数学の問題一覧
問題文
正整数 $N$ に対して $N$ を $2$ 進数で表したときの $0,1$ の個数をそれぞれ $p_0(N),p_1(N)$ とします．以下を満たす正整数の組 $(A,B)$ の個数を素数 $4057$ で割ったあまりを解答してください．
$$p_1(A) \geq p_0(A), \quad p_1(B) \geq p_0(B), \quad
p_1(A)+p_1(B)=2026$$
解答形式
算用数字で解答してください．
問題文
集合 $\{ 1,2,3,\cdots,10 \}$ を $S$ とおきます。 $S$ の各要素に対して定義され、 $S$ 上に値をとる関数 $f$ であって、任意の $S$ の要素 $x$ に対して $f(f(f(x))) = x$ が成り立つ $f$ の総数を解答してください。
解答形式
算用数字で解答してください
問題文
げるまにうむ君は$2029$問のテストを受けました。
$1$以上$2029$以下の整数$i$について、このテストの$i$問目の正答は$2i$です。
$i$問目について、げるまにうむ君は、$i$を解答した時、またその時に限り発狂します。
各問題について、発狂する回数は高々$1$回です。
いま、げるまにうむ君は全ての問題について$0$以上の整数を$1$つずつ解答し、その総和は$2028^{2026}-2$でした。
この時、げるまにうむ君の解答としてあり得るもの全てについて、げるまにうむ君が発狂した回数の総和を素数$2027$で割った余りを求めてください。
解答形式
答えを解答してください。
問題文
鋭角三角形 $ABC$ があり、その垂心を $H,$ 重心を $G,$ 外心を $O$ とすると、$$AH=18,AG=2\sqrt{65},AO=3\sqrt{26}$$であった。円 $ABC$ と、線分 $AH$ を直径とする円との交点$,$ 直線 $AG$ との交点をそれぞれ $P,Q(\neq A)$ とおく。$BC$ と $PQ$ の交点を $R$ としたとき、$BR$ の長さとして考えられるものすべての総積を求めよ。
解答形式
互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\cfrac{a}{b}$ と表されるので、$a+b$ の値を解答してください。
問題文
正の整数$n$について、以下の様に$f(n)$を定める：
$1$以上$n$以下の整数$i$に対して、$n$と$i$の公約数の総和を$g(n,i)$とする
このとき、$f(n)=\sum_{i=1}^{n} g(n,i)$である
$1$以上$2026$以下の整数$n$について、$f(n)$の値が奇数となるような$n$の総和を求めなさい。
解答形式
例）答えで解答してください。
問題文
πナポゥ君が経営するお店では， 馬 $1$ から馬 $10^9$ までの $10^9$ 種類の馬の置物を売っています．それぞれの置物は十分な個数あり，馬 $x$ の価格は $x$ 円です．
また，このお店の置物には特別な力が宿っています．置物の購入を終えたとき，あなたのパワーは購入した馬の個数を $A$，購入した馬の種類数を $B$ として $A + B^2$ になります．
例えば，$28$ 円を支払って馬 $3$ を $1$ 個，馬 $5$ を $5$ 個買ったとき、あなたのパワーは $6 + 2^2 = 10$ になります。
このとき， $314$ 円で得られるパワーの最大値を解答してください．
解答形式
算用数字で回答してください．
x^16+8x^12+24x^8+36x^4+16を整式の範囲で因数分解しろ。ただし、次数が低い因数を優先して先に書き、次数が同じなら-の項の数が少ない順に先に書け。
問題文
楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ に異なる $4$ 点で内接、外接する正方形の面積をそれぞれ $S_1, S_2$ とする。以下の選択肢の中から面積比 $\dfrac{S_2}{S_1}$ を表しているものを選べ。
1 $\,\dfrac{a+b}{ab}\quad$2 $\,\dfrac{(a+b)^2}{ab} \quad $3 $\,\dfrac{a^2+b^2}{ab} \quad $4 $\,\dfrac{(a^2+b^2)^2}{a^2b^2} \quad $5 $\,\dfrac{a^4+b^4}{a^2b^2}$
6 $\,\dfrac{a+b}{2ab}\quad$7 $\,\dfrac{(a+b)^2}{2ab} \quad $8 $\,\dfrac{a^2+b^2}{2ab} \quad $9 $\,\dfrac{(a^2+b^2)^2}{2a^2b^2} \quad $10 $\,\dfrac{a^4+b^4}{2a^2b^2}$
解答形式
選択肢の数字を答えてください。
問題文
$AB=6，AC=7$ を満たす三角形 $ABC$ の内心を $I$ ，重心を $G$ とすると， $IG⊥BC$ が成り立ちました．
直線 $BG$ と三角形 $ABC$ の外接円 $Γ$ の交点$T(≠B)$ と， $BI$ と $AC$ の交点 $F$ を結んだ直線について， $Γ$ との交点を $S(≠T)$ とします．
$BG$ と $AC$ の交点を $D$，$SD$ と $Γ$ の交点を $X(≠S)$ とし， $BX$ と $AC$ の交点を $K$ とする時，線分 $BK$ の長さの $2$ 乗の値を求めて下さい．
解答形式
答えが正整数なら半角数字でそのまま入力して下さい．
答えが分数なら互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ を入力して下さい．
問題文
$AB＞AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とし，線分 $AH$ を直径に持つ円と三角形 $BHC$ の外接円の交点を $X$ と定めます．
直線$AX$ と直線 $BC$ の交点を $N$，線分 $BC$ に対して点 $X$ と対称な点を $K$ とします．
この時次が成り立ちました．$$XN=7，AC=28$$
また，直線 $AN$ と三角形 $ABC$ の外接円の交点を $U$ ，点 $A$ から線分 $BC$ へ下ろした垂線の足を $D$ とすると，点 $X,U,K,D$ は同一円周上にあったそうです．
線分 $KC$ の長さを求めて下さい．
解答形式
答えが正整数なら半角数字でそのまま入力して下さい．
答えが分数なら互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ を入力して下さい．