問題文

$AB＝AC$ の鋭角二等辺三角形がありその垂心を $H$ とします．線分 $BC$ 上に点 $D$ をとり，点 $P,Q$ を $APQD$ がこの順に一直線上に並ぶようにとると $4$ 点$ACHP$，$4$ 点 $ABHQ$ はそれぞれ共円であり，
$$BD＝15,\quad CD＝25,\quad PQ＝8$$
が成立しました．このとき， $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$x \ge -1$ の範囲で定義される関数 $f(x)$ を、以下の無限多重根号によって定める。
$$f(x) = \sqrt{x+2\sqrt{x+2\sqrt{x+2\sqrt{x+\cdots}}}}$$
$f(x)$ の逆関数を $g(x) = f^{-1}(x)$ とする。このとき、以下の定積分の値を求めよ。
$$\int_1^4 g(x) \, dx$$

解答形式

半角

問題文

正の整数 $n$に対して、数列${a_n}$を
$a_n＝(2+√5)^n$
と定める。このとき、
$a_{2025}$の十進数表記での1の位の数字は何か。

解答形式

半角

問題文

$x>0$において、次の関数を定義する。
$g(x) = √(x² + cos²x + sin⁴x + 2(xcosx + xsin²x + cosxsin²x))$
このとき、以下の極限値を求めよ。
$lim_{x→0^+} \frac{g(x) - (x + \cos x)}{x^2}$

解答形式

半角

問題文

2つの実数 $\alpha$ と $\beta$ を次のように定義する。

• $\alpha = \sqrt{17 - 12\sqrt{2}}$
• $\beta = \sqrt{17 + 12\sqrt{2}}$

この $\alpha, \beta$ を用いて、自然数 $n$ に対する数列 ${T_n}$ を以下で定める。

$$T_n = \alpha^{2^n} + \beta^{2^n}$$

このとき、$T_3$ の値は、ある正の整数 $A$ を用いて、

$$T_3= A + \sqrt{A^2-1}$$

と一意に表現することができる。

この整数 $A$ の値を求めよ。

解答形式

半角

問題文

正の実数 $a,b,c,d$ が，
$$
2(a^2+b^2+c^2+d^2)=(a+b+c+d)^2+8\sqrt{abcd}
$$
を満たす時，以下の値の最小値を求めて下さい．ただし求める値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ の値を解答してください．
$$
\dfrac{6a+8b+9c}{d}
$$

問題文

$$
a²+b²=c²,gcd(a,b,c)=1
$$
を満たす自然数a,b,cが存在するとき
任意の自然数tに対して
$$
aₜ²+bₜ²=c²ᵗ,gcd(aₜ,bₜ)=1
$$
を満たす自然数aₜ,bₜが存在することを示せ

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題文

漢漢漢ぁあ。
漢漢漢あ漢ああああ漢あ
漢漢あ漢あ
漢あ漢あ
漢ぁあ。

あああ漢ああ
漢ああ漢あ
漢あ漢ああ漢あ
漢ああ漢あ漢あ
漢ああ漢ぁあ。

漢漢ああああ漢あ
漢漢あ漢あ漢ああぁあ、
漢ああ漢あ、
漢漢あああああ。

ああ、ああ、あー、あ。

アアアアあああ。
漢あ漢漢あ漢あ漢ああ
漢あ漢あ漢あ
ああああ
あぁああ漢あああ。

ああああ漢あ、
漢漢あ漢あああ漢あ
漢ああ漢ああああ

漢漢あああああ
ああああああああ
漢ああああ
漢あ漢漢あ
漢あああ漢ぁあ
漢あああああああ

漢漢あ漢漢あ
漢漢漢漢あ
漢あああ漢ああ
漢あ漢ああ
漢漢ああ
アーアア・アアアアアー

あ漢あ漢ああ。
あああああああああああああ。
ああああ漢ああ漢あ漢あ
漢あ漢あああ、
あぁああ漢漢あ
漢あああぁああ、
ああぁあ漢ぁああああああああ。

漢漢あああああ
ああああああああ
漢ああああ
漢ああ漢漢あ
漢あ漢あぁああ
漢ああああああ

漢漢漢あ
漢漢漢漢あ
漢あああ漢あ
あああああ
漢あ漢あ
アーアア・アアアアアー

あああああああああ漢漢あああああああ
漢漢あ漢あ漢あああ漢漢

あああ
漢ああ
漢漢あ
ああああ
漢あ漢ああ

漢あ漢あ
漢あ
漢あ
漢ぁあ
ああぁああ。

漢あ漢漢
漢あ漢漢あああ
1アーアアあ漢あ漢あ

漢漢あああああ
あああ、漢ああ

ああああああああ漢ああああ
ああああああああ漢ああああ。

漢あ漢漢あ　　　　　　　　　　　あああ漢漢あ

漢あああああ　　　　　　　　　　漢あ漢ぁあ

漢あ漢ああああ　　　　　　　　　あああ漢ぁあああぁあ

ああああ漢ああ　　　　　　　　　漢ああ

漢あ漢あ漢あ漢あ漢あああ　　　　ああああ漢ああ漢あ漢あ

あああああ漢ああああ　　　　　　あああああ漢ああああ

アーアア・アアアアアー　　　　　アーアア・アアアアアー

ああああああ
あああ
ああああぁ
漢あああああ

あああああああ　　　　　　　　　　ああああ、あああ。

ああああ、あぁあ。　　　　　　　　あああああああ

ああああ漢漢あ。　　　　　　　　　ああああ漢漢あ。

ああ漢あああ。　　　　　　　　　　ああ漢あああ。

ああああああああああああああぁ
あああああ
あああああ

アーアア・アアアアアー

漢漢漢あぁあぁぁあ。

解答形式

曲名を入力

$$
\sqrt{log_\frac{1}{2}(\frac{1}{1024})^n}において、奇数の自然数はいくつあるか。
$$

$$
\sqrt{log_\frac{1}{3}(\frac{1}{273})}の整数部分？
$$

$$
log_{2}{8}^{a-2}=(m^{2}-1)a+(n-1)
$$