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問題文

$1$ 以上 $12$ 以下の整数からなる集合を $U$ とし，空でない $U$ の部分集合 $S, T$ を
$$S \cup T = U，S \cap T = \phi$$となるよう定めたところ，$S$ の元の和と $T$ の元の平方和が等しくなりました．このような集合の組 $(S, T)$ すべてに対する「$S$ の元の和」の総和を解答して下さい．

たとえば，
$$S = \{1, 2, ..., 9\}，T = \{10, 11, 12\}$$であるなら，$S$ の元の和は $1 + 2 + \cdots + 9 = 45$ と計算され，$T$ の元の平方和は $10^2 + 11^2 + 12^2 = 365$ と計算されます．

解答形式

半角英数にし、答えとなる正整数値を入力し解答して下さい．

$p, q$を素数とする．自然数$N=p^6-q^6$と表され、相違なる素因数をただ3つもつとき，$N$の値を求めよ．

10進数における$10!$を$n$進数に変換したときの末尾につく0の数を $f(n)$ とする．このとき，$\sum\limits_{n=2}^\infty f(n)$を求めよ．

$xy$平面における最高次係数が1である4次関数$f(x)$に対して，$y=x^2$が2点(10,$f(10)$)，(16,$f(16)$)で接しているとき，$f(x)$を求めよ．ただし，$f(x)$は整数$a, b, c, d$を用いて$x^4+ax^3+bx^2+cx+d$と表されるため，$\mid a\mid+\mid b\mid+\mid c\mid+\mid d\mid$を答えよ．

1辺4の正三角形の内部に点$P$をとる．
点$P$の各辺からの距離をそれぞれ$a, b, c$と置いたとき， $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{11\sqrt{3}}{6}, \frac{1}{a}\times\frac{1}{b}\times\frac{1}{c}=\frac{\sqrt{3}}{2}$が成り立ったから$a^2+b^2+c^2$ の値を求めよ．ただし，答えは互いに素な自然数$a, b$を用いて$\frac{a}{b}$と表されるので，$a+b$の値を答えよ．

$H$高校には一郎，二郎，三郎，...，$n$郎の$n$人の生徒が在籍している．この$n$人が英語と数学の試験を受けたとき，英語の分散が2，数学の分散が8，英語と数学の相関係数が0.5であった．
$1 \leq k \leq n$を満たす自然数$k$について，$\vec{a}$の第$k$成分は$k$郎の英語の平均値との偏差，$\vec{b}$の第$k$成分は$k$郎の数学の平均値との偏差となるように$\vec{a}, \vec{b}$を定義する．
このとき，$\vec{a}$と$\vec{b}$の内積$\vec{a}\cdot\vec{b}$を求めよ．

$a$を$b$で割った余りを$f(a, b)$とする．
このとき，$\sum\limits _{n=1} ^{10000} f(n!+1, n+1)$の値を求めよ．

12色で，正八面体の各頂点を全ての頂点が異なる色になるように塗るとき，色の塗り方は何通りあるか求めよ．ただし，回転して一致するものは同じものと数える．

長方形$ABCD$がある．$BC$上に点$E$を，$CD$上に点$F$を以下の式が成り立つように取る．\
$\angle BAE=\angle CEF$，$\angle AFD=2\angle CEF$，$DF=2$，$CF=\sqrt{5}-2$が成り立つとき，$\angle DAF$の値を度数法で求めよ．

$$
同素体について、次の文章の空欄を埋めてください。
$$
$$
同素体とは、主に、(1) ,C ,(2), Pで表せるものであり、（３）になりやすい\\
元素である。（１）では、（４）型、（２）では、（５）型の（３）に\\
なる。
$$
$$
(1) (a) Ca (b) H (c) S (d) Li
$$
$$
(2) (a)P(b)He(c)Na(d)F
$$
$$
(3) (a)同位体(b)希ガス(c)イオン化(d)共有結晶
$$
$$
(4)(a) Ar (b) Ne
$$
$$
(5)(a)Ne(b)Ar
$$

$$
酸素について、誤っているものを選んでください。
$$
$$
(1)オゾン層には関連しない。
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$$
(2)同素体の４つのうちに入る。
$$
$$
(3)人間の呼吸に関係する。
$$
$$
(4)二重結合を持つ。
$$

$$
リンについての性質で誤っているものを選んでください。
$$
$$
(1)マッチの原材料である。
$$
$$
(2)同素体である。
$$
$$
(3)赤色と青色のものがある。
$$
$$
(4)単斜構造をしているものがある。
$$