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問題文
$3$ つの円が互いに外接し、かつ各円が直線 $l$ に接している。ある円と直線 $l$ との接点を $O$ とし、他の $2$ 円との接点をそれぞれ $A$ $,$ $B$ とする。 $O$ から直線 $AB$ に下ろした垂線の足を $H$ とする。線分 $AB$ の長さを $d$ として、線分 $OH$ の長さを $d$ を用いて表せ。
$$問 題$$
$自然数Nと素数p,q,rが以下の式を満たすとき、Nを求めよ。$
$$
\begin{cases}
N＝p^qq^pr\\
p ^q +q ^p＝r
\end {cases}
$$
以下の値を素数 $97$ で割った余りを求めてください.
$$\sum_{k=200}^{300}(-4)^{300-k}{}_{2k}\mathrm{C}_{k}\cdot {}_{k}\mathrm{C}_{300-k}\cdot {}_{2k-300}\mathrm{C}_{k-200}$$
問題文
$\dfrac{51-n}{n-1}$ が平方数となるような整数 $n$ の総和を解答してください．
(13:17追記 $0$ も平方数に含むとします)
問題文
平方因子を持たない正整数 $n$ であって，$\dfrac{\phi(n)}{\gcd(n,\phi(n))} = 18$ を満たすものの総和を解答してください．
問題文
$S=\lbrace 0,1, \ldots , 30 \rbrace$ とします．関数 $f:S \rightarrow S$ であって，以下を満たすようなものの個数を $N$ とします．
- 任意の $x,y \in S$ について，$x^{12}-y^{12}$ が $31$ の倍数ならば，$f(x)^{25}-f(y)^{25}$ も $31$ の倍数．
$N = a \cdot b^c$ であるような正整数 $a,b,c$ について，$a+b+c$ の最小値を解答してください．
問題文
正整数 $a$ に対して，$\dfrac{n(n+2)}{a}$ が平方数であるような正整数 $n$ が無限に存在しました．さらに小さい方から $i$ 番目のものを $n_i$ とすると，任意の正整数 $i$ が $n_{i+2}+n_{i}=98n_{i+1}+2n_1$ を満たしました．このとき，$a$ としてありうるものの総和を解答してください．
問題文
$30$ の正の約数を並べ替えた数列 $A$ としてありうるもの全てに対する，以下の操作方法の個数の総和を解答してください．
- 「連続する $2$ 数 $A_i,A_{i+1}$ であって $A_i \mid A_{i+1}$ を満たすものを $1$ つ選び，それらをともに $A$ から削除する」という操作を $4$ 回行い，$A$ を空にする．
問題文
正整数に対して定義され非負整数値をとる関数 $f$ が以下を満たしています．
-
任意の正整数 $x,y$ について $f(xy)=f(x) \oplus f(y)$
-
$x$ と $y$ が互いに素ならば $f(xy)=f(x)+f(y)$
このような関数 $f$ について，以下を満たす正整数の組 $(x,y)$ の個数を $c(f)$ とします．$c(f)$ がとりうる値は有限個なので，その総和を解答してください．
-
$x,y$ はともに $30^{10}$ の約数である．
-
$f(xy)=f(x)+f(y)$
追記: $\oplus$ はビットごとの排他的論理和です
問題文
上から $i$ 段目 $(1 \leq i \leq 2026)$ に $i$ 個の正整数を並べて三角形を作る方法であって，どの段も総和が $2026$ となるようなものの個数を素数 $2029$ で割ったあまりを解答してください．