数学の問題一覧
問題文
半径2の円に内接する正九角形がある. 9個の頂点には, 円周に沿って順番に1から9までの番号をつける. 円の中心を$O$とし, さらに$O$を中心とする半径1の円を描く. 1番目の頂点と4番目の頂点を結ぶ対角線を必ず含むように, 内側の円の内部(周上を除く)を通らず, 互いに内部(端点は除く)で交わらない対角線を選ぶ. このとき, 選べる対角線の最大本数と, その最大本数を達成する選び方の総数を求めよ.
解答形式
選べる対角線の最大本数と, その最大本数を達成する選び方の総数を足した正整数を解答して下さい。
問題文
ある食堂では, 27日間各参加者に毎日, 食パン・白米・納豆のいずれか1種類を配る. ここで, 参加者のどの2人についても, 受け取る食品の組合せ9通りが, それぞれちょうど3日ずつ現れるようにしたい. ただし, 組合せは2人の順序を区別して数えるものとする. 最大何人まで参加者を増やせるか.
解答形式
正整数で解答して下さい。(単位不要です)
問題文
ある4桁の数字$A_{(10)}$がある. この数字を7進法, 8進法, 9進法, 11進法, 12進法に書き換えた. すると, 元の数も含むどの数字についても0と9をどの位にも持たず, 数字を構成する数の組み合わせ(重複を含む)について並べ替えにより得られる数字の種類の数が一致した. 元の数字$A_{(10)}$を求めよ.
解答形式
正整数で解答して下さい
問題文
正の整数の組$(a,b)$であって, $a^b-ab=k$を満たすようなものが存在する2026未満の正の整数$k$であって最大のものを求めよ.
解答形式
正整数で解答して下さい
問題文
ゲームを始める前に、プレイヤーは以下の5枚のカードから1枚を選ぶ.
Aのカードには「1、4、7、9」
Bのカードには「1、3、8、9」
Cのカードには「2、3、6、9」
Dのカードには「2、4、5、9」
Eのカードには「5、6、7、8、9」
という数字が書かれている.
カードを1枚選んだのち, スロットを1度回す. 出た数字が選んだカードに書かれていれば勝ち, 書かれていなければ負けである.
このゲームについて調べたところ, AからEまでのどのカードを選んでも勝つ確率は$\dfrac12$であった.
このとき, スロットを1度回して「9」が出る確率を求めよ.
解答形式
答えは互いに素な正の整数$ a, b $を用い$\dfrac{a}{b}$と表されるので$a+b$を解答せよ.
問題文
AさんとBさんが以下のようなゲームをする.
・$n$を正の整数とし, $1\leq p,q\leq 2n$を満たす整数 $p, q$ に対し座標平面上の点 $(p,q)$ であらわされるような点全体を$S$, $1\leq r,s\leq 2n-1$を満たす整数 $r,s$ に対し座標平面上の点$(r+\tfrac12,s+\tfrac12)$であらわされるような点全体を$T$とする.
・ Aさんが, $S$に属し距離が$\sqrt2$以下の異なる2点を選び, それをまっすぐな線で結ぶ. これを, どの点とも結ばれていないような$S$上の点が存在しなくなるまで繰り返す. ただし, どの2線分も, 端点を含め共有点を持ってはいけない.
・ Bさんが, Aさんがひいたどの線分とも端点を含め共有点を持たないように, $T$に属し距離が$\sqrt2$以下の異なる2点を選び, それをまっすぐな線で結ぶ. これをBさんが好きなだけ繰り返す. このとき, Bさんが引いた異なる2線分が共有点をもってもかまわない.
・Bさんが引いた線分によって多角形が一つでも形成されていればBさんの, そうでない場合はAさんの勝利とする.
互いが最善を尽くすとする.ここでAさんは長さが$\sqrt2$の線分を引く回数をなるべく減らしたうえで勝利したい. $n=2026$のとき, Aさんは最低何本の長さ$\sqrt2$の線分を引けば勝利できるか.
解答形式
整数でお答えください.
問題文
$$
\Large\int_{e^{-1}}^e {\frac{x^{x+1}}{x^{x+2}+x^{-{\frac{1}{x}}}}}dx
$$
の値を求めてください.
