでとうございます。本年もよろしくお願いいたします。
　さて、新年数日は西暦である2026を織り込んだ数学やパズルの問題をお送りします。
　初日・2日目は虫食算です。虫食算というと確定マスから埋めていき、時には場合分けや仮置きを利用するのが定番の手法ですが、僕が作る虫食算は数学的手法（約数や倍数、偶奇性や剰余、不等式による絞り込み、などなど）を適宜用いることで面倒な場合分けや仮置きを軽減できるようにしています。とはいえ、解き方は自由です。お好きなようにパズルなひと時をお楽しみください。

解答形式

${}$　解答は上2行を「被乗数×乗数」の形で入力してください。
（例） $2026 \times 101 = 204626$ → $\color{blue}{2026 \text{×} 101}$
　入力を一意に定めるための処置です。数字は半角で、「×」の演算記号はTeX記法（\times）でも、絵文字や環境依存文字でもなく、全角記号の「×」でお願いします。空白（スペース）も入れる必要はありません。