数学の問題一覧
問題文
数列 $a_n$ は，$a_1=\sqrt{2-2\cos{\left(\dfrac{882}{5}\right)^\circ}},a_2=1-2\cos{\left(\dfrac{882}{5}\right)^\circ}$ として，以下の漸化式を満たします．
$$a_{n+1}=\dfrac{(a_n)^2-1}{a_{n-1}}(n=2,3,4,\cdots)$$
このとき，$\lfloor (a_{49})^2\rfloor$ の値を求めてください．ただし，$-0.998027<\cos{\left(\dfrac{882}{5}\right)^\circ}<-0.998026$を用いても構いません．
解答形式
$\lfloor (a_{49})^2\rfloor$ を解答してください．$\lfloor x\rfloor$ は$x$を超えない最大の整数です．
問題文
正五角形 $ABCDE$ があり，その中心を $O$ とします．線分 $BO$ 上に点 $F$ を，線分 $EO$ 上に点 $G$ をとり，三角形 $AFG$ の外接円と線分 $AB,AE$ との交点をそれぞれ点 $P,Q$ とすると，以下が成立しました．
$$\angle{FAG}=54^{\circ} , PB=28 , QE = 30$$
このとき，正五角形 $ABCDE$ の一辺の長さを求めてください．
ただし，正多角形の中心とはその正多角形の外接円の中心のことを表すとします．
解答形式
答えは正整数 $a,b,c$ を用いて $a+\sqrt{b - \sqrt{c}}$ と表されるので，$a+b+c$ を解答してください.
【補助線主体の図形問題 #121】
今週の図形問題です。補助線が活躍するのはいつも通りで、さらに、手慣れた方なら暗算で解けてしまうかもしれません。ぜひ幅広く挑戦してもらえたら、と思います。
解答形式
${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$ $10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$ $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
入力を一意に定めるための処置です。
たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。
問題文
三角形 $ABC$ について，内心を $I$ とし，$AD=AB=EB$ なる点 $D, E$ をそれぞれ辺 $AC, BC$ 上にとります. いま，円 $CDE$ と $ID, IE$ の交点をそれぞれ $P(\neq D), Q(\neq E)$ とすると，$AP$ は円 $CDE$ に接しました. $AI$ と円 $ABC$ の交点を $M(\neq A)$ とすると，$AI×IM=233, IP=19$ が成立しました. $MQ$ の長さは互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を求めてください.
解答形式
$a+b$ を求めてください.
問題文
$AB=100,AC=200$ なる $\triangle ABC$ において，$A$ 類似中線と $BC$ の交点を $X$ とします．$BX,CX$ がいずれも正整数値であるとき，$AX$ の取り得る正整数値の総和を求めてください．
解答形式
$AX$ の取り得る正整数値の総和を解答してください．