数学の問題一覧
問題文
$\alpha, \beta$ を複素数とし，$0$ でない複素数 $z$ に対して
$$
f(z)=\alpha z^{2}+z+\dfrac{\beta}{z}
$$
とおく。$\alpha, \beta$ は
$$
\lvert f(1)\rvert \le 2 \quad \text{かつ} \quad \lvert f(i)\rvert \le 2
$$
を満たしながら動く。ただし，$i$ は虚数単位である。
(1) $f(1+i)$ がとりうる範囲を求め，複素数平面上に図示せよ。
(2) $\lvert f(1+i)\rvert$ の最大値を求めよ。
(3) $P(\alpha), Q(\beta)$ とおく。$f(1+i)$ が実数，かつ $f(1), f(i)$ がともに $-2$ 以上 $2$ 以下の実数であるとき，線分 $PQ$（端点を含む）が通りうる範囲を複素数平面上に図示せよ。
解答形式
⑴、⑶については、どんな図形になるかを解答すれば可とします。
例)原点を中心とする半径1の円(周と内部を含む)。
問題文
$O$ を原点とする座標空間において，$xy$ 平面上の $O$ を中心とする半径 $1$ の円を考える。
この円を底面とし，点 $A(0,0,2)$ を頂点とする円錐の表面（底面を含む）を $S$ とする。
$(1)$ 座標空間内の点 $P$ と点 $Q$ が次の条件$(a)$,$(b)$,$(c)$をすべて満たすとき，線分 $PQ$ が通過しうる範囲 $V$ の体積を求めよ。
$(a)$ 点 $P$ は $S$ 上にある。
$(b)$ 点 $Q$ は $xy$ 平面上にある。
$(c)$ $OP = PQ$
$(2)$ 点 $B(1,0,0)$ をとる。$S$ を直線 $AB$ の周りに $1$ 回転して得られる回転体 $W$ の体積を求めよ。
解答形式
$(1)$の解答を$1$行目左端に、$(2)$の解答を$2$行目左端に入力。
ただし、分数や$π$、根号を含む場合次の(入力例)に従うこと。
(入力例) 8/3 π/2 √6π/7 (1+√3)π (6-√2)/2
問題文
$p$ は $1<p<2$ を満たす実数とする。関数 $f(x)$ は
$$
f(x)
= p x - \frac{1}{x}
\int_{\frac{1}{\sqrt{p}}}^{\sqrt{p}} \lvert f(t) \rvert \, dt
$$
を満たしている。ただし，自然対数の底 $e$ について，$2.7<e<2.8$ である。
$(1)$ 関数 $f(x)$ を求めよ。
$(2)$ $p=\sqrt{e}$ とする。$(1)$ で求めた関数 $f(x)$ について，座標平面における $y=f(x)$ のグラフの $x>0$ の部分に点 $A$，$x<0$ の部分に点 $B$ をとる。
線分 $AB$ の長さの最小値を求めよ。
解答形式
特に指定しません。
問題文
$O$ を原点とする座標空間において，$2$ 点 $P, Q$ が次の条件をすべて満たすとき，線分 $PQ$ が通過しうる範囲を $K$ とする。
$K$ の $x^{2}+y^{2}\le 4$ を満たす部分の体積を求めよ。
$(a)$ 点 $P$ は平面 $y=0$ 上にある。
$(b)$ $OP = PQ = 2$
$(c)$ 線分 $PQ$ は平面 $x=0$ に含まれるか，または平行である。
$(d)$ 線分 $PQ$ は $z\ge 0$ を満たす領域に完全に含まれる。
解答形式
特に指定しません。
問題文
$a, b$ を実数とする。複素数 $z$ に対して
$$
f(z)=z^{4}+a z^{3}+b z^{2}+a z+1
$$
とおく。また，方程式 $f(z)=0$ のすべての解は $|z|\le 1$ を満たしている。
$(1)$ 点 $(a, b)$ に関する必要十分条件を求めよ。
$(2)$ $f(1+i)$ がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。
解答形式
$(2)$について、$f(1+i)$が動きうる図形を説明すれば可とします。
問題
問題$O$ を原点とする座標空間において，不等式
$$
x^2 + y^2 > 1,\quad z \ge 0
$$
の表す領域を $E$ とする．
また，$1$ 辺の長さが $3$ である立方体（内部を含む）を $S$ とする．
立方体 $S$ が次の（＊）を満たしながら自由に動くとき，立方体 $S$ の通りうる範囲のうち
$z \ge 0$ の部分 $V$ の体積を求めよ．
（＊）立方体 $S$ と領域 $E$ が共有点を持たない．
解答形式
1つの項にして解答
・分数を含む場合
分子/分母 のように解答
※分母に根号を含まない形にすること。
・根号を含む場合
記号「√」を用い、「+」,「-」を含むとき根号の中身全体を()でくくる
例 √(2+3√2)
・分子、分母が多項式で表される場合
該当する多項式全体を()でくくる
例 (2+3√2)/2
・πを含む場合
例 √2π 「()」は不要
特に分子にπがあるとき「記号/」の直前にπを記入
例 3√2π/5、(2+3√2)π/2
問題文
次の連立方程式において、x,yの値を求めよ
ただし、x>yとする
4x²+4x-4y²=-1
x²+6x+6y=61
解答形式
すべて半角でx=◯,y=◯と入力
分数は分子/分母と入力
例 x=1,y=-1/3