数学の問題一覧

問題文

正の整数 $k \geq 2$ に対して、数列 $a_n$ を次のように定義する。
$$a_n = \sum_{i=1}^k i^n + \left( \prod_{i=1}^k i \right)^n - (k-1)$$
(1) 任意の素数 $p$ に対して、$p \mid a_n$ を満たす正の整数 $n$ が存在することを示せ。
(2) $k=3$ のとき、すべての正の整数 $m$ に対して $m \mid a_n$ となる正の整数 $n$ が無限に存在するか判定せよ。

解答形式

例）文章で書いてください。解法も見ます。

問題文

$x$ についての $4$ 次方程式 $x^4+2x^3+3x^2+4x+5=0$ の $4$ つの複素数解を $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ としたとき，次の値を求めてください．

$$(\alpha\beta\gamma+\delta)(\beta\gamma\delta+\alpha)(\gamma\delta\alpha+\beta)(\delta\alpha\beta+\gamma)$$

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$360$ の正の約数 $24$ 個を小さい順に $d_1,d_2,\dots,d_{24}$ とします．$24$ 以下の正整数組 $(i,j,k)$ であって，$360=d_id_jd_k$ を満たすものはいくつありますか．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$AB=32，\angle ABC=30^\circ$ なるひし形 $ABCD$ について，その内接円と辺 $AB,BC,CD,DA$ との接点をそれぞれ $E,F,G,H$ とします．四角形 $EFGH$ の面積を求めてください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

コンテスト後追記：本問は条件過剰により図が存在しませんでした、本当に申し訳ないです。

三角形 $ABC$ について，辺 $AC$ 上に点 $D$ をとり，三角形 $BCD$ の内心を $I$ とします．また，辺 $BC$ の中点を $M$ とし，直線 $AM,BD$ の交点を $P$ とします．このとき，$3$ 点 $A,I,M$ は同一直線上にあり，さらに

$$AB=10，AP=9，PI=3，IM=5$$

が成立しました．線分 $CP$ の長さの $2$ 乗を求めてください．

解答形式

答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

問題文

$1,2,4,\dots,512$ の並び替え $a_1,a_2,\dots,a_{10}$ であって，

$$\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_3}{a_4}+\frac{a_5}{a_6}+\frac{a_7}{a_8}+\frac{a_9}{a_{10}}=1$$

を満たすものはいくつありますか．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

正整数 $k$ であって，

$$2^k=a^b$$

を満たす正整数組 $(a,b)$ がちょうど $6$ 個存在するようなものを小さい順に $3$ 個求め，それらの総和を解答してください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

座標平面上で，$0\leq i\leq5,0\leq j\leq5$ なる整数 $i,j$ を用いて $(i,j)$ と表される点のうち相異なる $3$ つを選んでそれらを良い点とします．次を満たすように $3$ つの良い点を選ぶ方法は何通りありますか．

• 点 $(0,0)$ から点 $(5,5)$ まで $x$ 座標または $y$ 座標が整数である状態を保って最短で移動する経路であって，良い点をすべて通るようなものが存在する．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$x$ についての $100$ 次方程式 $x^{100}+x^{99}+\dots+x+1=0$ の $100$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_{100}$ とします．このとき，

$$\left|\sum_{k=1}^{100}\frac{1}{\alpha_k-1}\right|$$

の値を求めてください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$n$を$2$以上の自然数としたとき、$n^4+4^n$が素数であるような$n$は存在するか。

解答形式

存在するなら、1と回答し、存在しないなら2と回答してください。
ニブイチです。勘で当たるでしょう。

問題文

$2026$枚のコインが円周上に並んでいます。
あなたは以下の操作を好きな回数繰り返すことができます。
操作:隣り合う$3$枚のコインを選び、両端の$2$枚だけを裏返す。
はじめ、コインは全て表向きで置かれているものとします。
このとき、操作を繰り返すことで$1$枚だけが裏という状態にすることは可能ですか？

解答形式

可能または不可能と入力してください。

問題文

a^3+b^2+c=11を満たす正の実数a,b,cについて、積abcの最大値を求めてください

解答形式

求める値は異なる有理数w,x,y,zを用いてw^x・y^zと表されるので、積wxyzを解答してください