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$$ \sum_{k=1}^{66}k^2(k^2-1)(k^2-4)$$
の値を求めて下さい．

$$\sum_{i=1}^{66}\sum_{j=i}^{66}\frac{1}{j}$$の値を求めて下さい．

$$\sum_{k=1}^{66}k\times \gcd(66,k)$$
の値を求めて下さい．$\gcd(a,b)$ で $a$ と $b$ の最大公約数を表すものとします．

$$\sum_{k=1}^{66}\frac{4k}{k^4+4}$$ の値を求めて下さい．値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を答えて下さい．

$$\sum_{i=1}^{66}\sum_{j=1}^{\lfloor\sqrt{i}\rfloor}\sum_{k=1}^{\lfloor\sqrt{j}\rfloor}\sum_{l=1}^{\lfloor\sqrt{k}\rfloor}1$$
の値を求めて下さい．

問題

実数$a$に対して、複素数$z$が$z^2-2az+a^2+1=0$を満たしているとする。
また、この方程式の$2$つの解を$\alpha, \beta$とする。

このとき、$\alpha^4+\beta^4=0$を満たす実数をすべて求めよ。

解答形式

$a=(\quad)$の形式で書いてください。

${}$　単語を並び替え、スペースを詰めてしまった英文形式のクイズ「QuizShuffleConcatenateAnd」第17問です。意味ありげな数を織り込んでみました。一文が短いので取り組みやすいかと思います。ぜひ挑戦してください！
　解くにあたって辞書使用やネット検索はご自由にどうぞ。

解答形式

${}$　元に戻した英文に日本語で答えてください。今回は「漢字で2文字」です。

例題

inhighestwhatjapantheismountain
　　　　　↓　↓　↓
${}$　これを元に戻すと
What is the highest mountain in Japan?
となるので、答えは「富士山」となります。

問題文

四角形ABCDとその対角線BDを斜辺とする△BPDがある。BCとPDの交点をQとし、∠DBP=60°、∠QDC=15°のとき、PAとBDの交点はQからBDにおろした垂線がBDとの交じわる点と重なる。それはなぜか、証明しなさい。ただし、点Pは対角線BDを挟んでA反対側にあるとする。

解答形式

証明は自由記述です。ジャッジはありません。全て中3までの知識で解けます。

問題文

四角形ABCDがあります
AB＝10、BC＝10√2、CD＝10、DC＝10です、DA上に点Eがあり、EB＝10、EC＝10√2です

このいびつな四角形の面積を求めると

$a(\sqrt{b}+c\sin(\pi/d))$

となりました、abcdの積を答えて下さい #### 解答形式 係数は互いに素な整数、或いは最簡形 bは平方根でない整数、pi/dは既約数 半角数字のみでお願いします

問題文

$ $　三次元空間において，$x, y, z$ 座標がすべて整数であるような点を格子点と呼ぶことにします．$7$ 個の格子点の列 $(P_0, P_1, ..., P_6)$ であって，以下 $2$ 条件をともにみたすものは全部でいくつありますか？

• $P_0$ の座標は $(0, 0, 0)$ であり，なおかつ $P_6$ の座標は $(5, 5, 5)$ である．
• 各 $n = 1, 2, ..., 6$ に対し，線分 $P_{n - 1}P_n$ の長さは $\sqrt{n}$ である．

解答形式

答えは非負整数値であることが保証されます．半角英数にし，答えとなる非負整数値を入力し解答して下さい．

${}$　単語を並び替え、スペースを詰めてしまった英文形式のクイズ「QuizShuffleConcatenateAnd」第16問です。長い文となってしまいましたが、名詞と形容詞さえ拾えれば連想で行けると思います。ぜひ挑戦してください。
　解くにあたって辞書使用やネット検索はご自由にどうぞ。

解答形式

${}$　元に戻した英文に日本語で答えてください。今回は「漢字で2文字」です。

例題

inhighestwhatjapantheismountain
　　　　　↓　↓　↓
${}$　これを元に戻すと
What is the highest mountain in Japan?
となるので、答えは「富士山」となります。

問題文

2次方程式のグラフ
$y=4x^{2}+26x+16$,
$y=-5x^{2}-kx-2k$
がある。
これらのグラフが接しているとき、$k$の値を求めよ。