[C] 2026 Triangle

問題文

$60$ 以下の正整数 $n$ に対して，それを $2,3,4,5$ で割ったあまりをそれぞれ $a,b,c,d$ とします．$xy$ 平面上に $P(a,b)$ と $Q(c,d)$ をとったとき $PQ= 1$ となるような $n$ の個数を解答してください．

問題文

$\dfrac{51-n}{n-1}$ が平方数となるような整数 $n$ の総和を解答してください．

(13:17追記　 $0$ も平方数に含むとします)

問題文

平方因子を持たない正整数 $n$ であって，$\dfrac{\phi(n)}{\gcd(n,\phi(n))} = 18$ を満たすものの総和を解答してください．

問題文

$30$ の正の約数を並べ替えた数列 $A$ としてありうるもの全てに対する，以下の操作方法の個数の総和を解答してください．

• 「連続する $2$ 数 $A_i,A_{i+1}$ であって $A_i \mid A_{i+1}$ を満たすものを $1$ つ選び，それらをともに $A$ から削除する」という操作を $4$ 回行い，$A$ を空にする．

問題文

$S=\lbrace 0,1, \ldots , 30 \rbrace$ とします．関数 $f:S \rightarrow S$ であって，以下を満たすようなものの個数を $N$ とします．

• 任意の $x,y \in S$ について，$x^{12}-y^{12}$ が $31$ の倍数ならば，$f(x)^{25}-f(y)^{25}$ も $31$ の倍数．

$N = a \cdot b^c$ であるような正整数 $a,b,c$ について，$a+b+c$ の最小値を解答してください．

問題文

$(a_1,a_2,...,a_{900})$ を各項が $1$ 以上 $900$ 以下であるような整数の組とする．
$i = 1, 2, ..., 900$ について
$$P_i = \displaystyle\prod_{k = 1}^{i} a_k$$
とし，$P_i$ を $900$ で割った余りの取りうる値の個数を $C$ とする．このとき，$C$ の取りうる値のうち最大のものを求めよ．

解答形式

非負整数値で解答してください．

問題文

$$AC = AD，2\angle CBD = \angle CAD$$ をみたす凸四角形 $ABCD$ について，対角線の交点を $E$ とする． また，$ABD$ の外接円と直線 $AC$ の交点を $F$ とする．
$$AE = DE = 6，AB:BF = 3:4$$ が成立するとき，$CD^2$ は正整数 $a, b$ と平方因子を持たない正整数 $c$ を用いて $a - b\sqrt c$ と表されるため，$a + b + c$ を求めよ．
ただし，$XY$ で線分 $XY$ の長さを表すものとする．

解答形式

非負整数値で解答してください．

問題文

長さ $60$ の文字列 $S$ を
$S=\underbrace{ABC \cdots \cdots ABC}_{ABC\text{ が }20 \text{ 個}}$
とする．
$S$ から順番を保ったまま $5$ 文字選ぶ方法であって，選んだ $5$ 文字がこの順に「$ABCBA$」 となるような選び方は何通りあるか．

解答形式

非負整数値で解答してください．

関数$A(n),B(n)$を
$$
A(n)=(1\le x \le nを満たす1001と互いに素な整数xの個数)\\
B(n)=(n\le x \le 1001を満たす1001と互いに素な整数xの個数)
$$
と定めるとき,次の値を求めてください.
$$
\sum_{n=1}^{1000}\quad \frac{A(n)^2}{A(n)-B(n)}
$$

問題文

$56076923$ の素因数の総和を求めてください.
ただし, 重複する素因数は異なるものとして考えます.

解答形式

例）非負整数を答えてください.

次のルールで整数を10個1列に並べて書く
・左端は21である
・隣り合う2数について、右の数は左の数の2倍の数か、左の数から3を引いたものである
あり得る整数の列はいくつありますか

問題文

鋭角三角形 $ABC$ について、外接円の劣孤 $BC$ の中点を $M$ とする。$ABC$ の外接円の$A$ における接線と直線 $BC$ の交点を $P$ とするとき、
$$AB=8，　BC=12，　\angle PAB=\angle BAM$$ が成立した。このとき $AP$ は互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac a b $ と表せるため，$a +b$ を求めよ．
ただし，$XY$ で線分 $XY$ の長さを表すものとする．

解答形式

非負整数値で解答してください．