解答形式
※「」は鍵括弧の中身だけを入力してください
・分数表記は「\frac{a}{b}」が「$\frac{a}{b}$」となります. 帯分数は避けて下さい.
・「\pi」と入力すると「$\pi$」となります.
・「{a}^{b}」と入力すると「${a}^{b}$」となります. 「\sqrt{a}」と入力すると「$\sqrt{a}$」となります.
・「\log_{a}{b}」と入力すると「$\log_{a}{b}$」となります. ただし, 底(a)が$e$である場合は「\log{b}」と入力すると「$\log{b}$」となるのでこちらの表記で提出してください.
・この問題が有限値収束することは保証されています.
$AB>AC$なる鋭角三角形$ABC$について重心を$G$, 辺$BC$の中点を$M$, 辺$AB$の中点を$N$とします. 点$D$を円$MNC$上かつ直線$CA$に関して点$B$と反対側になるように取ったところ, 以下が成立しました.
$$CG=DG, AC=MD, AD=9, MB=19$$
このとき, 三角形$ABC$の面積の$2$乗を求めてください。
問題文
$n$を非負整数とし, 関数$f_n(x)$は以下を満たします.
$$
\begin{eqnarray}
f_0(x)=f_n(0)=0\quad\quad\quad\quad\quad\\
f_n(x)=\frac{\sqrt{\tan{x}}+f_{n-1}(x)}{\tan{x}+1}\quad(n\geqq1)
\end{eqnarray}
$$
このとき, 以下の値を解答してください.
$$
\large
\lim_{n\to \infty} {\int_{0}^{\frac{\pi}{12}}{\frac{\cos{3x}}{\cos{x}}
}f_n(x)}dx
$$
解答形式
※「」は鍵括弧の中身だけを入力してください
・分数表記は「\frac{a}{b}」が「$\frac{a}{b}$」となります. 帯分数は避けて下さい.
・「\pi」と入力すると「$\pi$」となります.
・「{a}^{b}」と入力すると「${a}^{b}$」となります. 「\sqrt{a}」と入力すると「$\sqrt{a}$」となります.
・「\log_{a}{b}」と入力すると「$\log_{a}{b}$」となります. ただし, 底(a)が$e$である場合は「\log{b}」と入力すると「$\log{b}$」となるのでこちらの表記で提出してください.
・この問題が有限値収束することは保証されています.
※この問題は自動ジャッジではなく運営が採点するため, 正誤の送信が遅れる可能性があります. ご了承ください.
$AB>AC$なる鋭角三角形$ABC$について, 内心を$I$, 内接円を$\omega$とし, $\omega$と辺$BC,CA,AB$の接点をそれぞれ$D,E,F$とします. 辺$BC$上に点$P$を, 線分$FP$が線分$AD$と平行になるようにとり, 円$ADF$と円$AIB$の交点を$K(\ne{A})$とします. ここで, 直線$DK$と直線$EF$の交点を$Q$とすると
$$
BP:FQ=5:2\sqrt6, {\quad}\angle{EFP}=\angle{EKF}
$$
が成り立ちました. 線分$EP$と線分$AD$の交点を$R$とするとき, $\Large{\frac{ER}{EF}}$の値は整数$a,b,c$を用いて$\Large{\frac{b+\sqrt{c}}{a}}$と表せるので, $a+b+c$の値を解答してください.
問題文
$$
\large
\lim_{n\to \infty} {\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos{(n+1){\theta}}-\cos{n{\theta}}}{\cos{\theta}-1}
}}d\theta
$$
の値を求めてください.
※但し$\theta=0$のときの被積分関数の値を$0$とします.
解答形式
※「」は鍵括弧の中身だけを入力してください
・分数表記は「\frac{a}{b}」が「$\frac{a}{b}$」となります. 帯分数は避けて下さい.
・「\pi」と入力すると「$\pi$」となります.
・「{a}^{b}」と入力すると「${a}^{b}$」となります. 「\sqrt{a}」と入力すると「$\sqrt{a}$」となります.
・「\log_{a}{b}」と入力すると「$\log_{a}{b}$」となります. ただし, 底(a)が$e$である場合は「\log{b}」と入力すると「$\log{b}$」となるのでこちらの表記で提出してください.
・この問題が有限値収束することは保証されています.
