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問題文
三角形 $ABC$ があり, 辺 $BC$ の中点を $M$ とします.
$$BC=14 AM=9 \tan{\angle{BAC}}=2$$
が成り立つとき, 三角形 $ABC$ の面積を求めてください.
解答形式
注意事項に沿って解答してください.
問題文
$AB < AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H,$ 線分 $BC$ の中点を $M$ とします. 線分 $AC$ 上に点 $P$ を $\angle{PMH}=90^\circ$ を満たすようにとると,
$$AP=7 PC=4 \cos{\angle{ACB}}=\dfrac{3}{5}$$
が成り立ちました. 三角形 $ABC$ の面積を求めてください.
解答形式
注意事項に沿って解答してください.
問題文
正整数 $n$ に対し， $n$ 以下の正整数のうち $n$ と互いに素であるものの個数を $ \varphi(n)$ ，$n$ の正の約数の個数を $d(n)$ とします．
このとき，以下の式が成り立つような正整数の組 $(a,b)$ であって $a$ と $b$ がともに $20$ 以上の素因数を持たないようなものを全て求めてください．
$$
a^2 + b^2 = \sqrt{d(b)}(ab - \varphi(a^2))
$$
解答形式
条件を満たす $(a,b)$ 全てについての $ab$ の総積を $P$ とします．$d(P)$ を入力してください．なお，必要であれば電卓を用いても構いません．
正の整数 $m,n$ に対し$x$ が非負整数全体を動くとき次の式の取りうる値の個数を $f(m,n)$と定めます.
$$\dfrac{\left\lbrace \dfrac{x}{m} \right\rbrace}{n}-\dfrac{\left\lbrace\dfrac{x}{n}\right\rbrace}{m}$$
次の和を素数 $997$ で割った余りを求めてください.
$$\displaystyle\sum_{k=1}^{3^{1000}}f(k,3^{1000})$$
ただし $\lbrace y \rbrace$ は $y$ の小数部分を表す.
$108$ の正の約数全体の集合を $S$ とします．また$,$整数からなる集合 $X$ の要素のうち正の整数 $p$ で割り切れる最大の回数が $n$ であるようなものの個数を $f_{p,n}(X)$ とします. $S$ の部分集合 $U$ であって次の$2$つの条件をともに満たすようなものはいくつありますか$?$
条件$1$ $:$ $f_{2,0}(U)$$,$$f_{2,1}(U)$$,$$f_{2,2}(U)$ は相異なる$.$
条件$2$ $:$ $f_{3,0}(U)$$,$$f_{3,1}(U)$$,$$f_{3,2}(U)$$,$$f_{3,3}(U)$ は相異なる$.$
ただし $p \nmid x$であるとき $x$ が $p$ で割り切れる最大の回数は $0$ とします$.$