数学の問題一覧
問題文
$\omega$ を $1$ の $3$ 乗根のうち $1$ でないものの一方とします．
$$S={\sum_{k=1}^{2026} \frac{1}{k^2+(2\omega+1)k-1}}$$
としたとき，$\left|\frac{S-1}{S}\right|$ を求めてください．
解答形式
求める値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので， $a+b$ を解答してください．
問題文
$a,b$ を実数とする．$1$ 以上の実数 $k$ に対し，$x,y$ についての連立方程式
$$
\begin{cases}
k\cos x + \dfrac{1}{k}\sin y = a\\[6pt]
k\sin x + \dfrac{1}{k}\cos y = b
\end{cases}\
$$
が $0\le x\le\pi,\ 0\le y\le\pi$ の範囲に解をもつような点 $(a,b)$ の存在する領域を $D_k$ とし，$ab$ 平面における $D_k$ の面積を $S(k)$ とする．
(1) $D_1$ を $ab$ 平面上で求めよ．また，$S(1)$ を求めよ．
(2) $\displaystyle \pi<\lim_{k\to\infty}S(k)<2\pi$ を示せ．
(3) 連立方程式の解がさらに $x=y$ を満たすような点 $(a,b)$ の存在する領域を $E_k$ とする． $k$ が $1$ 以上のすべての実数値をとるとき，$E_k$ が通りうる範囲を $ab$ 平面上で求めよ.
解答形式
特に指定しません。
問題文
$a,b$ を正の整数とする．$2$ 以上の整数 $n$ に対して $n=ab$ と表せるような $(a,b)$ の組について，$a+b$ の最小値を $f(n)$ とする．
例えば, $f(5)=6,\ f(12)=7$ である．
(1) $n$ を正の整数とする．$f\bigl(2\cdot 3^{n}\bigr)$ を $n$ を用いて表せ．
(2) $a,b$ を正の整数とする．方程式
$$
f\bigl(2\cdot 3^{a}\bigr)=f\bigl(4\cdot 3^{b}\bigr)
$$の解が存在するかどうかを，理由を付けて判別せよ．存在するならば、その解を全て求めよ。
解答形式
特に指定しません。
問題文
以下の値を求めてください．
$$\sum_{k=0}^{2026} \frac{k^2}{k^2-2026k+1013×2026}$$
解答形式
整数で解答してください
問題文
$1$ 以上 $10^7$ 以下の $11$ の倍数全てに対して，それぞれの各位の和の総和を求めてください．
問題文
$2024!$ 以上の正整数 $n$ のうち，$\dfrac{2025!}{n}$ の小数部分が $\dfrac{2025!-67}{2025!}$ より大きいものの個数を求めてください．
問題文
左右 $3$ 列，上下 $3$ 行からなる $9$ 個のマス目があり，左から $1$ 列目かつ上から $2$ 行目にあるマス目を $S$ とする。
また，$1$ 辺の長さがマス目の $1$ 辺の長さと等しく，向かい合う $2$ つの面が黒色に塗られた立方体を $C$ とする。
最初，マス目 $S$ に $C$ の黒色の面が完全に重なるように $C$ を置く。そして操作 (＊) を次のように定める。
(＊) $C$ が置かれているマスに隣り合うマス（斜めに隣り合うマスは除く）のうちどれか $1$ つを無作為に選び，
そのマスに $C$ の側面が完全に重なるように，$C$ の $1$ 辺を軸にして $C$ をたおす。
$n$ を正の整数とする。操作 (＊) を $n$ 回行ったとき，マス目 $S$ に $C$ の黒色の面が完全に重なっている確率を $p_n$ とする。
$$
\lim_{n\to\infty} p_{2n}
$$を求めよ。
解答形式
半角数字・記号で解答。
問題文
実数係数 $10$ 次多項式 $f(x)$ は以下を満たしている．
$$f(0)=2025$$$$f(1)=25$$
$f(x)=0$ の（重複度を込めた）$10$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{10}$ とする．
$\frac{1}{\alpha_1},\frac{1}{\alpha_2},...,\frac{1}{\alpha_{10}}$ を根にもつ実数係数 $10$ 次多項式のうち，最高次の係数が $1$ であるものを $g(x)$ としたとき，$g(1)$ を求めよ．
解答形式
求める値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください
問題文
$m$と書かれたカードからなるカードの束を$m$の束と呼ぶことにします。
$1$の束、$2$の束、$3$の束、$4$の束、$5$の束、$6$の束、$7$の束、$8$の束、$9$の束 が$1$つずつあります。
$A$さんは異なるカードの束を$9$つまで選び、その後$A$さんはこれらのカードの束に対して以下の操作を$n$回行います。
操作
選んだカードの束のうち一つを選びカードを$1$枚引く。
操作を$n$回終えた時点で$A$さんは$n$枚のカードを持っています。$A$さんは持っているカードに書かれている数字の総和と総積が等しくなるようにカードを引きたいです。
このようなカードの引き方が存在する束の選び方の総数を求めてください。
ただし、$n$は$2$以上の整数とし、カードの束にカードはいくらでもあるとします。
解答形式
半角数字で入力してください。
