全問題一覧
問題文
$$\sum^{100}_{k=1}\left\lfloor \sqrt[3]{1001001-k^3}\right \rfloor$$
を $2$ で割った余りはいくつですか？
解答形式
非負整数で解答してください。
提出制限
この問題の提出制限は $1$ 回です。
問題文
正の有理数に対してスコアを次のように定義する。
有理数に対して正則連分数の数列を $[a_0;a_1,a_2,...,a_n]$とした時、$\sum^{n}_{i=0}a_i$
連分数を知らない人は下のWikipediaを見ても良いです
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B0
例えば、$9$ のスコアは $9$ で、$\frac{7}{4}$ のスコアは $5$ で、$\frac{1}{7}$ のスコアは $7$ です。
スコアが $10$ であるような正の有理数の中で $100$ 番目に小さいものを解答してください。
解答形式
答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて、$\frac{b}{a}$ と表せるので $a+b$ を解答してください。
提出制限
この問題の提出制限は $5$ 回です。
問題文
$40000000001$ は二つの異なる素数の積で表されます。その二つの素数のうち小さい方を解答してください。
解答形式
非負整数で解答して下さい。
提出制限
この問題の提出制限は10回です。
問題文
左から右に一列に並んだ $n$ 色のボールがあります。AliceとBobはボールを使ったデスゲームで遊ぶようです。
Aliceが先手でそれ以降は交互に手番を行います。
各手番のプレイヤーは隣り合う $2$ つのボールを選択し、その位置を入れ替えます。この時、その $2$ つのボールの組が(自分相手関係なく)過去に選ばれていた場合、全てのボールが大爆発し、手番のプレイヤーは死にます。死ななかった方が勝ちです。
例: $n=3$ の場合
最初のボールの並びを (赤,青,黄) とします。
Aliceの手番
赤と青を入れ替えました。盤面:(青,赤,黄)
Bobの手番
赤と黄を入れ替えました。盤面:(青,黄,赤)
Aliceの手番
黄と青を入れ替えました。盤面:(黄,青,赤)
Bobの手番
赤と青を入れ替えようとしますが、赤と青の組は最初のターンで選ばれています。全てのボールが大爆発し、Bobは死にました。
Aliceの勝利です。
Bobが死んでしまったのでゲームが出来なくなってしまいました...
あなたが代わりに参加して下さい。
あなたが負けた場合は全ての問題が大爆発し、得点が-5000兆点になります。
今回は $n=333$ です。あなたが先手か後手を選んでください。
解答形式
あなたが選ぶ手番を先手か後手の漢字二文字で解答してください。
この問題に不正解の判定を受けた場合、あなたのUSOMO004での得点は $-5000000000000000$ 点になります。
提出制限
この問題の提出制限は $1$ 回です。
問題文
どうやらUSOMO004においてChatGPTを利用し不正を働いた人物がちょうど1人いるらしい。容疑者は一郎、二郎、三郎、四郎、五郎、あなたの6人に絞られた。
一郎「三郎、五郎、あなたの内誰かが犯人だ。」
二郎「五郎は犯人じゃない。」
三郎「一郎は嘘をついていない。」
四郎「俺は犯人じゃない！」
五郎「俺も犯人じゃない！」
犯人の1人以外は全員本当の事を言っているはずである。
犯人は一体誰だろうか。
解答形式
犯人を漢字二文字で解答してください。自分が犯人である場合は自分と解答してください。
提出制限
この問題の提出制限は $1$ 回です。
問題文
10の倍数でない正の整数 $n$ に対し, $f(n)$は, 十進法表示で $n$ を $1$ の位から逆の順番で読んで得られる正の整数として定めます. たとえば$f(123456789) = 987654321$です. $n+f(n)$が81の倍数となるような十進法で10桁の$n$の個数を解答してください．
備考
本問は大学への数学2024年12月学コン3番に掲載されている自作問題です.
問題文
三角形$ABC$において，$A,B,C$から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とし，$AD,BC$の中点をそれぞれ$M,N$とする.$A N$と$EF$の交点を$P$とし，$DP$と$MN$の交点を$Q$，三角形$ABC$の外接円と$AQ$が再び交わる点を$R$としたとき，$$AN＝10 AB＝9 NR＝3$$が成立した.このとき，$AC²$の値を解答してください.
解答形式
半角で解答してください.
問題文
三角形 $T$ の一つの辺の長さは平方数で，残りの辺の長さは素数であるとする．また，$T$ の面積は整数で，外接円の直径は素数であるとする．$T$ の各辺の長さを求めよ．
解答形式
$T$の3辺の長さの総和としてありうる値の総和を解答してください。（論証は解説を参照してください。）
備考
2018年3月の大学への数学「読者と作るページ」に掲載された問題です。
問題文
(1) $\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$を用いて, $\displaystyle\lim_{t\to +0}\int_{t}^{1} \log{\sin{\frac{\pi}{2}\theta}}\, d\theta = -\log{2}$を示せ(極限値の存在は認めてよい). これを用いて$\displaystyle\lim_{t\to + 0}\int_{t}^{1} \dfrac{\theta\cos{\frac{\pi}{2}\theta}}{\sin{\frac{\pi}{2}\theta}} \, d\theta$ を求めよ.
(2) $\displaystyle\lim_{n\to \infty} \left(\int_{\frac{1}{n}}^{1} \sqrt[n]{\sin{\dfrac{\pi}{2}\theta}} \, d\theta\right)^{n}
$を求めよ.
解答形式
電卓などを利用することで, (1)の答えを $L_1$ とし, (2)の答えを $L_2$ とするとき, $L_1 + L_2$ の値を小数点第5位まで表示したものを回答してください. （例：0.1234567なら0.12345と解答する）
問題文
$\sqrt[abc]{a! + b! + c!}$が整数となるような正の整数の組$(a,b,c)$をすべて求めよ.
解答形式
すべての組に対する $a+b+c$ の値の総和を解答してください。論証は解説を参照してください。