問題5

問題文

「$L^\infty$空間の双対」

区間$[0,1]$上のルベーグ可測かつ本質的に有界な実数値関数の空間$L^\infty([0,1])$において、その双対空間$(L^\infty)^*$が$L^1([0,1])$と同型でないことを示せ

解答形式

例）証明してください。

問題文

純循環小数(少数第一位から循環する循環小数)$x$を定義域とする関数$f(x)$を、$x$の循環部とする。ただし、循環部に0が現れ、それより大きい位に0以外の数がない場合、その0は無視するものとする。$f(\frac{5}{33})=15,f(\frac{4}{3333})=12$といった具合である。
正整数$n$に対して、$n

問題文

1から100までの整数の中から異なる3つの整数を選び、$a

問題文

垂心を$H$とする鋭角三角形$ABC$があり、$AB=9,AC=11,CH=7$を満たしています。
$△AHC$の外接円を$Γ$とし、直線$BH$と$Γ$の交点のうち$H$でない点を$D$として、線分$CD$の中点を$M$とします。

線分$HM$と線分$AC$の交点を$E$としたときの、$DE$の長さの$2$乗を求めてください。

解答形式

求める値は互いに素な整数$a,b$を用いて$\dfrac{a}{b}$と表されるので、$a+b$を解答してください。

問題文

0,1,2,……,8 の数字から一つずつ選んでa,b,c,d,e,f,gに代入するという操作を考える。
数字の重複を許すとき、十進表記された7桁の数abcdefgが3の倍数となる確率を求めよ。
ただし、a=0の場合も認めます。
(似た問題を投稿しています。解答する場所を間違えないように注意してください。)

解答形式

互いに素な正整数p,qを用いてp/qと表せるため
p+qを解答してください。

問題文

$0$時$0$分〜$23$時$59$分とする時刻$A$時$B$分について、$60A+B,100A+B$が共に平方数となるとき、$A×B$の総和を求めよ。

解答形式

半角数字で解答して下さい。

問題文

与式を因数分解せよ。x^6 - 41x^5 + 652x^4 - 5102x^3 + 20581x^2 - 40361x + 30030

回答の仕方

因数分解された式のみ回答

問題文

正の実数からなる $2$ つの数列 $a_1,a_2,...$ と $b_1,b_2,...$ があり, 任意の整数 $n$ について以下を満たしている．
$$
(a_{n+1},b_{n+1})=\left(\frac{a_n}{2},b_n+\frac{a_n}{2}\right)または(a_{n+1},b_{n+1})=\left(a_n+\frac{b_n}{2},\frac{b_n}{2}\right)が成立する．
$$
$(a_1,b_1)$ が $(7,11)$ であるとき, $a_{100}$ としてあり得る値の中で $2025$ 番目に小さいものを求めよ．

解答形式

答えの値を $x$ としたとき, $2^{100}x$ の値を解答してください．
参考:$2^{100}=1267650600228229401496703205376$

問題文

$n,kをn≠kで3以上の自然数とする。$
$このとき、正n角形において、その内部をn個の正k角形で重複なく、また隙間なく敷き詰められるような(n,k)を求めよ.$

解答形式

(〇,◇)
記号も数字もすべて半角でお願いします。

問題文

次を満たすような正整数の組 $(x,y,z)$ をすべて求めてください．
$$2^x+9^y+2025=2009^z-65-28$$

解答形式

簡単な証明をお書き下さい．

正の整数 $n$ に対して, 以下の条件をすべて満たす正の整数の組 $(x, y)$ の個数を $f(n)$ と定めます.

• $\mathrm{lcm}(x, y) = n$
• $x$ は $y^2$ の約数である
• $y$ は $x^2$ の約数である

$f(n) = 15$ を満たす正の整数 $n$ のうち, 小さい方から数えて $10$ 番目のものを求めてください.

問題文

$2$ 以上の整数 $n$ が以下の条件を満たすとき, $n$ を「頑固な数」と呼びます.

• $x^3 \equiv 1 \pmod n$ を満たす任意の整数 $x$ に対し, $x \equiv 1 \pmod n$ が成立する.

$(29!)^2$ の正の約数のうち, 「頑固な数」はいくつありますか.

解答形式

半角左詰めでお願いします