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問題文

ある正の整数の組$(a,b,c)$が以下の等式を満たした. このとき, この$3$数の組としてありうるものはどれだけ存在するか. 以下の選択肢から選び回答せよ. あ もしくは い を選ぶ際はその組の数も求めよ.
$a^2+b^2=2026+c^2$
　あ 10000組未満　　い 10000組以上だが有限個しか存在しない　　う無数に存在する

解答形式

あ,または い を解答される場合は組の数を, う を解答される場合は う を入力ください.

問題文

正の整数の組$(a,b)$であって, $a^b-ab=k$を満たすようなものが存在する2026未満の正の整数$k$であって最大のものを求めよ.

解答形式

正整数で解答して下さい

問題文

ゲームを始める前に、プレイヤーは以下の5枚のカードから1枚を選ぶ.
Aのカードには「1、4、7、9」
Bのカードには「1、3、8、9」
Cのカードには「2、3、6、9」
Dのカードには「2、4、5、9」
Eのカードには「5、6、7、8、9」
という数字が書かれている.
カードを1枚選んだのち, スロットを1度回す. 出た数字が選んだカードに書かれていれば勝ち, 書かれていなければ負けである.
このゲームについて調べたところ, AからEまでのどのカードを選んでも勝つ確率は$\dfrac12$であった.
このとき, スロットを1度回して「9」が出る確率を求めよ.

解答形式

答えは互いに素な正の整数$ a, b $を用い$\dfrac{a}{b}$と表されるので$a+b$を解答せよ.

問題文

$$
\Large\int_{e^{-1}}^e {\frac{x^{x+1}}{x^{x+2}+x^{-{\frac{1}{x}}}}}dx
$$
の値を求めてください.

解答形式

※「」は鍵括弧の中身だけを入力してください
・分数表記は「\frac{a}{b}」が「$\frac{a}{b}$」となります. 帯分数は避けて下さい.
・「\pi」と入力すると「$\pi$」となります.
・「{a}^{b}」と入力すると「${a}^{b}$」となります. 「\sqrt{a}」と入力すると「$\sqrt{a}$」となります.
・「\log_{a}{b}」と入力すると「$\log_{a}{b}$」となります. ただし, 底(a)が$e$である場合は「\log{b}」と入力すると「$\log{b}$」となるのでこちらの表記で提出してください.
・この問題が有限値収束することは保証されています.

問題文

$n$を非負整数とし,　関数$f_n(x)$は以下を満たします.
$$
\begin{eqnarray}
f_0(x)=f_n(0)=0\quad\quad\quad\quad\quad\\
f_n(x)=\frac{\sqrt{\tan{x}}+f_{n-1}(x)}{\tan{x}+1}\quad(n\geqq1)
\end{eqnarray}
$$
このとき, 以下の値を解答してください.
$$
\large
\lim_{n\to \infty} {\int_{0}^{\frac{\pi}{12}}{\frac{\cos{3x}}{\cos{x}}
}f_n(x)}dx
$$

解答形式

※「」は鍵括弧の中身だけを入力してください
・分数表記は「\frac{a}{b}」が「$\frac{a}{b}$」となります. 帯分数は避けて下さい.
・「\pi」と入力すると「$\pi$」となります.
・「{a}^{b}」と入力すると「${a}^{b}$」となります. 「\sqrt{a}」と入力すると「$\sqrt{a}$」となります.
・「\log_{a}{b}」と入力すると「$\log_{a}{b}$」となります. ただし, 底(a)が$e$である場合は「\log{b}」と入力すると「$\log{b}$」となるのでこちらの表記で提出してください.
・この問題が有限値収束することは保証されています.
※この問題は自動ジャッジではなく運営が採点するため, 正誤の送信が遅れる可能性があります. ご了承ください.

問題文

$$
\large
\lim_{n\to \infty} {\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos{(n+1){\theta}}-\cos{n{\theta}}}{\cos{\theta}-1}
}}d\theta
$$
の値を求めてください.
※但し$\theta=0$のときの被積分関数の値を$0$とします.

解答形式

※「」は鍵括弧の中身だけを入力してください
・分数表記は「\frac{a}{b}」が「$\frac{a}{b}$」となります. 帯分数は避けて下さい.
・「\pi」と入力すると「$\pi$」となります.
・「{a}^{b}」と入力すると「${a}^{b}$」となります. 「\sqrt{a}」と入力すると「$\sqrt{a}$」となります.
・「\log_{a}{b}」と入力すると「$\log_{a}{b}$」となります. ただし, 底(a)が$e$である場合は「\log{b}」と入力すると「$\log{b}$」となるのでこちらの表記で提出してください.
・この問題が有限値収束することは保証されています.

$AB>AC$なる鋭角三角形$ABC$について, 内心を$I$, 内接円を$\omega$とし, $\omega$と辺$BC,CA,AB$の接点をそれぞれ$D,E,F$とします. 辺$BC$上に点$P$を, 線分$FP$が線分$AD$と平行になるようにとり, 円$ADF$と円$AIB$の交点を$K(\ne{A})$とします. ここで, 直線$DK$と直線$EF$の交点を$Q$とすると
$$
BP:FQ=5:2\sqrt6, {\quad}\angle{EFP}=\angle{EKF}
$$
が成り立ちました. 線分$EP$と線分$AD$の交点を$R$とするとき, $\Large{\frac{ER}{EF}}$の値は整数$a,b,c$を用いて$\Large{\frac{b+\sqrt{c}}{a}}$と表せるので, $a+b+c$の値を解答してください.

