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問題文

$p=3, \quad q=5, \quad r=7$

$X = p^q + q^p$
$Y = q^r + r^q$
$Z = r^p + p^r$

$N = X^p + Y^q + Z^r$

このとき、$N$を$105$で割った余りを求めよ。

解答形式

半角左詰め

問題文

$3^{2025}$を $11$ で割った余りを求めよ。

解答形式

半角左詰め

問題文

非負整数 $n$ に対して, $a_n$ を以下で定めます.$$a_0=1,\quad a_{n+1}=10a_n+4$$ このとき, $a_n$ が累乗数となるような非負整数 $n$ に対して, $a_n$ の総和を求めてください.
ただし, 累乗数とは, 自然数 $a$ と$2$ 以上の自然数 $b$ を用いて $a^b$ と表せる数です.

解答形式

例）整数を答えてください.

$(S,\mathfrak{O})$を位相空間とする。
※ただし$\mathfrak{O}$は開集合系とする。
このとき$A\subset{S},\partial{A}$を$A$の境界とすると次が成り立つことを示せ。
$$\partial{A}=\emptyset⇔Aは開集合かつ閉集合$$

問題文

全ての自然数に対し、偶数の時は2で割り、奇数の時は1を足して２で割る操作を繰り返すと必ず1になることを証明せよ。

解答形式

特に指定はなし。

問題文

三角形 $ABC$ があり，その内心を $I$ とし，内接円 $\omega$ と線分 $BC,CA,AB$ との接点をそれぞれ $D,E,F$ とします．直線 $BC,EF$ の交点を $P$ とし，$I$ から線分 $AP$ におろした垂線の足を $Q$，線分 $DQ$ と $\omega$ の交点のうち $D$ でないものを $R$ とすると，
$$RD=9,\quad RQ=6,\quad AF=10$$
が成立しました．このとき，線分 $PR$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり，その外心を $O$ とし，$\angle BAC$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とすると，
$$BD=3,\quad AC=10,\quad \angle ADO=90^\circ$$
が成立しました．このとき，線分 $AD$ の長さの $\mathbf{4}$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり，辺 $BC$ の中点を $M$ とし，線分 $AC$ 上に点 $D$ を，$\angle CBD=\angle CAM$ を満たすようにとると，
$$AD=1,\quad BD=6\sqrt{2},\quad DM=4\sqrt{2}$$
が成立しました．このとき，線分 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

正三角形 $ABC$ があり，その内部に点 $D$ をとると，
$$AD=33,\quad BD=4,\quad \angle ADB=120^\circ$$
が成立しました．線分 $CD$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり，その外心を $O$ とします．直線 $AO,BC$ の交点を $D$，直線 $BO,AC$ の交点を $E$ とすると，
$$BD=6,\quad CD=3,\quad CE:EA=3:4$$
が成立しました．このとき，線分 $AC$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$AB=AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ があり，その外接円上に点 $D(\neq B)$ を，$AC\perp BD$ を満たすようにとると，
$$CD=3,\quad AD=7$$
が成立しました．このとき，線分 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

「$L^\infty$空間の双対」

区間$[0,1]$上のルベーグ可測かつ本質的に有界な実数値関数の空間$L^\infty([0,1])$において、その双対空間$(L^\infty)^*$が$L^1([0,1])$と同型でないことを示せ

解答形式

例）証明してください。