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問題文
10の倍数でない正の整数 $n$ に対し, $f(n)$は, 十進法表示で $n$ を $1$ の位から逆の順番で読んで得られる正の整数として定めます. たとえば$f(123456789) = 987654321$です. $n+f(n)$が81の倍数となるような十進法で10桁の$n$の個数を解答してください．
備考
本問は大学への数学2024年12月学コン3番に掲載されている自作問題です.
問題文
三角形$ABC$において，$A,B,C$から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とし，$AD,BC$の中点をそれぞれ$M,N$とする.$A N$と$EF$の交点を$P$とし，$DP$と$MN$の交点を$Q$，三角形$ABC$の外接円と$AQ$が再び交わる点を$R$としたとき，$$AN＝10 AB＝9 NR＝3$$が成立した.このとき，$AC²$の値を解答してください.
解答形式
半角で解答してください.
問題文
三角形 $T$ の一つの辺の長さは平方数で，残りの辺の長さは素数であるとする．また，$T$ の面積は整数で，外接円の直径は素数であるとする．$T$ の各辺の長さを求めよ．
解答形式
$T$の3辺の長さの総和としてありうる値の総和を解答してください。（論証は解説を参照してください。）
備考
2018年3月の大学への数学「読者と作るページ」に掲載された問題です。
問題文
(1) $\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$を用いて, $\displaystyle\lim_{t\to +0}\int_{t}^{1} \log{\sin{\frac{\pi}{2}\theta}}\, d\theta = -\log{2}$を示せ(極限値の存在は認めてよい). これを用いて$\displaystyle\lim_{t\to + 0}\int_{t}^{1} \dfrac{\theta\cos{\frac{\pi}{2}\theta}}{\sin{\frac{\pi}{2}\theta}} \, d\theta$ を求めよ.
(2) $\displaystyle\lim_{n\to \infty} \left(\int_{\frac{1}{n}}^{1} \sqrt[n]{\sin{\dfrac{\pi}{2}\theta}} \, d\theta\right)^{n}
$を求めよ.
解答形式
電卓などを利用することで, (1)の答えを $L_1$ とし, (2)の答えを $L_2$ とするとき, $L_1 + L_2$ の値を小数点第5位まで表示したものを回答してください. （例：0.1234567なら0.12345と解答する）
問題文
$\sqrt[abc]{a! + b! + c!}$が整数となるような正の整数の組$(a,b,c)$をすべて求めよ.
解答形式
すべての組に対する $a+b+c$ の値の総和を解答してください。論証は解説を参照してください。
問題文
$1000^{n}$ ($n$ は自然数) の正の約数の個数を $D_{n}$ とし, そのうち $10^{n}$ より大きく, $100^{n}$ より小さいものの個数を $K_{n}$ とする。
極限値
$$
\lim_{n \to \infty} \dfrac{K_{n}}{D_{n}}
$$
を求めよ。
解答形式
電卓を用いるなどして極限値の小数第5位までを解答してください．(0.1234567...の場合0.12345と解答する)
備考
本問は京大作問サークル理系模試2019の第1回6番に掲載している問題です.
問題文
$p=2^{10} - 3$とおき, 数列$a_n, b_n$を以下の式で定める.
\begin{aligned}
&a_0=0,\quad a_1 = 1,\quad a_{n+2} = 2a_{n+1} +2a_n & (n=0,1,\dots) \\
&b_0=0, \quad b_1 = 1,\quad b_{n+2} = 2b_{n+1} +(p+2)b_n & (n=0,1,\dots)
\end{aligned}
(1) $a_n,b_n$をそれぞれ$n$で表せ.
(2) $a_{1024}$を$p$で割った余りを求めよ. ただし, 整数$m$に対して$m^p\equiv m\pmod{p}$であることを用いてもよい.
解答形式
(2) の解答を入力してください((1)は解答参照)
備考
本問は大学への数学2025年2月号6番に掲載された自作問題です.
問題文
$327498^{789798}の1000000桁を求めよ。$
解答形式
半角英数字で解答してください。
問題文
次の無限積の値を評価してください。
$$ \prod_{n=2}^{\infty} \left( 1 - \frac{1}{n^3} \right) $$
解答形式
$1/2$のように半角で入力してください