数学の問題一覧
問題文
$AB=6，AC=7$ を満たす三角形 $ABC$ の内心を $I$ ，重心を $G$ とすると， $IG⊥BC$ が成り立ちました．
直線 $BG$ と三角形 $ABC$ の外接円 $Γ$ の交点$T(≠B)$ と， $BI$ と $AC$ の交点 $F$ を結んだ直線について， $Γ$ との交点を $S(≠T)$ とします．
$BG$ と $AC$ の交点を $D$，$SD$ と $Γ$ の交点を $X(≠S)$ とし， $BX$ と $AC$ の交点を $K$ とする時，線分 $BK$ の長さの $2$ 乗の値を求めて下さい．
解答形式
答えが正整数なら半角数字でそのまま入力して下さい．
答えが分数なら互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ を入力して下さい．
問題文
$AB＞AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とし，線分 $AH$ を直径に持つ円と三角形 $BHC$ の外接円の交点を $X$ と定めます．
直線$AX$ と直線 $BC$ の交点を $N$，線分 $BC$ に対して点 $X$ と対称な点を $K$ とします．
この時次が成り立ちました．$$XN=7，AC=28$$
また，直線 $AN$ と三角形 $ABC$ の外接円の交点を $U$ ，点 $A$ から線分 $BC$ へ下ろした垂線の足を $D$ とすると，点 $X,U,K,D$ は同一円周上にあったそうです．
線分 $KC$ の長さを求めて下さい．
解答形式
答えが正整数なら半角数字でそのまま入力して下さい．
答えが分数なら互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ を入力して下さい．
問題文
マナブ君は迷路に挑戦することにしました．
迷路にはスタート・ゴールを含む $5$ 箇所のチェックポイントがあり，それぞれに設置されたボタンを $1$ 回押すことで移動できます．
スタートからは必ず次のチェックポイントに移動でき，スタート・ゴール以外の $3$ 箇所については，次のチェックポイントに $\dfrac{1}{5}$ の確率で移動します(それ以外の場合，その場に留まります)．
ゴールに到着すると迷路クリアとなる時，クリアするまでにマナブ君がボタンを押す回数の期待値を求めて下さい．
解答形式
答えが正整数なら半角数字でそのまま入力して下さい．
答えが分数なら互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ を入力して下さい．
問題文
聖中君と光川君はそれぞれ1台ずつ携帯電話を持っており，聖中君の携帯電話，光川君の携帯電話の充電をそれぞれ $a,b$ ％ ($a,b$ は共に $100$ 以下の正整数)とすると， $a^a+b^b=(a+b)^{ab}$ が成立しました．
$a≧b$ とする時， $a$ としてありうる値の総和を求めて下さい．
解答形式
半角数字で入力して下さい．
問題文
$1×1$ のタイルが $18644671$ 枚あり，それを上から $1,2,3,……,6106$ 枚ずつ階段状に並べます．
Hiziri-Hikaru君はこれらのタイルを， $6106$ 個のブロックに分割しようと考えました．
ブロックの定義は以下の通り．
ブロックとは
・長方形を成すような $n$ 個のタイルのこと(その長方形の縦横を $m,l$ とする時， $m×l=n$ を満たす)
・ブロック同士が重なり合うことはない(あるタイルが$2$つ以上のブロックに属すことはない)
タイルの分割方法は $K$ 通りと書けるので， $K$ を素数 $6101$ で割った余りを求めて下さい．
ただし，いずれのブロックにも含まれないようなタイルが存在しないように分割するとし，分割する順番は考慮しないとします．
解答形式
半角数字で入力して下さい．
