数学の問題一覧
問題文
正整数 $n$ に対し，$100$ との正の公約数の個数を $f(n)$ とおくとき，以下の値を求めよ.
$$\displaystyle \sum_{k=1}^{100} f(k)$$
問題文
$AB \lt AC$ なる三角形 $ABC$ において，その垂心を $H$，辺 $BC$ を $3 \colon 4$ に内分する点を $D$ とする.直線 $AD$ と直線 $BH,CH$ の交点を順に $P,Q$ とすると三角形 $HPQ$ は一辺 $1$ の正三角形となった.このとき線分 $BC$ の長さの $2$ 乗を求めよ.
問題文
次の条件を満たす正の整数 $x$ の最小値を求めよ. ただし， $v_m (p)$ で整数 $p$ が整数 $m$ で割り切れる最大の回数を表すものとする.
- $2$ 以上の整数 $n$ であって， $v_{n+ v_n(x)}(x) ≠ 0$ となるものの最小値は $12$ である.
問題文
鋭角三角形 $ABC$ において，$A$ から辺 $BC$ に下ろした垂線の足を $H$ とし，$H$ から辺 $AB$ に下ろした垂線の足を $D$ とする. また三角形 $ABC,AHD$ の外接円をそれぞれ順に $Γ,ω$ とし，$Γ$ と $ω$ の交点であって $A$ とは異なるものがあったのでこれを $X$ とし，三角形 $BCD$ の外心を $O$ とすると，以下が成り立った.
$$HX=5,HD=3,XO=7$$
このとき線分 $BD$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{\sqrt{b}}{a}$ と表せるので，$a+b$ の値を求めよ.
問題文
自然数 $p,q,r$ を
$$ \dfrac{pqr^{2}2^{3p+5}3^{q+5}}{p^2qr2^{4p+6}3^{q+7}+p2^{5p+9}3^{2q+5}+q^{2}r^{5}}$$
が整数となるように動かすとき，$p+q+r$ の最小値を求めよ.
問題
鋭角三角形 $ABC$ について， $A$ から辺 $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とし，線分 $AD$ の中点を $M$ とする. 辺 $AC$ 上に点 $E$ を $\angle CDE=\angle BAD$ となるようにとり，辺 $AB$ 上に点 $F$ を $FM \parallel DE$ となるようにとる. また三角形 $AFM$ の外接円を $ω_1$ とし，$F$ とともに $ω_1$ の直径をなす点を $G$ とする. 直線 $GB$ と直線 $ED$ の交点を $H$ とすると，$\angle GCH=2\angle BAD$ が成り立った. そして三角形 $GCH$ の外接円を $ω_2$ とし，$ω_2$ 上に直線 $AD$ に関して $B$ と反対側に $I$ をとると，$\angle BFD=\angle DMI,\angle IGB=\angle ABC$ がともに成り立った. このとき $\lfloor 10^6\cos \angle ABC \rfloor$ を求めよ.
問題文
$AD \parallel BC$ なる台形 $ABCD$ があり，直線 $AC$ 上に $P$ をとると，$\angle PBC=\angle BCD$ 及び以下が成り立った.
$$AD=12,DC=14,PB=20,PC=25$$
このとき，線分 $BC$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表せるので，$a+b$ を求めよ.
問題文
素数の組 $(p,q)$ であって，以下を満たすものを全てに対する， $2$ つ目の条件である「平方数」の総和を求めよ.
-
$p \leq 2q$
-
$p^3+\dfrac{q!}{2}-3$ が平方数となる
問題文
半径が同じ円をたくさん重ならないように、すべての円が3個の円と接するようにするには最低何個円が必要か？
解答形式
半角で、個はいりません。
問題文
27個の立方体を考える。これらを３×３×３の大きな立方体になるように、組み立てたとき、以下の条件を満たすような塗り分けは何通りあるか？九色使って塗り分ける（使わない色があってはいけない）。大きな立方体の面の上に同じ色が２個以上使われてはいけない。接している他の立方体とは違う色である。立方体全てにそれぞれ１色ずつ色を塗る。回転して同じものも違うものと考える。
解答形式
半角でお願いします。
「通り」はつけないでください。
問題文
正の整数 $a$ に対し、$v_2(a)$ を $a$ を割り切る $2$ の最大のべき指数とする。また、$\operatorname{popcount}(n)$ は非負整数 $n$ の二進表示に含まれる $1$ の個数を表す。
次の和を $101$ で割った余りを求めよ。
$$
\sum_{k=1}^{4^{76}-1}(-1)^{\operatorname{popcount}(3k)}v_2\left({}_{4^{76}}\mathrm{C}_k\right)
$$
解答形式
非負整数を用いて解答せよ