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問題文
正の整数 $n$ に対し，関数 $f_n(x)$ を
$$
f_n(x)=x\lfloor \dfrac{n}{x}\rfloor
$$
で定める．ただし，$x>0$ とする．
また，実数 $t$ に対し，$t$ 以下の最大の整数を $\lfloor t\rfloor$ で表す．
⑴ 方程式 $
f_n(x)=n$ が正の実数解を無限個もつことを示せ． また，$f_1(x)=1$ の正の実数解を，値が大きい順に
$$
a_1,a_2,a_3,\ldots
$$
とするとき，
$$
\lim_{m\to\infty}\sum_{k=m}^{2m} a_k
$$
を求めよ．
⑵ 座標平面における $y=f_n(x)$ のグラフのうち，$
\dfrac{1}{2}\le x\le 1
$ を満たす部分の長さの総和を $S_n$ とする．
このとき， $$ \lim_{n\to\infty}\dfrac{S_n}{n}
$$を求めよ．
解答形式
証明は入力せず、答えのみで良いです。
⑴の答えは1行目、⑵の答えは2行目に いずれも左詰めで入力してください。
入力例)
π 、√π、2e/3、log7 (自然対数)、(3+√2)π、5e√2、log10_2 (常用対数)
関数 $f:\mathbb{Z}^2\rightarrow \mathbb{Z}$ は以下を満たします.
- $f(0,0)=1$
- $n,m$ いずれかが $0$ 未満であるとき, $f(n,m)=0$.
- $(n,m)\neq(0,0)$ を満たす非負整数の組 $(n,m)$ に対して, 以下が成立.
$$
\begin{aligned}
&f(n,m)\\\\
&=f(n-1,m)+2f(n,m-1)\\\\
&+f(n-2,m)-f(n-1,m-1)-f(n,m-2)
\end{aligned}
$$
このとき$f(10000,10000)$ を 素数 $4999$ で割った余りを求めてください.
問題文
各桁が奇数のみで表される自然数の逆数からなる級数
$\frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{15}+\frac{1}{17}+\frac{1}{19}+\frac{1}{31}+\cdots$
の和を $S$ とすると、
$\sum\limits_{n=1}^{10} \frac{1}{n} < S < 2 \sum\limits_{n=1}^{5} \frac{1}{2n-1}$
となることを示せ。
問題文
$3$ つの円が互いに外接し、かつ各円が直線 $l$ に接している。ある円と直線 $l$ との接点を $O$ とし、他の $2$ 円との接点をそれぞれ $A$ $,$ $B$ とする。 $O$ から直線 $AB$ に下ろした垂線の足を $H$ とする。線分 $AB$ の長さを $d$ として、線分 $OH$ の長さを $d$ を用いて表せ。
$$問 題$$
$自然数Nと素数p,q,rが以下の式を満たすとき、Nを求めよ。$
$$
\begin{cases}
N＝p^qq^pr\\
p ^q +q ^p＝r
\end {cases}
$$