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問題文

鋭角三角形ABCにおいてAからBCに下ろした垂線の足をDとし, 三角形ABCの外接円と直線ADとの交点のうちAでない方をEとする.
外接円の中心をOとしたとき, 次が成り立った.

OD ⊥ BE
BD = 2, DC = 2√7

外接円の半径が4であるとき, 三角形ABCの面積を求めてください.

解答形式

正整数 a, bを用いてa + √bと表せるので, a + b の値を解答してください.

問題文

二等辺三角形ABCがあり、AB＝AC＝xcmである。また、頂角は150°である。下の式が二等辺三角形ABCの面積の値と等しくなった時、xの数値を求めなさい。(・は掛け算の×を表しています)

$$
\frac{x^4-10x^2+9}{(x+1)(x+3)(x-3)} + \sqrt{25+4\sqrt{6}} \cdot \sqrt{25-4\sqrt{6}} + \frac{(x+2)^3-(x-2)^3}{12x} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{1}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}} + 19
$$

解答形式

x＝は必要ありません。数値のみを記入してください
(例) 810

問題文

$AB=AC$ である直角二等辺三角形 $ABC$ があり，外接円の劣弧 $AC$ 上に点 $D$ をとります．すると $$AB=\sqrt{666},CD=6$$ が成り立ちました．$BD$ に $A$ から下ろした垂線の足を$H$ とした時，$AH\times BH$ の値を求めて下さい．

解答形式

半角の数字で答えて下さい．

問題文

偶数桁の回文数のうち、素数であるものをすべて求めよ。

解答形式

答えの総和を解答してください。

問題文

非負実数 $x,y$ が $x^2 + y^2=2000$ を満たすとき，$x+2y$ の最小値を解答してください．

問題文

$ \angle B = 45^{\circ}$ なる 鋭角三角形 $ABC$ について，$A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とします．$AD=12,CD=5$ のとき，三角形 $ABC$ の面積を解答してください．

問題文

$10000$ 以下の最大の素数を解答してください．

問題文

三角形ABCの
Pを線分AB上にABを2:3に内分するように、
Qを直線BC上にBCを1:2に外分するように、
Rを直線AC上に取ったところ、
P,Q,Rは一直線上にありました
この時、AR/CRの値を求めてください。

解答形式

解答する値は互いに素な自然数(a,b)を用いてa/bと表せるので、a+bの値を求めてください

問題文

以下のようなゲームがあります．

• 山 $1$, 山 $2$, ...,山 $2026$ があり，はじめ 山 $i$ には $a_i (1 \leq a_i \leq 31)$ 個の石が積まれている．先手と後手が交互に以下の操作を繰り返し，操作が出来なくなったら負けである．
  • ある山が存在して，積まれている石の数が( $0$ でない)偶数個ならばその半分をとる．そうでないならば，石が積まれている全ての山から石を $1$ つとる．

先手が必ず勝つような数列 $a_i$ の個数を $2026$ で割ったあまりを解答してください．

問題文

曲1

僕何回
何年
共終
仕方
思零言葉違

曲2

僕何回何十回
君抱合手繋
思出度想出
君作
何回何十回謝
感謝言葉忘
危険性少高
許

解答形式

2曲のタイトルをひらがなで、スペースを空けずに並べて1行で解答してください．

問題文

忘時流
心君笑小丸

穴何見
一人叶夢

君声抱歩
僕届

探君会日今懐言葉
向水玉雲散日

風吹飛軽
他人同幸信

傷誰傷
僕届

瞬長季節来
呼合名前始
聴

君声抱歩
僕届

君声抱歩
僕届

君声

解答形式

ひらがなで解答してください．

問題文

次の定積分の値を求めよ．
$$
\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}\frac{\cos x}{1+e^{\sin x}}dx
$$

解答形式

半角数字で答えのみ解答してください．
答えが分数となる場合，例えば$-\frac{11}{2}$などとなる場合は-11/2のように解答してください．