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問題文
三角形 $ABC$ について，角 $A,B,C$ 内の傍接円をそれぞれ $\Gamma_A,\Gamma_B,\Gamma_C$ とします．また，$\Gamma_A$ と直線 $AB,AC$ との接点をそれぞれ $P,Q$ ，$\Gamma_B$ と直線 $BC,BA$ との接点をそれぞれ $R,S$ ，$\Gamma_C$ と直線 $CA,CB$ との接点をそれぞれ $T,U$ とします．線分 $PS,QT,RU$ の長さがそれぞれ $25,26,29$ であるとき，三角形 $ABC$ の周長を求めてください．
解答形式
答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．
問題文
$2^{10}×3^7×5^4$ の正の約数 $440$ 個を小さい順に $d_1,d_2,\dots,d_{440}$ とします．いま，これらの数が両面に $1$ つずつ書かれたカードがそれぞれ $1$ 枚ずつあり，すべて表向きに並べられています．$i=1,2,\dots,440$ に対して，$i$ 回目の操作を次のように定めます．
- $d_i$ の正の約数が書かれたカードをすべて裏返す．
$440$ 回操作を順に行ったとき，表向きであるカードは何枚ありますか．
解答形式
答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．
問題文
正の実数 $x,y$ に対して $x^2-y^2=1$ が成り立っています．$\sqrt{\frac{y}{x}+1}+\sqrt{\frac{1}{x}+1}$ の最大値を求めてください．
解答形式
解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．
例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$
問題文
漸化式
$$a_{n+2}=(n+3)a_{n+1}-na_n，a_1=0，a_2=2$$
があります．$a_{n}$ が $n$ で割り切れない $50$ 以下の $n$ の個数を求めてください．ただし，$n=1$ を含みます．
解答形式
解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．
例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$
問題文
$\angle BAC > 90^\circ$ なる鈍角三角形 $ABC$ とその外接円 $\Gamma$ があります．点 $B$ における円 $\Gamma$ の接線 $l$ 上に点 $D$ を $\angle DBC > 90^\circ$ となるように取り，線分 $DC$ と 円 $\Gamma$ の交点を $E$ とします．すると以下が成り立ちました．
$$2\angle DBE = \angle EBC，BD=15，DE=9，AB=BE$$
この時，$AB$ の長さを求めて下さい．
解答形式
解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．
例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$
問題文
$a,b$ を $a\leqq b\leqq 30$ を満たす素数とします．
$$\frac{a^3+b^3+8}{a+b+2}$$
が整数となる $a,b$ の組をすべて求めてください．
解答する数値
求めた全ての組について，$a\times b$ を計算し，以下の解答形式に合わせその総和を解答してください．
解答形式
解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．
例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$
問題文
数列 ${a_n}$ は $1\sim 100$ の正整数の並び替えであり，以下が成り立っています．
- $1\leqq m\leqq 99$ に対して$a_{m}+a_{m+1}\equiv 1\pmod{2}$
- $1\leqq n\leqq 98$ に対して$a_{n}+a_{n+1}+a_{n+2}\equiv 0\pmod{3}$
数列 ${a_n}$ としてありうるものは何通りありますか．
解答形式
解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．
例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$
問題文
正の実数 $x$ に対してその整数部分を $a$ ，小数部分を $b$ とします．以下の等式を満たす最大の $x$ を求めてください．
$$x=\frac{a^3}{2026b}$$
解答形式
解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．
例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$
問題文
$1$ 以上 $n$ 以下の自然数であって，$n$ と互いに素なものの個数を $\phi(n)$ とします．
$$0\equiv \phi(n)\equiv\phi(n+1)\pmod{26}$$
となるような正の整数のうち，最小のものを求めて下さい．
解答形式
解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．
例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$