利用規約更新のお知らせ (2024年2月7日1:16)
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数学の問題一覧

カテゴリ
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以下

整数問題

MARTH 自動ジャッジ 難易度:
56日前

17

$0$ 以上 $6$ 以下の整数からなる組 $(a_1,a_2,\dots,a_5)$ のうち以下を満たすものの個数を求めてください.
$$(a_1a_2)^3+(a_2a_3)^3+(a_3a_4)^3+(a_4a_5)^3+(a_5a_1)^3\equiv0\pmod{7}$$

OMC没問4

natsuneko 自動ジャッジ 難易度:
2月前

15

問題文

下図のようにブロックがピラミッド状に積んであり,各ブロックに $1$ つずつ整数を割り当てていきます.このとき,最下段に並ぶブロックが $N$ 個であるとき,以下の条件を満たすように整数を割り当てることとします.
・ 最下段の左端のブロックには $1$ を,右端のブロックには $N−2$ を,また左から $i$ 番目のブロック $(2 \leq i \leq N−1)$ には $i−1$ をそれぞれ割り当てる.
・最下段以外のブロックには,そのすぐ下に位置する左右 $2$ つのブロックに割り当てられた数の積を割り当てる.

最も上にあるブロックに割り当てられた整数を $N−1$ で割った余りを $f(N)$ とします.このとき,$f(10^9 + 8) + f(10^9 + 404)$ の値を解答して下さい.ただし, $10^9 + 7, \ 5×10^8 + 3, \ 10^9 + 403, \ 5×10^8 + 201$ はいずれも素数であることは既知としてよいです.

解答形式

例)半角数字で解答して下さい.

cosを含む総和

J_Koizumi_144 自動ジャッジ 難易度:
2月前

7

問題文

以下の値を求めてください。
$$
\sum_{1\leqq m<n\leqq 9} \biggl(\cos\dfrac{m\pi}{10}+\cos\dfrac{n\pi}{10}+1\biggr)^3
$$

解答形式

答えは正整数になるので、それを半角数字で解答してください。

線分の積

bzuL 自動ジャッジ 難易度:
2月前

12

問題文

直径 $10$ の円周上に $120$ 個の異なる点 $A_1,\ldots, A_{120}$があります.$120$ 個の点のうち $2$ 点を選ぶ方法は ${}_{120}\mathrm{C}_{2}$ 通りあります.この ${}_{120}\mathrm{C}_{2}$ 通りすべての二点の距離の総積の最大値を $M$ としたときに,$M$ は整数値になるので,$M$ の正の約数の個数を答えてください.

解答形式

半角数字で解答してください.

OMC不採用問題改題

bzuL 自動ジャッジ 難易度:
2月前

11

問題文

$14^3$ の $16$ 個の正の約数を並び替えた数列を $a_1,\ldots,a_{16}$ とおき,$15^3$ の $16$ 個の正の約数を並び替えた数列を$b_1,\ldots,b_{16}$ とおきます.この二つの数列のスコア
$$
\sum_{k=1}^{16} \frac{a_k}{b_k}
$$
で定めます.数列 $a,b$ の組として考えられるものは $(16!)^2$ 通りありますが,これらの組におけるスコアの(相加)平均を求めてください.ただし,求める値は互いに素な正整数 $p,q$ を用いて,$\dfrac{p}{q}$ と表されるため,$p+q$ を解答してください.

解答形式

半角数字で解答してください.

Furret sequence 1

bzuL 自動ジャッジ 難易度:
2月前

7

問題文

「オ」「タ」「チ」の $3$ 種類の文字で構成される長さ $n$ の文字列に対して,オオタチ度を,その文字列の中で連続する $4$ 文字が「オオタチ」となっているようなものの数と定義します.
 たとえば「チタタオオタチオタチタオオオタチ」のオオタチ度は $2$ で,「チタオオチタオオチタオオ」のオオタチ度は $0$ です.
 長さが $n$ で構成する文字が $3$ 種類のため,文字列としては $3^n$ 種類のものが考えられます.これらのオオタチ度の相加平均を $f(n)$ とします.
 $f(n)$ が正整数になる最小の $n$ を解答してください.

