全問題一覧

カテゴリ
以上
以下

KOTAKE杯007(L)

MrKOTAKE 自動ジャッジ 難易度:
41日前

23

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり,点$A,B,C$ から対辺におろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とします.$AD,EF$ の交点を $P$ とすると,以下が成立しました.
$$DE=37,\quad EF=40,\quad AP:PD=5:6$$
このとき線分 $DF$ の長さを解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.

KOTAKE杯007(Q)

MrKOTAKE 自動ジャッジ 難易度:
41日前

25

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり,$A$ から $BC$ におろした垂線の足を $H$ とします.三角形 $ABC$ の外接円の,$C$ を含まない方の弧 $AB$ 上に点 $P$ をとれば,
$$\angle APH=90^\circ ,\quad BH=3,\quad CH=4,\quad AP=10$$
が成立したので線分 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.

KOTAKE杯007(R)

MrKOTAKE 自動ジャッジ 難易度:
41日前

27

問題文

三角形 $ABC$ があり,内心を $I$ とします.直線 $BI,AC$ の交点を $D$ とし,端点を除く線分 $BC$ 上に $4$ 点 $ABDE$ が共円となるように点 $E$ をとると,直線 $AI,DE$ は三角形 $ABC$ の外接円上で交わり,以下が成立しました.
$$AD=2,\quad BE=3$$
このとき線分 $AC$ の長さは.正の整数 $a,b,c$ を用いて$\frac{b+\sqrt{c}}{a} $ と表されるので $a+b+c$ を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.

400C

Nyarutann 自動ジャッジ 難易度:
43日前

0

問題文

$202\times5$ のマス目があり,それぞれのマスに上下左右のいずれかの矢印が書かれており,以下の $2$ つを満たしました.

  • 任意のマスについて,そのマスに書かれている矢印の方向に動くということを繰り返すことで元のマスに戻ることができる.

  • 互いに向かい合っているような矢印は存在しない.

  • $3$ 列目に書かれた $202$ 個の矢印の中に,左向きの矢印は存在しない.

条件を満たすように矢印を書き込む方法は $N$ 通りあります.$N$ を$2$ つの素数の積 $197\times199$ で割った余りを求めてください.

解答形式

半角数字で解答してください.

300G

Nyarutann 自動ジャッジ 難易度:
43日前

3

問題文

三角形 $ABC$ において,$\angle{A}, \angle{B}, \angle{C}$ の角の二等分線と辺 $BC, CA, AB$ との交点を $D, E, F$ ,直線 $CF$ と $DE$ の交点を $X$ ,三角形 $ABC$ の外接円と直線 $AD, AX$ の交点を $M, N$ とすると,以下が成り立ちました.
$$
MN=NC, BD=4, DC=6
$$このとき,三角形 $ABC$ の面積を求めてください.ただし,答えは 正整数 $a, b, c$ ( $a$ と$b$ は互いに素,$c$ は平方因子を持たない)を用いて $\dfrac{b\sqrt{c}}{a}$ と表されるので $a+b+c$ の値を解答してください.

解答形式

半角数字で解答してください.

200C

Nyarutann 自動ジャッジ 難易度:
43日前

1

問題文

$1$ 以上 $5$ 以下の整数しか項に持たない全 $2025$ 項の数列があり,任意の連続する $3$ 項において以下を満たします.

  • $3$ 項の順番を並び替えることで等差数列になる.

例えば,$1, 1, 1, 1, \ldots$ や $1, 3, 5, 4, \ldots$ は条件を満たします.このような数列は $N$ 個あります.$N$ を素数 $677$ で割った余りを求めてください.

解答形式

半角数字で解答してください.

200A

Nyarutann 自動ジャッジ 難易度:
43日前

10

問題文

正整数値に対して定義され正整数値をとる関数 $f(x)$ は,任意の正整数 $a, b, c$ において,以下を満たしました.
$$
f(a)+f(b)+f(c)=f(abc)+2
$$また,$f(15)=15$ を満たすとき,$f(2025)$ としてあり得る値の総和を求めてください.

解答形式

半角数字で解答してください.

求値幾何

Ryomanic 自動ジャッジ 難易度:
43日前

5

問題文

△ABCの内接円が辺ABと点D、辺BCと点E、辺CAと点Fで接する。角ACBの二等分線と辺ABの交点をG点Dから線分EFに引いた垂線と辺BCの交点をH とすると、
$$BG=8,BD=6,BH=\frac{31}{2}$$
となった。
この時HCの長さを求めよ。

解答形式

求める長さは互いに素なa,bで$$\frac{a}{b}$$と表せるのでa+bを解答してください。


問題文

$$\sum_{i=1}^{n} x_i^n = y^n$$
$x_i$がすべて互いに素でnが6以上のときこの式を満たす自然数は高々有限個しか存在しない。

解答形式

この命題が真か偽を証明しなさい。

モンモール数だよ

udonoisi 採点者ジャッジ 難易度:
46日前

1

問題文

$D_n$ を $1$ から $n$ までの整数の順列 $(a_1, a_2, \cdots ,a_n)$ のうち
$$a_k \neq k \quad (k=1, 2, \cdots ,n)$$ を満たすものの個数とする. 例えば, $D_2=1, D_3=2, D_4=9$ である.
このとき,任意の素数 $p$ に対して$$D_{p-1} \equiv \sum_{k=0}^{p-1}{k! } \pmod{p}$$ となることを示せ.

解答形式

方針だけでも採点します

Conkom1910615 ジャッジなし 難易度:
51日前

2

問題文

ある数は2の倍数であり、1を引くと3の倍数である。この数を、小さい順で10個答えよ

解答形式

数字を10個

51日前

0

問題文

$a^{17}+b^{17}=c^{17}$を満たす自然数の組み合わせ$(a,b,c)$が存在しないことを示せ。

解答

多少厳密じゃなくても正解になります。