$AB>AC$なる鋭角三角形$ABC$について重心を$G$, 辺$BC$の中点を$M$, 辺$AB$の中点を$N$とします. 点$D$を円$MNC$上かつ直線$CA$に関して点$B$と反対側になるように取ったところ, 以下が成立しました.
$$CG=DG, AC=MD, AD=9, MB=19$$
このとき, 三角形$ABC$の面積の$2$乗を求めてください。

問題文

あ～　ああああ～　ああああ～　ああああ～
あぁあ　あぁあ　あぁああ～　ああ☆

ああ♪あぁああぁああぁあ　あ漢あああ(あああ！)
漢あアアアアあああああ(あああ！)
あああ(ああぁ！)　漢漢漢(ああぁ！)
漢漢あアアアアアア☆
ああ♪あぁああぁああぁあ　漢漢あ(あああ！)
アァアあアァアアァあアアアーアァア(あああ！)
あああ(ああぁ！)　ああああ漢(ああぁ！)
漢ああ　＂あぁあああぁ！＂

ああああアアアアア　アアアァア♪アァア♪
アアあ漢ああ　あああああああああ
あああああああ AA！アアーアア
あーああ…アアァ？(AAA！)アー！(AAA！)
アアア！(ああーあ！！！！！)

あぁああぁああああアァアアアアアァア(あぁあぁ！)
アァアアァアあああああ　ああぁあ～あ(あぁあぁ！)
あああああああああああ漢ああ
アアァアアあ漢あアァアア！(あぁあぁあぁあぁ！)
あぁああぁああああアァアアアアアァア(あぁあぁ！)
アァアアァアあ漢漢あ　ああぁあ～あ(あぁあぁ！)
あぁああぁああああああアーアあ漢
ああああああああぁあ～！(あ～あ～あ～あ～)
あ・あ・あ・あ…☆

あ～　ああああ～　ああああ～　ああああ〜
あぁあ　あぁあ　あぁああ～　ああ☆

ああ♪あぁああぁああぁあ　漢あああ(あああ！)
ああああアアアああ漢漢あぁ(あああ！)
アアアア(ああぁ！)　あああアアァ(ああぁ！)
あぁああ漢ああぁあ！
ああ♪あぁああぁああぁあ　漢あ漢(あああ！)
アアアあ漢あああああああ(あああ！)
あ漢あ(ああぁ！)　漢あああ(ああぁ！)
漢ああアアアア☆

ああああアアアァ　アアァアアア♪アアア♪
アアあ漢あああ　あああああああああ
あああああああ AA　アァアー！
あーああ…アアァ？(AAA！)アー！(AAA！)
アア！(ああーあ！！！！！)

あぁああぁああああアァアアアアアァア(あぁあぁ！)
あぁああぁああアアアあ　あああ～あ！(あぁあぁ！)
あああああああああああ漢ああ
あああああ漢あアアア！(ア～ア～ア～ア～♪)
あぁああぁああああアァアアアアアァア(あぁあぁ！)
あぁああぁあああ漢あ　あぁああ～あ(あぁあぁ！)
アァアアァアあああああアーアあ漢
あああああああああ～！(あ～あ～あ～あ～)
あ・あ・あ・あ…☆

ああああアアアア　アァーアアア♪アアア♪
アアあ漢漢ああ　ああぁああぁああぁ
アアアァああああ AA　アァアー！
あーああ…アアァ？(AAA！)アー！(AAA！)
アアアア！(ああーあ！！！！！)

あぁああぁああああアァアアアアアァア(あぁあぁ！)
アァアアァアあああああ　ああぁあ～あ(あぁあぁ！)
あああああああああああ漢ああ
アアァアアあ漢あアァアア！(あぁあぁあぁあぁ！)
あぁああぁああああアァアアアアアァア(あぁあぁ！)
アァアアァアあ漢漢あ　ああぁあ～あ(あぁあぁ！)
あぁああぁああああああアーアあ漢
ああああああああぁあ～！(あ～あ～あ～あ～)
あ・あ・あ・あ…☆

あ～　ああああ～　ああああ～　ああああ～
あぁあ　あぁあ　あぁああ～　ああ☆

解答形式

曲名を入力

問題

二次関数$P=x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+2x_{2}^{2}+2x_{2}x_{3}+2x_{3}^{2}+\cdots +2x_{n}^{2}+2x_{n}+3$
があり、$x_{1}$から$x_{n}$までの値を実数の範囲内で個々に変化させていくとき、最小値を求めよ。

問題

$P=w^{2}+5x^{2}+6y^{2}+10z^{2}+2wx+2wy+2wz-6xy+10xz-10yz+6y-16z+23$
において$w,x,y,z$の値を実数の範囲内で個々に変化させていくとき、最小値とそのときの$w,x,y,z$の値を求めよ。

解答形式

一行目に$w$の値を
二行目に$x$の値を
三行目に$y$の値を
四行目に$z$の値を
五行目に最小値を答えてください

${}$　単語を並び替え、スペースを詰めてしまった英文形式のクイズ「QuizShuffleConcatenateAnd」第11問です。マイペースに数を重ねています。どうか気ままにお付き合いください。
　解くにあたって辞書やネット検索はご自由にどうぞ。

解答形式

${}$　元に戻した英文に日本語で答えてください。今回は「カタカナで5文字」です。

例題

inhighestwhatjapantheismountain
　　　　　↓　↓　↓
${}$　これを元に戻すと
What is the highest mountain in Japan?
となるので、答えは「富士山」となります。