数学の問題一覧

問題文

いずれも身長の異なる $6$ 人を複数の列に並べる方法であって，全ての列についてその中で最も身長の低い人が先頭にいるものは何個ありますか．
【中学入試予想 4-3】

問題文

$a_1=1$ および以下を満たす数列 $\lbrace a_n\rbrace$ について，$a_{10000}$ を求めてください。

• $a_n=a_m+2m-1$ を満たす正の整数が存在するなら $a_{n+1}=a_n+2$ ，そうでないなら$a_{n+1}=a_n+1$

【TMO 9】

問題文

以下を満たす正の整数の組 $(a,b,c)$ 全てについて $abc$ の総和を求めてください．
$$a^2+b^2+c^2=2000$$
【TKMC 没】

問題文

$\angle C$ が鈍角である三角形 $ABC$ について，線分 $BC$ の中点を $M$ とすると $\angle ABC=\angle MAC=30^\circ$ が成り立ちました．このとき $\angle BCA$ を度数法で求めてください．
【中学入試予想 3-3】

問題文

以下の値の整数部分を求めてください．
$$\displaystyle\sum_{n=0}^{44} \dfrac1{\cos n^\circ\cos (n+1)^\circ}$$
【TMO 5】

問題文

$7$ 以下の非負整数の組 $(a_1,a_2,\ldots,a_{11})$ であって，以下を満たすものの個数を求めてください．

• $a_1=a_{11}=1$
• $i=1,2,\ldots,10$ について $a_i+a_{i+1}$ は奇素数．

【TKMC 3】

問題文

$0\leq i\leq j\leq 1000$ なる整数 $i,j$ を用いて $(i,j)$ と表される組からなる集合 $S$ であって，以下の条件をすべてみたすものの個数を求めてください．

• $(1000,1000)\in S$ ．
• $0\leq k\leq 1000$ なる整数 $k$ であって $(0,k)\in S$ であるものはちょうど $2$ 個存在する．
• $0\leq x \leq y \leq 999$ なる任意の整数 $x,y$ に対し，集合
  $$S\cap\big\lbrace (x,y),(x,y+1),(x+1,y+1)\big\rbrace$$
  の要素は偶数個である．

【TMO 8】

問題文

正の整数 $x$ について $x$ と互いに素な $x$ 以下の正の整数の個数を $\varphi(x)$ と表します．このとき，以下の値が収束することが保証されるのでこの値を求めてください．
$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\varphi(n)}{1.1^n-1}$$
【TMO 7】

問題文

自然数 $p,q,r$ を
$$ \dfrac{pqr^{2}2^{3p+5}3^{q+5}}{p^2qr2^{4p+6}3^{q+7}+p2^{5p+9}3^{2q+5}+q^{2}r^{5}}$$

が整数となるように動かすとき，$p+q+r$ の最小値を求めよ.

問題文

$AD \parallel BC$ なる台形 $ABCD$ があり，直線 $AC$ 上に $P$ をとると，$\angle PBC=\angle BCD$ 及び以下が成り立った.

$$AD=12,DC=14,PB=20,PC=25$$

このとき，線分 $BC$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表せるので，$a+b$ を求めよ.

問題文

次の条件を満たす正の整数 $x$ の最小値を求めよ. ただし， $v_m (p)$ で整数 $p$ が整数 $m$ で割り切れる最大の回数を表すものとする.

• $2$ 以上の整数 $n$ であって， $v_{n+ v_n(x)}(x) ≠ 0$ となるものの最小値は $12$ である.

問題文

素数の組 $(p,q)$ であって，以下を満たすものを全てに対する， $2$ つ目の条件である「平方数」の総和を求めよ.

• $p \leq 2q$

• $p^3+\dfrac{q!}{2}-3$ が平方数となる