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問題文

$x$ に関する $7$ 次方程式
$${x^7+x^6+x^5+x^4+3x^3+3x^2+3x+3=0}$$ の重複を含めた $7$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_7$ とします．
$${S_n=\sum_{k=1}^{7}\alpha_{k}^{n}}$$ とするとき，以下の値を求めてください．
$${\prod_{n=1}^{8}\frac{S_{n+4}+S_{n+5}+S_{n+6}+S_{n+7}}{S_n+S_{n+1}+S_{n+2}+S_{n+3}}}$$ ただし，${S_n+S_{n+1}+S_{n+2}+S_{n+3}}$ が $n=1,2,...,8$ の範囲で $0$ にならないことが証明できます．

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$x$ に関する $2026$ 次方程式
$${2026^2{}_{2026}\mathrm{C}_{2026}x^{2026}+2025^2{}_{2026}\mathrm{C}_{2025} x^{2025}+...+1^2{}_{2026}\mathrm{C}_{1}x \left(=\sum_{k=1}^{2026}(k^2 {}_{2026}\mathrm{C}_k) x^k\right)=1000x+2026}$$ の重複を含めた $2026$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{2026}$ とします．
$$S_m=\sum_{k=1}^{2026}\alpha_{k}^{m}$$ とするとき，以下の値を求めてください．
$$\prod_{n=1}^{2024}\left(\left(\sum_{m=0}^{n} {}_{n}\mathrm{C}_{m}S_{m}\right)-1\right)$$

解答形式

整数 $t$ の正の約数の個数を $d(t)$ で表すものとします．
求める値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので，$8d(b)-d(a)$ の値を解答してください．

問題文

数列 ${\lbrace F_n \rbrace(n=0,1,...)}$ を ${F_0=1,F_1=1,F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$ ${(n \ge 2)}$ で定めます．

$x$ に関する $15$ 次方程式
$${x^{14}+x^{13}+2x^{12}+...+233x^2+377x+610\left(=\sum_{m=0}^{14}F_{m}x^{14-m}\right)=-x^{15}+2026}$$
の重複を含めた $15$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{15}$ とします．以下の値を求めてください．
$${\sum_{k=1}^{15}\alpha_{k}^{15}}$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

${x}$ に関する ${2026}$ 次方程式

$${x^{2026}+2025x-2024=0}$$

の重複を含めた ${2026}$ 個の複素数解を ${α_1,α_2,...,α_{2026}}$ とします．以下の値を求めてください．

$${\sum_{k=1}^{2026}α_k^{2026}}$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$x$ に関する $2$ 次方程式
$${x^2+3x+9=0}$$ の $2$ つの複素数解を$\alpha,\beta$ とします．
$${S_n=\alpha^n+\beta^n}$$ とするとき，以下の値は整数になるので，その正の約数の個数を求めてください．
$${\prod_{n=1}^{243}S_n}$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

いずれも $0$ でない $4$ 個の複素数 $x,y,z,w$ が
$$x+y+z+w=30$$ $$x^2+y^2+z^2+w^2={30}^2-2$$ $$x^3+y^3+z^3+w^3=30^3$$ $$x^4+y^4+z^4+w^4=2026$$
を満たします．このとき，$xyzw$ の値を求めてください．

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$x$ に関する $4$ 次方程式
$${x^4+4x^3+6x^2+8x-2357=0}$$
の重複を含めた ${4}$ 個の複素数解を ${\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4}$ とします．以下の値を求めてください．

$${\sum_{k=1}^{4} (\alpha_{k}+1)^4}$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$x$ に関する $10$ 次方程式
$${x^{10}+2x^9+4x^2+3x-2026=0}$$ の重複を含めた $10$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{10}$ とします．以下の値を求めてください．
$${\sum_{k=1}^{10}\frac{1}{\alpha_k}}$$

解答形式

求める値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．

問題文

正整数 $n$ であって以下を満たす $n$ と互いに素な正整数 $m$ が存在するものの総和を求めてください．

• $\dfrac mn$ の小数第 $i$ 位を $a_i$ とすると，正整数 $j$ であって任意の正整数 $k$ に対して $a_k=a_{j+k}$ を満たすようなものが存在して，かつその最小値が $6$ である．

解答形式

半角で解答してください．

2026/3/8 23:48に問題の不備解消のため太字部分を追加しました。

問題文

$AB \lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ があり, 垂心を $H$ とします. $B,C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $E,F$ とし, 直線 $EF$ と直線 $AH,BC$ との交点をそれぞれ $G,K$ とすると, 三角形 $FKH$ の外接円と三角形 $EGH$ の外接円は再び線分 $BC$ 上の点 $X$ で交わりました.
$$KB=1　　EG:GK=4:5$$
が成り立つとき, 線分 $GX$ の長さの $2$ 乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください.

解答形式

半角で入力してください。

問題文

三角形 $ABC$ において，角 $A$ の大きさは $120^\circ$ であり， $3$ 辺の長さ $BC, CA, AB$ はすべて正の整数です．さらに，辺 $CA$ と辺 $AB$ の長さの差はちょうど $1$ です．
　このような条件を満たす三角形のうち，辺 $BC$ の長さが小さい方から数えて $5$ 番目のものについて，辺 $BC$ の長さを解答してください．

解答形式

半角左詰めでお願いします

正の整数 $n$ に対して, 以下の条件をすべて満たす正の整数の組 $(x, y)$ の個数を $f(n)$ と定めます.

• $\mathrm{lcm}(x, y) = n$
• $x$ は $y^2$ の約数である
• $y$ は $x^2$ の約数である

$f(n) = 15$ を満たす正の整数 $n$ のうち, 小さい方から数えて $10$ 番目のものを求めてください.