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タイトル：三条件で定まる点と最短距離条件（大学レベル）

平面上に、点 $A(0,0)$、点 $B(12,0)$、点 $C(4,9)$ がある。
点 $P(x,y)$ は次の条件を満たすものとする：

1. 距離比　$\displaystyle \frac{AP}{BP}=\phi^3$（ただし $\displaystyle \phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）
2. 角度条件　$\angle APC = 45^\circ$
3. 直線 $BC$ からの距離が最小となる位置を選ぶ。

点 $P$ の座標を求めなさい。
（解答は「x, y」の順に小数第2位まで。例：1.23, 4.56）
問題文
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例）ひらがなで入力してください。

問題文タイトル：三条件で定まる点と魂面積比（上級・II）

平面上に、点 $A(0,0)$、点 $B(10,0)$、点 $C(4,8)$ がある。
点 $P(x,y)$ は次の条件を満たすものとし、解の一意性のため $y>5$ とする：

1. 距離比　$\displaystyle \frac{AP}{BP}=\phi$　（ただし $\displaystyle \phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）
2. 角度条件　$\angle BPC = 120^\circ$

点 $P$ の座標を求めなさい。
（解答は「x, y」の順に小数第2位まで。例：1.23, 4.56）

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例）ひらがなで入力してください。

問題タイトル：三条件で定まる点と魂比率（上級）

平面上に、点 $A(0,0)$、点 $B(8,0)$、点 $C(2,6)$ がある。
点 $P(x,y)$ は次の条件を満たすものとし、解の一意性のため $y>0$ とする：

1. 距離比　$\displaystyle \frac{AP}{BP}=\phi$　（ただし $\phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）
2. 角度条件　$\angle APC = 60^\circ$

点 $P$ の座標を求めなさい。
（解答は「x, y」の順に小数第2位まで。例：1.23, 4.56）
文
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例）ひらがなで入力してください。

タイトル：二条件で定まる点と魂比率

平面上に、点 $A(0,0)$、点 $B(6,0)$、点 $C(0,8)$ がある。
点 $P(x,y)$ は次の2条件を満たすものとし、ただし一意性のため $y>4$ とする：

1. $AP=BP$
2. $\angle APC=90^\circ$

点 $P$ の座標を求めなさい。
（解答は「x, y」の順に小数第2位まで。例：1.23, 4.56）

問題文

$i=1, 2, \ldots, 999$ に対して，数 $i$ が書かれたカードがそれぞれ $1001$ 枚あり，同じ数が書かれたカードは区別しないものとします．これらを左右 $1$ 列に並べる方法であって，次の条件を満たすカード $X$ がちょうど $1$ 枚あるようなものが $N$ 通りあるものとします．

• カード $X$ は一番右のカードではない

• カード $X$ に書かれた数は，カード $X$ の右隣のカードに書かれた数より大きい

$N$ を $997$ で割った余りを求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$\alpha$を$0<$$\alpha$$<\frac{\pi}{6}$をみたす実数とします。
tan$\alpha$ , tan$2\alpha$ , tan$3\alpha$ がこの順に等比数列をなすような$\alpha$の値は$\frac{\pi}{n}$の形で表されます。$n$を答えてください。

解答形式

半角数字で答えてください

問題文

$56076923$ の素因数の総和を求めてください.
ただし, 重複する素因数は異なるものとして考えます.

解答形式

例）非負整数を答えてください.

問題文

以下の問いに答えよ．（自然数$n$について，$n!$ は，$1$ から $n$ までの自然数をすべてかけた値を表す．ただし$0!=1$とする．）

1. $r^m=\frac{r^m-r^{m+1}}{1-r}$ という式変形を用いて，$s<t$ を満たす自然数組 $(s,t)$ と， $r<1$ を満たす実数 $r$ について，$$r^s+r^{s+1}+\cdots+r^t=\frac{r^s-r^{t+1}}{1-r}$$ となることを示せ．

2. 自然数組 $(a,i)$ について $a^i < i!$ が成立するなら，$i$ 以上の任意の自然数 $j$ で $$a^j < j!$$ となることを示せ．

3. 自然数組 $(a,i,k,n)$ について，$f(k)=k!-a^k$ ，$g(k)=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{k!}$ とする．
   $i<n$ ，$f(i)> 0$ を満たすとき，$$g(n)< g(i-1)+\frac{1}{a^i-a^{i-1}}-\frac{1}{a-1}\left( \frac{1}{a} \right)^n$$となることを示せ．

4. $n>4$ を満たす自然数 $n$ について，$$g(n)<\frac{67}{24}$$ となることを示せ．

解答形式

私に伝わる程度でよいので、軽めに記述してください。

ヒントの内容

1. 「3.」のヒント
2. 「4.」のヒント

xyz空間において､xy平面上の
線分L:{y=-1, 0<x<1}上の各点から､zx平面上の
直線M: z=x tan(a) [0<a<π/2] に垂線を下ろす｡aが動いて､垂線全体が通
過する領域のうち､
y<0 かつ 0<z の領域の体積を求めよう。

解答形式

答えのみ

問題文

$\{1,2,…,9999\}$ の部分集合 $S$ であり，任意の $S$ の要素 $a,b(a\neq b)$ について $a+b$ を行ったときに繰り上がりが起きない（どの桁も $10$ を超えない）ようなものについて，その要素数の最大値を求めよ．

問題文

円に内接する四角形 $ABCD$ について，線分 $AC$ はその直径をなす．線分 $BD$ の中点を $M$ とすると $AM=AD, BD=12, CD=13$ が成立した．線分 $BC$ の長さの二乗を求めよ．

問題

$a,b$ を実数とする．$f(x)=x^4+ax^3+bx^2+ax+1$ は $f(1/2)\cdot f(1/3)=4$ を満たしている．$f(2)+f(3)$ としてありうる最小の正の整数値を求めよ．