全問題一覧

問題文

$1$枚のピザを $n$ 等分したとき，$1$ 切れの全体に対する割合が十進法において有限小数で正確に表せるような正の整数 $n$ の集合を $S$ とします．
集合 $S$ に属する $n$ に対し，$n$ のすべての正の約数の総乗を $P(n)$ と定めます．このとき，
$$P(n)=2000^{63}$$
を満たす $n$ の値を解答してください．

解答形式

半角左詰めでお願いします

問題文

$2$ 以上の整数 $n$ が以下の条件を満たすとき, $n$ を「頑固な数」と呼びます.

• $x^3 \equiv 1 \pmod n$ を満たす任意の整数 $x$ に対し, $x \equiv 1 \pmod n$ が成立する.

$(29!)^2$ の正の約数のうち, 「頑固な数」はいくつありますか.

解答形式

半角左詰めでお願いします

問題文

$3^{20}+2^{25}=3520338833$ は素因数を $3$ つもつので，それらの総和を解答してください．

解答形式

半角で入力してください。

問題文

正の実数$x,y,z$について$,$
$$\dfrac{1}{1+x}+ \dfrac{1}{1+y}+ \dfrac{1}{1+z}=1$$
を満たしているとき$,$
$$\dfrac{(1+x)(1+y)(1+z)}{(x+y+z+2)^2}$$
の最大値を求めてください。

解答形式

答えは分数(既約)になるので分母と分子の和を半角数字で入力してください。

問題文

単位円を外接円とする $\triangle ABC$ について，3辺の平方和 $s = a^2 + b^2 + c^2$ が最大となる条件を示し，その最大値を求めよ。

解答形式

3辺の平方和の最大値を入力してください。

問題文

実数 $x$ であって，$x$ の整数部分と小数部分の積が $x$ となるものを大きい順に $x_1,x_2,\dots$ とします．このとき，$x_2x_3\dots x_9$ の値を求めてください．なお，$x$ の整数部分とは $x$ 以下の最大の整数，小数部分とは $x$ から $x$ の整数部分を引いた値のことを言います．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

正整数からなる有限集合 $V$ に対し，その要素数を $f(V)$ ，要素の総和を $g(V)$ とします．相異なる正整数からなる有限集合 $S$ であって，次を満たすものを良い集合とします．

• $S$ の任意の部分集合 $T$ について，命題「 $f(T)$ が奇数ならば $g(T)$ は素数である」は真である．

$f(S)$ が最大となるような良い集合 $S$ のうち，$g(S)$ が最小となるようなものは一意に定まるので，その要素の総積を解答してください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

どの位の数字も $0$ でない $11$ 桁の正整数であって，どの連続する $4$ 桁の正整数も $11$ の倍数であるようなものは何個ありますか．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$2$ 行 $15$ 列のマス目があり，初めモンスターは $1$ 行 $8$ 列のマスにいます．モンスターが $2$ 回以上同じマスを通らないようにして隣り合う（線分を共有する）マスに移動することを繰り返すとき，すべてのマスを通るような移動方法は何通りありますか．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

円 $\Gamma$ があり，これの接線 $l,m$ を引いたところこれらは点 $H$ で直交しました．また，$l,m$ と $\Gamma$ の接点をそれぞれ $A,B$ とし，$\Gamma$ の内部に $\angle{APB}=90^\circ$ となる点 $P$ をとり，さらに直線 $AP,BH$ の交点を $Q$ ，直線 $AH,BP$ の交点を $R$ とします．このとき，$3$ 点 $A,P,Q$ はこの順に並び，三角形 $ABQ$ の面積が $72$ ，$PR=30$ となりました．線分 $BR$ の長さを求めてください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

正六角形 $ABCDEF$ の内部に，正六角形 $GHIJKL$ があります．また，平行な $2$ 直線 $WX,YZ$ の距離を $f(WX,YZ)$ とします．このとき，これらは以下をすべて満たしました．

• $AB\parallel GH,BC\parallel HI$
• $f(AB,GH)\lt f(AB,KJ)$
• $f(AB,GH)+f(BC,HI)+f(CD,IJ)+f(DE,JK)+f(EF,KL)+f(FA,LG)=8$

このとき，$2$ つの正六角形の一辺の長さの差の $2$ 乗を求めてください．

解答形式

答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

問題文

$1,2,\dots,8$ の並び替え $a_1,a_2,\dots,a_8$ について，そのスコアを

• $i=1,2,\dots,7$ のうち，$a_i\lt a_{i+1}$ なるものの総和

と定めます．$8!$ 通りすべての並び替えのスコアの総和を求めてください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．