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問題文

四面体 $ABCD$ の各辺 $AB , AC , AD , CD , DB , BC$ の中点をそれぞれ $P , Q , R , S , T , U$ とする。四角形 $PQST , QRTU$ がともに長方形となるとき、
$AB^2+CD^2=AC^2+DB^2=AD^2+BC^2$
となることを示せ。

解答形式

簡単な証明をお書きください。

問題文

$n$ を自然数とする。 $n^5+n+1$ が互いに異なる $4$ つの素数の積で表されるような $n$ のうち最小のものを答えよ。

問題文

実数 $a,b,c$ がこの順に等差数列となっている。 $3\times3$ のマス一つずつに $a,b,c$ を自由に配置したとき、縦横斜め一列に並ぶ $3$ 数の和が一致する列の組が必ず存在するか。

解答形式

必ず存在するならば $1$ 、必ずしも存在しないならば $0$ と答えてください。

問題文

各桁が奇数のみで表される自然数の逆数からなる級数
$\frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{15}+\frac{1}{17}+\frac{1}{19}+\frac{1}{31}+\cdots$
の和を $S$ とすると、
$\sum\limits_{n=1}^{10} \frac{1}{n} < S < 2 \sum\limits_{n=1}^{5} \frac{1}{2n-1}$
となることを示せ。

問題文

$86^{48}-64$ を $864$ で割った余りを求めよ。

問題文

$3$ つの円が互いに外接し、かつ各円が直線 $l$ に接している。ある円と直線 $l$ との接点を $O$ とし、他の $2$ 円との接点をそれぞれ $A$ $,$ $B$ とする。 $O$ から直線 $AB$ に下ろした垂線の足を $H$ とする。線分 $AB$ の長さを $d$ として、線分 $OH$ の長さを $d$ を用いて表せ。

問題文

正整数$N$を$7,10,13,16,19$で割った余りがそれぞれ$2,3,4,5,6$であるとします。このとき$N$を$1729$で割った余りを求めてください。

$$問　題$$
$自然数Nと素数p,q,rが以下の式を満たすとき、Nを求めよ。$
$$
\begin{cases}
N＝p^qq^pr\\
p ^q +q ^p＝r
\end {cases}
$$

問題文

$\angle{ADC}=\angle{BCD}=90^\circ,BAD>90^\circ$なる台形$ABCD$について,
$$\angle{BAC}=90^\circ,AB=4,AC=3$$
が成立した.$ABCD$の面積を求めよ.

解答形式

求める値は互いに素な正整数$p,q$を用いて$\frac{p}{q}$と表せるので,$p+q$を解答してください.

以下の値を素数 $97$ で割った余りを求めてください.
$$\sum_{k=200}^{300}(-4)^{300-k}{}_{2k}\mathrm{C}_{k}\cdot {}_{k}\mathrm{C}_{300-k}\cdot {}_{2k-300}\mathrm{C}_{k-200}$$

問題文

正整数に対して定義され非負整数値をとる関数 $f$ が以下を満たしています．

• 任意の正整数 $x,y$ について $f(xy)=f(x) \oplus f(y)$

• $x$ と $y$ が互いに素ならば $f(xy)=f(x)+f(y)$

このような関数 $f$ について，以下を満たす正整数の組 $(x,y)$ の個数を $c(f)$ とします．$c(f)$ がとりうる値は有限個なので，その総和を解答してください．

• $x,y$ はともに $30^{10}$ の約数である．

• $f(xy)=f(x)+f(y)$

追記: $\oplus$ はビットごとの排他的論理和です

問題文

$60$ 以下の正整数 $n$ に対して，それを $2,3,4,5$ で割ったあまりをそれぞれ $a,b,c,d$ とします．$xy$ 平面上に $P(a,b)$ と $Q(c,d)$ をとったとき $PQ= 1$ となるような $n$ の個数を解答してください．