解答形式

半角数字で解答してください.

ボツ

seven_sevens 採点者ジャッジ 難易度:
2月前

0

$$\int_0^{\frac{1}{3}}\pi(-\frac{1}{2}x+1)^2dx$$

ボツ問題

peparoni 自動ジャッジ 難易度:
2月前

5

問題文

以下の条件をともに満たす $12$ 桁の正整数 $M$ はいくつありますか?

  • $M$ を $3$ 桁ずつに区切って得られる $4$ つの正整数を左から $A,B,C,D$ として定めると,$\lvert A - B + C - D\rvert$ は $11$ の倍数かつ $13$ の倍数となる.
  • $M$ を $4$ 桁ずつに区切って得られる $3$ つの自然数を左から $E,F,G$ として定めると,$\lvert E - F + G\rvert$ は $137$ の倍数となる.

ただし,$M,A,E$ の最高位の数字は $0$ でないものとします.

解答形式

条件を満たす $12$ 桁の正整数 $M$ の個数を,半角数字で余分な空白や改行を入れずに解答してください.

幾何問題12/12

miq 自動ジャッジ 難易度:
2月前

5

問題文

三角形 $ABC$ の辺 $AB , AC$ (端点を除く)上にそれぞれ点 $P , Q$ があり,直線 $BC , PQ$ は,半直線 $BC$ 上の点 $R$ で交わっています.また,線分 $BC , PQ$ 上にそれぞれ点 $M , N$ があり, $\dfrac{BM}{MC} = \dfrac{PN}{NQ} = \dfrac{BR}{RC}$ を満たしています.いま,直線 $AN$ と $\triangle ABC$ の外接円の交点のうち,$A$ でない方を $X$ としたところ,$\angle MNR = \angle MXR = 90^{\circ}$,$\angle BXM = 63^{\circ}$ がそれぞれ成り立ちました.このとき,$\angle BAC$ の大きさを度数法で求めてください.

解答形式

半角数字で解答してください.


問題文

$$\sum_{k=1}^{n}x^{-2k} =0 [n \in {\mathbb N}]$$
というxの方程式がある。
このとき、以下の問いに答えよ。
なお、この方程式には実数解が存在しない。
1)実数解を持たないことを示せ。(証明必須)
2)解の個数を示せ。(証明不要)
3)n=4の時の解の全てを示せ。(証明不要)

解答形式

1)には証明を、
2)には数値もしくは数式を、
3)には直交座標表示もしくは三角関数による極座標表示を推奨する。

1)自明
2)1729n+65536
3)x=1+3i,3(cosπ/3+isinπ/3)
もちろんこれらが答えでは無い。

メモ

2)を解く際は解の式を作成するべきだろう。
wolfram alphaに頼ることはおすすめしない。

商と余り

miq 自動ジャッジ 難易度:
2月前

10

問題文

自然数 $n$ に対し,次のように定められた数列 $\{a_{n}\},\{b_{n}\},\{c_{n}\}$ がある:

  • $a_{1}=2023^{2023}$
  • $a_{n}$ を $120$ で割った商が $b_{n}$,余りが $c_{n}$
  • $a_{n+1}=b_{n}+c_{n}$

このとき,$\lim_{n\to\infty}a_{n}$ を求めよ.

解答形式

半角数字で解答してください.

組み合わせ問題1

natsuneko 自動ジャッジ 難易度:
2月前

3

問題文

赤玉 $20$ 個と青玉 $21$ 個の計 $41$ 個の玉を横一列に並べます. このとき, 左から $1$ 番目から $20$ 番目までの玉の中に含まれる赤玉の個数を $R$, 青玉の個数を $B$, 左から $22$ 番目から $41$ 番目までの玉の中に含まれる赤玉の個数を $r$, 青玉の個数を $b$ とします. 玉の並べ方は全部で $ \binom{41}{20}$ 通りありますが, その全ての並べ方に対する $Rb + Br$ の値の相加平均を求めて下さい.

解答形式

答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\cfrac{b}{a}$ と表されるため, $a+b$ の値を解答して下さい.