数学の問題一覧

$AB>AC$なる鋭角三角形$ABC$について重心を$G$, 辺$BC$の中点を$M$, 辺$AB$の中点を$N$とします. 点$D$を円$MNC$上かつ直線$CA$に関して点$B$と反対側になるように取ったところ, 以下が成立しました.
$$CG=DG, AC=MD, AD=9, MB=19$$
このとき, 三角形$ABC$の面積の$2$乗を求めてください。

問題文

$n$を非負整数とし,　関数$f_n(x)$は以下を満たします.
$$
\begin{eqnarray}
f_0(x)=f_n(0)=0\quad\quad\quad\quad\quad\\
f_n(x)=\frac{\sqrt{\tan{x}}+f_{n-1}(x)}{\tan{x}+1}\quad(n\geqq1)
\end{eqnarray}
$$
このとき, 以下の値を解答してください.
$$
\large
\lim_{n\to \infty} {\int_{0}^{\frac{\pi}{12}}{\frac{\cos{3x}}{\cos{x}}
}f_n(x)}dx
$$

解答形式

※「」は鍵括弧の中身だけを入力してください
・分数表記は「\frac{a}{b}」が「$\frac{a}{b}$」となります. 帯分数は避けて下さい.
・「\pi」と入力すると「$\pi$」となります.
・「{a}^{b}」と入力すると「${a}^{b}$」となります. 「\sqrt{a}」と入力すると「$\sqrt{a}$」となります.
・「\log_{a}{b}」と入力すると「$\log_{a}{b}$」となります. ただし, 底(a)が$e$である場合は「\log{b}」と入力すると「$\log{b}$」となるのでこちらの表記で提出してください.
・この問題が有限値収束することは保証されています.
※この問題は自動ジャッジではなく運営が採点するため, 正誤の送信が遅れる可能性があります. ご了承ください.

問題文

$$
\Large\int_{e^{-1}}^e {\frac{x^{x+1}}{x^{x+2}+x^{-{\frac{1}{x}}}}}dx
$$
の値を求めてください.

解答形式

※「」は鍵括弧の中身だけを入力してください
・分数表記は「\frac{a}{b}」が「$\frac{a}{b}$」となります. 帯分数は避けて下さい.
・「\pi」と入力すると「$\pi$」となります.
・「{a}^{b}」と入力すると「${a}^{b}$」となります. 「\sqrt{a}」と入力すると「$\sqrt{a}$」となります.
・「\log_{a}{b}」と入力すると「$\log_{a}{b}$」となります. ただし, 底(a)が$e$である場合は「\log{b}」と入力すると「$\log{b}$」となるのでこちらの表記で提出してください.
・この問題が有限値収束することは保証されています.

問題文

$$
\large
\lim_{n\to \infty} {\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos{(n+1){\theta}}-\cos{n{\theta}}}{\cos{\theta}-1}
}}d\theta
$$
の値を求めてください.
※但し$\theta=0$のときの被積分関数の値を$0$とします.

解答形式

※「」は鍵括弧の中身だけを入力してください
・分数表記は「\frac{a}{b}」が「$\frac{a}{b}$」となります. 帯分数は避けて下さい.
・「\pi」と入力すると「$\pi$」となります.
・「{a}^{b}」と入力すると「${a}^{b}$」となります. 「\sqrt{a}」と入力すると「$\sqrt{a}$」となります.
・「\log_{a}{b}」と入力すると「$\log_{a}{b}$」となります. ただし, 底(a)が$e$である場合は「\log{b}」と入力すると「$\log{b}$」となるのでこちらの表記で提出してください.
・この問題が有限値収束することは保証されています.

問題

二次関数$P=x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+2x_{2}^{2}+2x_{2}x_{3}+2x_{3}^{2}+\cdots +2x_{n}^{2}+2x_{n}+3$
があり、$x_{1}$から$x_{n}$までの値を実数の範囲内で個々に変化させていくとき、最小値を求めよ。

問題

$P=w^{2}+5x^{2}+6y^{2}+10z^{2}+2wx+2wy+2wz-6xy+10xz-10yz+6y-16z+23$
において$w,x,y,z$の値を実数の範囲内で個々に変化させていくとき、最小値とそのときの$w,x,y,z$の値を求めよ。

