数学の問題一覧

問題文

$(1)\ \tan\theta\sin2\theta\text{を}\cos2\theta\text{の式で表せ。}$

$(2)\ \tan\left(\frac{\pi}{24}\right)\text{を求めよ。}$

$(3)\ \pi<3.144\text{であることを証明せよ。}$

$\text{必要であれば，}\sqrt{2}<1.414,$

$\ \sqrt{3}>1.732,\ \sqrt{6}<2.449
\text{を使ってよい。}$

解答形式

記述式。明らかな飛躍や論理の破綻はダメヨ。

問題文
$四角形ABCD$は平行四辺形て対角線の交点を$点E$とし、$対角線BD$上に$点F$をとる。
$BF=\frac{1}{2}FD$,$CE=CF$,$\angle CBF+\angle CFE=90°$,$AD=10$の時、$四角形ABCD$の面積は？

解答形式
$a\sqrt{b}$の形になるので、$a+b$の値で答えてください。

問題文

三角形ABCについて、内心をIとし、∠Cの二等分線と辺ABの交点をDとする。また、三角形IABの外心をOとし、外接円と辺ACの交点のうちAと異なるものをEとする。このとき、4点O,A,D,Eは同一円周上にあることを示せ。

解答形式

送ってくれれば多分見ます

問題文
$n$を自然数とし、$$1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots+x^{2^{n}-1}$$を因数分解したときの因数の数を$n$を用いて求めよ。

数学問題

$a,x,y,z$をそれぞれ異なる自然数とし、$x>y>z$とする。
この時$$a^{2}=\frac{xyz(xyz±\sqrt{(x^{2}+y^{2})(x^{2}-z^{2})(y^{2}-z^{2})}}{(y^{2}z^{2}+x^{2}z^{2}-x^{2}y^{2})}\\$$を成り立たせる$a,x,y,z$の組はあるか。

解答形式

ある場合はその組を答え、ない場合はその証明をしてください。

問題文

$x~$についての方程式
$$x^4-3x^3+2x^2-3x+1=0$$
を考える．次の問いに答えなさい．ただし，1/6公式，1/30公式については証明なしに用いてよい．

$(1)~$この方程式の複素数解をすべて求めなさい．

$(2)~(1)$で求めた4つの解について，次の(ルール)に従って座標平面上に点を取ることを考える．

(ルール)　方程式の解が$~a+bi~$の形であらわされるとき，座標平面上に点$(a,b)$をとる．解が実数のときは$~b=0~$とみなす．たとえば，解が$~3-2i~$ならば，座標平面上に点$(3,-2)$をとる．

このルールに従って$(1)$の結果に基づいて4つの点を取り，そのうち$~y~$座標の値が最小のものを除いた3点をすべて通る放物線と$~x~$軸で囲まれた領域$~A~$の面積$~S~$を求めなさい．

$(3)~$領域$~A~$を$~x~$軸周りに1回転させてできる立体の体積$~V~$を求めなさい．

解答の際の注意

出題者ジャッジにより採点をします．
簡単に求める過程も示してください．
解説の内容に誤りがあればご指摘ください．

問題文

$$\frac{{}_{n}{\mathrm{C}}_{k}\quad}{{}_{n}{\mathrm{C}}_{i}\quad}$$($i$は1以上$n$以下の整数)が整数となるような正整数$n, k$($n\geq$$k$)のうち, 積$nk$の総和を求めよ.

サイコロを3つ振りその積について考えるとき以下の問いに答えなさい
（1）積が偶数になる確率はx/y、xyそれぞれを求めよ
（2）積が6の倍数になる確率はx/y、xyそれぞれを求めよ
（3）積が5の倍数または3の倍数である確率はx/y、xyそれぞれを求めよ

問題文

自然数nに対しn自身を除く最大の約数をf(n)とします。f(n)+f(n+1)+f(n+2)=nを満たす最大のnを求てください

解答形式

例）数値を入力して下さい

第1問

$\theta~$を媒介変数とし、曲線$~C_n~$を次のように定める。
$$C_n：\begin{cases}x=n(\theta-\sin\theta) \\
y=n(1-\cos\theta)\end{cases}$$
$n~$を自然数、$0\leqq\theta\leqq 2\pi$であるときの曲線$~C_n~$の長さを$~L_n~$とする。次の問いに答えなさい。

$(1)~L_1~$を求めなさい。
$(2)~$数列$\lbrace{ L_n\rbrace}$が等差数列であることを示しなさい。

第6問

次の和が発散することを示しなさい。
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$$

第3問

次の不定積分を求めなさい。
$$\int \frac{1}{6x^2+8}dx$$