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問題文
$x$ に関する $6$ 次方程式
$${x^6+3x^5+9x^4+27x^3+81x^2+243x+2026=0}$$ の重複を含めた $6$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_6$ とします．以下の値を求めてください．
$${\sum_{k=1}^{6}\alpha_{k}^{14}}$$
解答形式
整数で解答してください．
問題文
$x$ に関する $n$ 次方程式 $(n \ge 1)$
$${x^n+nx^{n-1}+n(n-1)x^{n-2}+...+n!\left(=\sum_{k=0}^{n}{}_n\mathrm{P}_{n-k} x^k\right)=0}$$ の重複を含めた $n$ 個の複素数解を $\alpha_{n,1},\alpha_{n,2},...,\alpha_{n,n}$ とし，これらが $1$ でないことが証明できるので，
$${g(m)=\prod_{n=1}^{m}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\alpha_{n,k}-1}\right)}$$ とします．以下の値を求めてください．
$$\frac{g(2025)g(2026)}{g(2025)+g(2026)}$$
解答形式
求める値は整数になるので，それが $3$ で割り切れる最大の回数を解答してください．
問題文
$2027$ 次の多項式 $f(x)$ は，$0$ 以上 $2027$ 以下の任意の整数 $n$ について $f(n)=\frac{243}{n+1}$ をみたします．また，
$${f(x)=0}$$ の重複を含めた $2027$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{2027}$ とします． $${S_n=\sum_{k=1}^{2027}\alpha_{k}^{n}}$$ とするとき，以下の値は整数になるので，これを素数 $2029$ で割ったあまりを $M$ とします． $${\sum_{n=1}^{2027}S_n}$$ 以下の値を求めてください．
$$M+S_1$$
解答形式
整数で解答してください．
解答すべき値が「 $M+S_1$ を $2029$ で割ったあまり」ではないことに注意してください．
問題文
${x}$ に関する ${2026}$ 次方程式
$${x^{2026}+2025x-2024=0}$$
の重複を含めた ${2026}$ 個の複素数解を ${α_1,α_2,...,α_{2026}}$ とします．以下の値を求めてください．
$${\sum_{k=1}^{2026}α_k^{2026}}$$
解答形式
整数で解答してください．
問題文
$x$ に関する $4$ 次方程式
$${x^4+4x^3+6x^2+8x-2357=0}$$
の重複を含めた ${4}$ 個の複素数解を ${\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4}$ とします．以下の値を求めてください．
$${\sum_{k=1}^{4} (\alpha_{k}+1)^4}$$
解答形式
整数で解答してください．
問題文
$x$ に関する $2025$ 次方程式
$${x^{2025}+x^{2024}+...+x+1=0}$$
の $2025$ 個の複素数解を ${\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{2025}}$ とします．
$${S_n=\sum_{k=1}^{2025}\alpha_k^n}$$ とするとき，以下の値を求めてください．
$${\sum_{n=0}^{20261231}S_n}$$
解答形式
整数で解答してください．
問題文
$1,2,...,102$ の並び替え $\sigma=(\sigma(1),\sigma(2),...,\sigma(102))$ について，多項式 $F_{\sigma}$ を
$${F_{\sigma}=x^{200}+x^{199}+\sum_{m=1}^{102}m\sigma(m)x^{m-1}}$$ で定めます．$x$ に関する $200$ 次方程式
$$F_{\sigma}=0$$ の重複を含めた $200$ 個の複素数解を $\alpha_{\sigma_1},\alpha_{\sigma_2},...,\alpha_{\sigma_{200}}$ とし，
$$\sum_{k=1}^{200}\alpha_{\sigma_k}^{100}$$ の値を $\sigma$ のスコアとします． このとき，$\sigma$ としてありうるもの $102!$ 通りすべてについてのスコアの平均値を求めてください．
解答形式
整数で解答してください．
問題文
正整数 $n$ であって以下を満たす $n$ と互いに素な正整数 $m$ が存在するものの総和を求めてください．
- $\dfrac mn$ の小数第 $i$ 位を $a_i$ とすると，正整数 $j$ であって任意の正整数 $k$ に対して $a_k=a_{j+k}$ を満たすようなものが存在して，かつその最小値が $6$ である．
解答形式
半角で解答してください．
2026/3/8 23:48に問題の不備解消のため太字部分を追加しました。
問題文
$AB \lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ があり, 垂心を $H$ とします. $B,C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $E,F$ とし, 直線 $EF$ と直線 $AH,BC$ との交点をそれぞれ $G,K$ とすると, 三角形 $FKH$ の外接円と三角形 $EGH$ の外接円は再び線分 $BC$ 上の点 $X$ で交わりました.
$$KB=1 EG:GK=4:5$$
が成り立つとき, 線分 $GX$ の長さの $2$ 乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください.
解答形式
半角で入力してください。
問題文
素数 $p = 10^9 + 7$ とし，整数 $N$ を $N = 10^{18} + 14000000047$ と定義します．
このとき，次の値 $S$ を $p$ で割った余りを求めてください．
$$S = \sum_{k=0}^{\lfloor N/2 \rfloor} \binom{N}{2k} 5^k$$
解答形式
半角左詰めでお願いします
問題文
$1$枚のピザを $n$ 等分したとき，$1$ 切れの全体に対する割合が十進法において有限小数で正確に表せるような正の整数 $n$ の集合を $S$ とします．
集合 $S$ に属する $n$ に対し，$n$ のすべての正の約数の総乗を $P(n)$ と定めます．このとき，
$$P(n)=2000^{63}$$
を満たす $n$ の値を解答してください．
解答形式
半角左詰めでお願いします
正の整数 $n$ に対して, 以下の条件をすべて満たす正の整数の組 $(x, y)$ の個数を $f(n)$ と定めます.
- $\mathrm{lcm}(x, y) = n$
- $x$ は $y^2$ の約数である
- $y$ は $x^2$ の約数である
$f(n) = 15$ を満たす正の整数 $n$ のうち, 小さい方から数えて $10$ 番目のものを求めてください.