解答形式

一行目に$w$の値を
二行目に$x$の値を
三行目に$y$の値を
四行目に$z$の値を
五行目に最小値を答えてください

問題

関数$f(x)$を次のように定める。
$$f(x)=\frac{\sqrt{(f(x-1))^{2}+1}-1}{f(x-1)}$$
このとき次の極限を求めよ。
$$3\lim_{x\to \infty}\left(\frac{2^{x+1}(\sqrt{(f(x))^{2}+1}-1)}{f(x)}\right)$$
ただし、$f(1)=\frac{\sqrt{3}}{3}$とする。

解答形式

小数点以下$5$桁まで答えてください

次の連立方程式を満たす数値 ($x,y$) について、($x+y$)の値を全て求めよ。

$$
\begin{cases}
\frac{3}{\frac{x}{6}+\frac{9}{y}}+\frac{12}{\frac{9}{x}+\frac{y}{6}}=5 \\
\frac{6}{\frac{9}{x}+\frac{y}{6}}+\frac{5}{\frac{x}{6}+\frac{9}{y}}=6
\end{cases}
\hspace{50em}
$$

$※$2個以上ある場合は 6,11 みたいに、カンマで区切ってください。

問題文

三角形 $ABC$ の外心を $O$ とします．

辺 $AC,AB$ 上に点 $D,E$ ，線分 $DE,BC$ と直線 $AO$ の交点 $F,G$ を取ると，四角形 $BCDE,ADEO$ は円に内接しました．

$DF=6,FE=9,BG=13$ の時， $GC$ の値を求めて下さい．

解答形式

答えは互いに素な正整数を用いて $\dfrac{a}{b}$ と書けるので $a+b$ を解答して下さい．

問題

$点O$を中心とする$円O$に内接している$四角形ABCD$がある。$AB=91,BC=300,CD=195,AD=280$であるとき、次の問いに答えよ。
(1)$AC$の長さを$x$,$BD$の長さを$y$としたとき、$x+y$の値を求めよ。
(2)$△ABCの内接円の半径:△ADCの内接円の半径:△BADの内接円の半径:△BCDの内接円の半径:円Oの半径=a:b:c:d$である。このときの$a+b+c+d$の値を求めよ。
(3)$\angle ABC=x°,\angle BAD=y°$としたとき、$\frac {7tan.x°}{17tan.y°}=\frac{a}{b}$となる。このときの$b-a$の値を求めよ。

問題文

縦 $i$ マス、横 $j$ マスにわたって合同な正方形が敷き詰められています。このとき、最も左上にあるマスの座標を $(1,1)$ とし、右下のマスを $(i,j)$ とします。そこで、隣接するマスへ移動すること（例：$(1,1)$ → $(1,2)$ や $(3,4)$ → $(4,4)$ など）を次の条件のもとでちょうど $i+j-2$ 回（最短経路となるように）行います。
・マス $(p,q)$ について、$|p-q|\geq 4$ となるマスは通れない。
・マス $(p,q)$ について、$p=q$ かつ $p$ が偶数であるマスは通れない。

このとき、$(1,1)$ から $(i,j)$ に移動する経路の数を $W_{i,j}$ としたとき、$W_{i,j}$ の値を $3\leq i,j \leq 11$ について求めてください。なお、行き先が通れないマスである場合は、代わりにそのことを記述してください。

解答形式

$9$ 行にわたって入力してください。
空白区切り・半角で、以下の形で記述してください。なお、行き先が通れないマスである場合は、代わりに available と記述してください。
$W_{3,3}$ $W_{3,4}$ $\cdots$ $W_{3,11}$
$W_{4,3}$ $W_{4,4}$ $\cdots$ $W_{4,11}$
$...$
$W_{11,3}$ $W_{11,4}$ $\cdots$ $W_{11,11}$

問題文

$10^{10}$ 以下の自然数について、次の条件をすべて満たす最大の自然数を $N_i$ 、最小の自然数を $M_i$ とします。
・約数の総和は $i^2$ で割り切れる。
・約数が $i$ 個以上ある。
・$10^{10}$ との最大公約数が $i$ 以上である。
このとき、$N_i$ および $M_i$ を、$1\leq i \leq 12$ について求めてください。なお、問題文の制約上、条件を満たす自然数が少なくとも $1$ つはあることが証明されています。

解答形式

$12$ 行で入力してください。
空白区切り・半角で、以下の形で記述してください。
$N_1$ $M_1$
$N_2$ $M_2$
$\cdots$
$N_{12}$ $M_{12}$