数学の問題一覧
$AB\lt AC$ なる三角形 $ABC$ について，外接円の弧 $BAC$ の中点を $M$，内接円を $\omega$，$\omega$ と線分 $BC,CA,AB$ の接点をそれぞれ $D,E,F$，直線 $ME,MF$ と $\omega$ が再び交わる点をそれぞれ $X,Y$，線分 $XY$ と $EF$ が交わったのでその点を $Z$ とすると，直線 $EF$ が $\angle YEB$ を二等分し，直線 $ME$ と $DZ$ が平行であった．$\dfrac{BC}{EX}$ の二乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答せよ．
$AB<AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ について，垂心を $H$，$A,B,C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とし，直線 $EF$ と $BC$ の交点を $X$ とすると，$XA=XE$ が成立した．線分 $AX$ の中点を $M$ とし，三角形 $AHC$ の外接円と三角形 $MXD$ の外接円が $2$ 点で交わったのでそれらを $Y,Z$ とすると，$A,Y,H,Z,C$ はこの順に同一円周上に並んだ．$XY=XZ$ のとき，$\dfrac{AB}{BC}$ の二乗は正の整数 $a,b,c$ ($a$ と $c$ は互いに素) を用いて $\dfrac{a-\sqrt{b}}{c}$ と表せるので，$abc$ を解答せよ．
問題文
三角形 $ABC$ の辺 $BC$ 上(端点を除く)に点 $D$ があり，三角形 $ABD$ の外接円と線分 $AC$ が点 $E$ で再び交わった．線分 $AD$ と線分 $BE$ の交点を $F$ とすると，三角形 $BDF$ の外接円と線分 $AB$ が点 $G$ で再び交わり，$GB = GE$ が成立した．また直線 $FG$ と線分 $BC$ が点 $H$ で交わり，$\angle BAD = \angle CAH$ をみたした．$AE = 5 , DG = 2$ であるとき，線分 $GH$ の長さの $2$ 乗は互いに素な正整数 $a , b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a + b$ の値を解答せよ．
解答形式
半角数字で解答してください．
問題文
$AB < AC$ なる三角形 $ABC$ の辺 $AC$ 上に $AB = CP$ なる点 $P$ をとり，$2$ 点 $A , P$ を通り，直線 $BP$ に接するような円を $\omega$ とする．いま，三角形 $ABC$ の外接円と $\omega$ は $A$ でない点で交わったので，その点を $X$ とすると，直線 $AB$ は $\omega$ に接し，さらに次が成立した． $$BC = 12 , PX = 5$$ このとき，線分 $BP$ の長さの $2$ 乗を解答せよ．
解答形式
半角数字で解答してください．
問題文
$AB < AC$ をみたし，$\angle B$ が鋭角であるような三角形 $ABC$ について，辺 $BC$ 上(端点を除く)に点 $D$ をとり，線分 $AD$ の中点を $E$ とすると，$AB = AD , \angle AEB = 2\angle ACB$ が成立した．また $\angle AEB$ の二等分線と線分 $AC$ は $C$ でない点 $F$ で交わり，$CD = 2 , EF = \sqrt{3}$ が成立した．このとき線分 $BD$ の長さは，平方因子を持たない正整数 $a$ と正整数 $b , c$ を用いて $\dfrac{\sqrt{a} + b}{c}$ と表されるので，積 $abc$ を解答せよ．
解答形式
半角数字で解答してください．
$x, y, z$ を正の実数とする。以下の連立方程式を満たすとき、$xy + yz + zx$ の値を求めよ。
- $x^2 + xy + y^2 = 25$
- $y^2 + yz + z^2 = 36$
- $z^2 + zx + x^2 = 49$
解答形式
√を含む場合は根号の中身がなるべく小さくなるようにして√部分と係数部分を分けて解答してください。
·解答例 15√3のとき
15
3
素数 $p, q$ に対して、$4p^3 + 27q^2$ が平方数となるような組 $(p, q)$ をすべて求めよ。
答える際には(p,q)の各組の積を足した数を入力してください。
·解答例(p,q)=(2,3),(5,7)のとき
2×3+5×7=41から41を入力してください。
もし存在しないのであれば0を入力してください
【問題】
自然数 $n$ に対して、$f(n) = \lfloor \sqrt{n} + \sqrt{n+1} \rfloor$、$g(n) = \lfloor \sqrt{4n+2} \rfloor$ と定義する。
ただし、$\lfloor x \rfloor$ は $x$ を超えない最大の整数（ガウス記号）を表す。
このとき、$f(1729) + g(1729)$ の値を求めよ。
※自動判定のため、答えの数値のみを半角で入力してください。（入力例：42）
【問題】
2つの自然数 $n, m \ (n < m)$ に対し、$n$ から $m$ までの連続する自然数の総和を $S$ とします。
また、$m$ の桁数を $k$ とするとき、以下の方程式 $(*)$ を考えます。
$$S = n \times 10^k + m$$
（例：$n = 13, m = 53$ のとき、$S = 13 + 14 + \dots + 53 = 1353$ であり、$13 \times 10^2 + 53 = 1353$ となるため、方程式を満たす。）
$n$ と $m$ がともに 同じ桁数 $k$ のゾロ目（すべての桁の数字が同じ自然数）であるとき、条件 $(*)$ を満たす組 $(n, m)$ をすべて求めてください。
※申し訳ないのですが(n,m)の正解が入力できなかったので(n,m)=(1,2),(3,4),(2,5)のときはn=1,2,3m=2,5,4と入力してください…。nが小さい順に組を並べていってください。もしnの値が等しかったときはその部分だけmの値が小さくなるよう並び替えてください…
解答例 (n,m)=(5,6),(77,88)(77,3)のとき
n=5,77,77
m=6,3,88
【問題】
数列 ${a_n}$ を $a_n=3 \cdot 2^{n-1}$ とします。
また、この数列の初項から第$n$項までの積を $P_n$ とします。
（$P_n = a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_n$）
$\log_{10}2=0.30$、$\log_{10}3=0.48$ として、$P_n$ が初めて100桁以上の整数となるような自然数 $n$ を求めてください。
※自動判定のため、答えの数値のみを半角で入力してください。（入力例：42）