数学の問題一覧
問題文
勇者は座標平面上の原点 $(0,0)$ にいます． 勇者は点 $(6,6)$ まで $x$ 座標か $y$ 座標の少なくとも一方が整数である点のみを通って最短距離となるように移動します．
しかしながら，魔王の罠が直線 $\displaystyle{y=x+\frac{5}{2}}$ 上に張られていて，勇者は罠の張られている直線上を通るたびに $1$ ダメージずつ受けてしまいます．
勇者が最短距離で移動する道のりは ${}_{12}\mathrm{C}_6$ 通り考えられますが，それらすべてについて受けるダメージの平均値を求めてください．ただし，その平均値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle{\frac{a}{b}}$ と書けるので $a+b$ の値を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
問題文
座標平面において $A(0,4000),B(-3000,0),C(3000,0)$ をとります．次の条件をすべて満たすような直線 $\ell$ として考えられるものは何通りありますか．
- $\ell$ と直線 $AB$ は点 $P$ で交わり， $P$ の $x$ 座標は $-3000$ より大きく $0$ より小さい．
- $\ell$ と直線 $AC$ は点 $Q$ で交わり， $Q$ の $x$ 座標は $3000$ より大きい．
- 線分 $BP$ の長さと線分 $CQ$ の長さは整数値である．
- $\ell$ と $x$ 軸の交点を $R$ とするとき，$\triangle RPB$ と $\triangle RQC$ の面積は等しい．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
問題文
円 $\Omega$ があり，その周上に点 $P, Q$ があります．いま，$\Omega$ の弧 $PQ$ 上に $2$ 点 $A, B$ を，$P, A, B, Q$ がこの順にあるように取り，線分 $PQ$ 上に点 $C$ を取ると，三角形 $ABC$ の外接円は辺 $PQ$ に接しました．いま，$CQ$ の中点を $M$ とすると，$BM, AQ$ は三角形 $ABC$ の外接円上で交わったのでこの点を $R$ とします．いま，三角形 $ABC$ の外接円と三角形 $PQR$ の外接円の $R$ でない交点を $S$ とするとき，
$$AS=4, AP=2\sqrt{21}, BC=7$$
が成立しました．このとき，$BQ$ の長さは正整数 $a, b, c$ を用いて $\dfrac{\sqrt a-\sqrt b}{c}$ と表せるので，$a+b+c$ を解答してください．
解答形式
半角数字で解答してください．
問題文
$AB<AC$ なる三角形 $ABC$ について，$\angle A$ (内角) の二等分線と $BC$，円 $ABC$ の交点をそれぞれ $D, M(\neq A)$，$A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $E$，$AC$ の中点を $N$，円 $ENC$ と円 $ABC$ の交点を $X(\neq C)$，円 $XMD$ と $BC$ の交点を $P(\neq D)$，$PM$ の中点を $Q$ とします．
$$AB=9, AC=14, QN=8$$
であるとき，$BC$ の長さは正整数 $a, b, c$ を用いて $\dfrac{a\sqrt b}{c}$ と表せるので，$a+b+c$ を解答してください．
解答形式
半角数字で解答してください．
問題文
以下の値を素数 $2017$ で割った余りを解答してください。ただし、$\lfloor x\rfloor$ は $x$ 以下の最大の整数を表します。
$\displaystyle\sum_{k=1}^{2023} \left\lfloor\dfrac{3}{7}×2^k\right\rfloor(-1)^{k+1}$
解答形式
非負整数を半角で入力してください．