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問題文

$a,b,c$を正の実数とし、$k$を実数とします。$x$の方程式$x^3-ax^2+bx-c=0$が$3$つの実数解$α,β,γ$を持ち、次が成り立ちます。
・$|α+β|=a+2$
・$|αβ|=b-k$

$γ$を$k$を用いて表してください。

解答形式

解答はある正の整数$p,q,r$を用いて
$γ=-p+\sqrt{q-rk}$
と表せますから、$p+q+r$の値を解答してください。

珍しく良問

線対称かつ点対象な図形Xのうち、
対称軸上に対称点がないようなものは
存在しないことを示してください。

解答形式

日本語で答えてください。大意が伝われば良いです(最低限伝わるようお願いします)。

問題

実数$x，y$が
$$
\begin{cases}
x^2+y^2=1\\
2x^3+2y^3=1
\end{cases}
$$
を満たしているとき，$x+y$ のとりうる値をすべて求めよ．

解答形式

解答に$sinθ，cosθ$を含む場合は，$cosθ(0<θ<π)$に統一し，記入例にしたがって全て$半角$で解答してください．なお，度数法で解答すると不正解となるので，弧度法を用いてください．
小数などを用いた近似値での解答は不正解となります．
複数の解答がある場合は小さい値から順に上から改行してください．

記入例
3cos(5π/6)
3cos(π/3)

問題文

三角形$ABC$において，$AB,BC$の中点をそれぞれ$M,N$とし，重心を$G$とします.三角形$AGM$の外接円と三角形$CGN$の外接円が再び交わる点を$P$とすると以下が成立しました.$$GP//BC　AB＝5　AC＝4$$このとき線分$GP$の長さの二乗は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{a}{b}$と表せるので，$a +b$の値を解答して下さい.

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題

鋭角三角形$ABC$について, 外心を$O$, 垂心を$H$とする. $B$から$AC$に下した垂線の足を$D$とすると,
$$
AD=3　OH=OD　BH:HC=7:18
$$
が成立した. このとき, 線分$BD$の長さの$2$乗は互いに素な正整数$a$,$b$を用いて$\frac{a}{b}$と表されるので, $a+b$を解答せよ.

$$問　題$$
$実数全体で定義され、実数値を取る定数でない関数f(x)がある。$
$この関数が任意の実数x,yに対して恒等式$
$$f(x ^2+y)＝f(kx ^2+2y)−f(3x ^2)$$
$を満たすとき、定数kの値を求めよ。$

麒麟の読み方は？

$$
M_{x}(y)をyをxで割った余りとします。
\\a_{n+1}=M_{p}(3a_{n} +\beta),a_{1}=aであり、
\\
\begin{equation}
\left\{
\begin{alignedat}{3}
n,a,\beta,p\in\mathbb{N}
\\n\geq1
\\1\leq \beta \leq p
\end{alignedat}
\right.
\end{equation}
である数列を考えたとき、\\
\\
a_{n}の取り得る値の種類をT_{p}として、T_{p}\ne pを示してください。
$$

解答形式

日本語で簡潔に入力してください。

問題文

$$
p^{q+r} +q^{p+r} +r^{p+q}が素数となるような10以下の素数の組(p,q,r)の個数を求めよ。
$$

解答形式

半角数字で解答してください。覚悟して解いてください。

問題

$実数全体で定義され、実数値を取る定数でない関数f(x)がある。$
$この関数が任意の実数x,yについて恒等式$
$$f(x^2+y)＝f(kx^2+2y)-f(3x^2)$$
$を満たすとき、定数kの値を求めよ。$

問題文

₁₃₅C₃₀を7で割った余りを求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

三角形 $ABC$ において，角 $A,B,C $の傍接円の半径をそれぞれ $r_A,r_B,r_C$ とし，内接円の半径を $r $とする．このとき，三角形 $ABC$ が以下の条件を満たすとき$r_A\cdot r_B\cdot r_C \cdot r$の最大値を求めよ.
$$BC=28,∠BAC=60 $$

解答形式

自然数となるので、その値を入力してください