数学の問題一覧
問題文
正整数からなる有限集合 $V$ に対し，その要素数を $f(V)$ ，要素の総和を $g(V)$ とします．相異なる正整数からなる有限集合 $S$ であって，次を満たすものを良い集合とします．
- $S$ の任意の部分集合 $T$ について，命題「 $f(T)$ が奇数ならば $g(T)$ は素数である」は真である．
$f(S)$ が最大となるような良い集合 $S$ のうち，$g(S)$ が最小となるようなものは一意に定まるので，その要素の総積を解答してください．
解答形式
答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．
問題文
実数aを媒介変数とし、定数$$g＝\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}$$とする。
(1).関係式$$g(ax+y)-(g(x-ay))^2＝4$$を与える。aを変化させたとき、この関係式を満たす点(x,y)全体の集合をxy平面上に図示せよ。
例)y＝a(0≦a≦5)ならば、y＝0とy＝5の間の領域を図示する。
(2).関数$$y^2＝|x|-4$$をxy平面に図示し、(1)で求めた領域との位置関係を明確にせよ。
(3).(1)と(2)で図示した領域の和集合の面積を求めよ。ただし、領域の範囲は、|x|≦8,|y|≦8に限るものとする。
解答形式
(1)(2)は誘導です。解答は(3)の面積のみ行ってください。
分子の値(空白(半角1マス))分母の値 と解答してください。
また、演算記号は半角を用いて、円周率はπとして、×は省略してください。
例)$$\frac{1-3×π}{2}$$ならば、
1-3π 2
問題文
実数aを媒介変数とし、定数$$g＝\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}$$とする。
(1).関係式$$g(ax+y)-(g(x-ay))^2＝4$$を与える。aを変化させたとき、この関係式を満たす点(x,y)全体の集合をxy平面上に図示せよ。
例)y＝a(0≦a≦5)ならば、y＝0とy＝5の間の領域を図示する。
(2).関数$$y^2＝|x|-4$$をxy平面に図示し、(1)で求めた領域との位置関係を明確にせよ。
(3).(1)と(2)で図示した領域の和集合の面積を求めよ。ただし、領域の範囲は、|x|≦8,|y|≦8に限るものとする。
解答形式
(1)(2)は誘導です。解答は(3)の面積のみ行ってください。
分子の値(空白(半角1マス))分母の値 と解答してください。
また、演算記号は半角を用いて、円周率はπとして、×は省略してください。
例)$$\frac{1-3×π}{2}$$ならば、
1-3π 2
問題文
nを自然数、T(n)をcosθの多項式としてT(n)＝cosnθと定める。このとき、以下の漸化式が成り立つことを与える。
$$T(n+2)-2cosθ×T(n+1)+T(n)＝0$$
k,m,s,t,u,a,b,cを自然数、p,qを素数、θを実数とする。ただし、k≧3，a<bとする。
関数$$f(θ)＝cos((k+1)θ)，g(θ)＝cos(kθ)$$に関して、
次の式①がθの値によらず恒等的に成り立つような(k,m,s,t,u,a,b,c,p,q)の組を求めよ。
①:$$4m\frac{d}{d(cosθ)}f(θ)＝10pq・g(θ)+(s-1)(cosθ)^{k-1}+(t^3-2^u+24)(cosθ)^{k-2}+(3^a+3^b-6^c-20)$$
解答形式
問題文に指定された順に、半角のカンマ(,)で区切って解答してください。
このような形です→k,m,s,t,u,a,b,c,p,q
備考
解答には反映しませんが、求めた解の唯一性まで示してみると面白いです。
問題文
三角形 $ABC$ の外接円の半径は $2026$ です．この三角形の垂心を $H$ とするとき $AH^2+BC^2$ を求めてください．
問題文
$$x^2+2027x+a$$$$x^2+2026x+b$$
この２つの二次方程式に共通の解が１つある時、最小の自然数a、b、それぞれの値を求めない。
解答形式
1行目にaの値を、2行目にbの値を入力してください。いずれもa=、b=は必要ありません。
問題文
完全数たる半素数を全て求めよ。
註
完全数：その数自身を除く正の約数の総和が，その数自身に等しい数。e.g. $28=1+2+4+7+14$
半素数：$2$ つの素数の積で表される数。
解答形式
解が複数ある場合には，小さいものから順に並べ，半角のカンマ「,」で区切り入力してください。スペースは不要です。
問題文
あなたは今日突然術式が覚醒し$,$ 任意の結界で死滅回遊への参加を宣誓することになりました。
死滅回遊に参加したあなたは$1$日に$1$度だけ敵に遭遇し$,$ 各日の遭遇については$,$ 遭遇した敵が術師である確率が $\dfrac{1}{3}$$,$ 非術師である確率が $\dfrac{2}{3}$ である。
あなたは各日 $k＝1,2,…,19$ について$,$ 遭遇する前に確率 $p_k (0<p_k \leqq 1)$ を取り$,
$ 以下のゲームを考える。
・その日に術師と遭遇した場合$,$ $\sqrt{p_k}$ で勝利し$,$ 勝てば$5$点を奪うことができる。負けた場合$5$点奪われることになる。
・その日に非術師と遭遇した場合$,$ $\sqrt{1-p_k}$ で勝利し$,$ 勝てば$1$点を奪うことができる。同様に負けた場合$5$点奪われることになる。
$19$日間の総得点の期待値の最大値を求めてください。また$,$ 期待値が最大となるときの $p_k$ を答えてください。
解答形式
求める期待値の最大値は互いに素な正整数 $a,c$$,$ 平方因子をもたない $b$$,$ 正整数 $d$ を用いて $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}-d$ と表せるので$,$ $a+b+c+d$ の値とその後ろに $p_k$ の分母と分子の和をすべて半角で入力してください。
※空白はいりません。
例: 最大値が $\dfrac{2\sqrt{3}}{5}-4$ で$,$ そのとき $p_k=\dfrac{1}{2}$ の場合 → $143$
問題文
三角形$ABC$について,外心を$O$,垂心を$H$とするとき,
$BC=2026$,$OH=777$,$BC \parallel OH$が成立した.
直線$AC$上に点$D$を,直線$AB$上に点$E$を,$BD=CE=BC$となるようにとる. ($D,E$は$B,C$とは異なる)
このとき，$DE$の長さを求めよ．
解答形式
$DE$の長さは互いに素な自然数$a,b$を用いて
$\sqrt{\frac{a}{b}}$と表されるため，$a+b$の値を半角数字で解答してください．