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問題文

鋭角三角形 $ABC$ について、劣孤 $BC$ の中点を $M$ とする。$ABC$ の外接円の$A$ における接線と直線 $BC$ の交点を $P$ とするとき、
$$AB=8，　BC=12，　\angle PAB=\angle BAM$$ が成立した。このとき $AP$ は互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac a b $ と表せるため，$a +b$ を求めよ．
ただし，$XY$ で線分 $XY$ の長さを表すものとする．

解答形式

非負整数値で解答してください．

問題文

$3\times3$ のマス目の各マスに $1$ 以上 $9$ 以下の整数を重複しないように $1$ つずつ書き込む．どの行，列についても書き込まれた $3$ 数の和が $3$ で割り切れるように数字を書き込む方法は何通りあるか．
ただし，回転や裏返しにより一致する書き込み方も異なるものとして数える．

解答形式

非負整数値で解答してください．

問題文

正の整数 $a,b,c,d$ が，
$\gcd(a,b,c) = 2$
$\gcd(a,b,d) = 3$
$\gcd(a,c,d) = 5$
$\gcd(b,c,d) = 7$
をすべて満たしているとき，$a + b + c + d$ の取りうる値の最小値を求めよ．

解答形式

非負整数値で解答してください．

問題文

$(a_1,a_2,...,a_{900})$ を各項が $1$ 以上 $900$ 以下であるような整数の組とする．
$i = 1, 2, ..., 900$ について
$$P_i = \displaystyle\prod_{k = 1}^{i} a_k$$
とし，$P_i$ を $900$ で割った余りの取りうる値の個数を $C$ とする．このとき，$C$ の取りうる値のうち最大のものを求めよ．

解答形式

非負整数値で解答してください．

問題文

$AB < AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H,$ 線分 $BC$ の中点を $M$ とします. 線分 $AC$ 上に点 $P$ を $\angle{PMH}=90^\circ$ を満たすようにとると,
$$AP=7　　PC=4　　\cos{\angle{ACB}}=\dfrac{3}{5}$$
が成り立ちました. 三角形 $ABC$ の面積を求めてください.

解答形式

注意事項に沿って解答してください.

問題文

$$AC = AD，2\angle CBD = \angle CAD$$ をみたす凸四角形 $ABCD$ について，対角線の交点を $E$ とする． また，$ABD$ の外接円と直線 $AC$ の交点を $F$ とする．
$$AE = DE = 6，AB:BF = 3:4$$ が成立するとき，$CD^2$ は正整数 $a, b$ と平方因子を持たない正整数 $c$ を用いて $a - b\sqrt c$ と表されるため，$a + b + c$ を求めよ．
ただし，$XY$ で線分 $XY$ の長さを表すものとする．

解答形式

非負整数値で解答してください．

問題文

正整数に対して定義され非負整数値をとる関数 $f$ が以下を満たしています．

• 任意の正整数 $x,y$ について $f(xy)=f(x) \oplus f(y)$

• $x$ と $y$ が互いに素ならば $f(xy)=f(x)+f(y)$

このような関数 $f$ について，以下を満たす正整数の組 $(x,y)$ の個数を $c(f)$ とします．$c(f)$ がとりうる値は有限個なので，その総和を解答してください．

• $x,y$ はともに $30^{10}$ の約数である．

• $f(xy)=f(x)+f(y)$

追記: $\oplus$ はビットごとの排他的論理和です

問題文

$xy$ 平面上に $3$ つの円
$C_1:x^2+y^2=1$
$C_2:(x-10)^2+(y-100)^2=25$
$C_3:(x-10000)^2+y^2=2025$
がある．
$C_1$ と $C_2$ の共通外接線の交点を $A$，$C_1$ と $C_3$ の共通外接線の交点を $B$，$C_2$ と $C_3$ の共通外接線の交点を $C$ とする．
$AB+BC-CA$ の値を求めよ．

解答形式

整数で回答してください．

問題文

集合 $\{ 1,2,3,\cdots,10 \}$ を $S$ とおきます。 $S$ の各要素に対して定義され、 $S$ 上に値をとる関数 $f$ であって、任意の $S$ の要素 $x$ に対して $f(f(f(x))) = x$ が成り立つ $f$ の総数を解答してください。

解答形式

算用数字で解答してください

問題文

三角形 $ABC$ の垂心を $H$ , 重心を $G$ とします.
$$AG=9　　HG=2　　\angle{AGH}=60^\circ$$
が成り立つとき, 線分 $BC$ の長さを求めてください.

解答形式

注意事項に沿って解答してください.

問題文

以下の虫食い算を解きなさい．

ここで$□,A,B,C,D$には$0$から$9$までの整数が$1$つずつ入り，それぞれの$1$桁目の数字は$0$ではないとします．

ただし，異なる$□$に同じ数字が入っても構わず，$A,B,C,D$が相異なる値を取るとも限らないことに注意して下さい．

解答形式

$1000A+100B+10C+D$の正の約数の総和を解答して下さい．

問題文

ゲームを始める前に、プレイヤーは以下の5枚のカードから1枚を選ぶ.
Aのカードには「1、4、7、9」
Bのカードには「1、3、8、9」
Cのカードには「2、3、6、9」
Dのカードには「2、4、5、9」
Eのカードには「5、6、7、8、9」
という数字が書かれている.
カードを1枚選んだのち, スロットを1度回す. 出た数字が選んだカードに書かれていれば勝ち, 書かれていなければ負けである.
このゲームについて調べたところ, AからEまでのどのカードを選んでも勝つ確率は$\dfrac12$であった.
このとき, スロットを1度回して「9」が出る確率を求めよ.

解答形式

答えは互いに素な正の整数$ a, b $を用い$\dfrac{a}{b}$と表されるので$a+b$を解答せよ.