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問題文

$3\times3$ のマス目の各マスに $1$ 以上 $9$ 以下の整数を重複しないように $1$ つずつ書き込む．どの行，列についても書き込まれた $3$ 数の和が $3$ で割り切れるように数字を書き込む方法は何通りあるか．
ただし，回転や裏返しにより一致する書き込み方も異なるものとして数える．

解答形式

非負整数値で解答してください．

問題文

長さ $60$ の文字列 $S$ を
$S=\underbrace{ABC \cdots \cdots ABC}_{ABC\text{ が }20 \text{ 個}}$
とする．
$S$ から順番を保ったまま $5$ 文字選ぶ方法であって，選んだ $5$ 文字がこの順に「$ABCBA$」 となるような選び方は何通りあるか．

解答形式

非負整数値で解答してください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ について、外接円の劣孤 $BC$ の中点を $M$ とする。$ABC$ の外接円の$A$ における接線と直線 $BC$ の交点を $P$ とするとき、
$$AB=8，　BC=12，　\angle PAB=\angle BAM$$ が成立した。このとき $AP$ は互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac a b $ と表せるため，$a +b$ を求めよ．
ただし，$XY$ で線分 $XY$ の長さを表すものとする．

解答形式

非負整数値で解答してください．

問題文

$$AC = AD，2\angle CBD = \angle CAD$$ をみたす凸四角形 $ABCD$ について，対角線の交点を $E$ とする． また，$ABD$ の外接円と直線 $AC$ の交点を $F$ とする．
$$AE = DE = 6，AB:BF = 3:4$$ が成立するとき，$CD^2$ は正整数 $a, b$ と平方因子を持たない正整数 $c$ を用いて $a - b\sqrt c$ と表されるため，$a + b + c$ を求めよ．
ただし，$XY$ で線分 $XY$ の長さを表すものとする．

解答形式

非負整数値で解答してください．

問題文

$(a_1,a_2,...,a_{900})$ を各項が $1$ 以上 $900$ 以下であるような整数の組とする．
$i = 1, 2, ..., 900$ について
$$P_i = \displaystyle\prod_{k = 1}^{i} a_k$$
とし，$P_i$ を $900$ で割った余りの取りうる値の個数を $C$ とする．このとき，$C$ の取りうる値のうち最大のものを求めよ．

解答形式

非負整数値で解答してください．

問題文

ゲームを始める前に、プレイヤーは以下の5枚のカードから1枚を選ぶ.
Aのカードには「1、4、7、9」
Bのカードには「1、3、8、9」
Cのカードには「2、3、6、9」
Dのカードには「2、4、5、9」
Eのカードには「5、6、7、8、9」
という数字が書かれている.
カードを1枚選んだのち, スロットを1度回す. 出た数字が選んだカードに書かれていれば勝ち, 書かれていなければ負けである.
このゲームについて調べたところ, AからEまでのどのカードを選んでも勝つ確率は$\dfrac12$であった.
このとき, スロットを1度回して「9」が出る確率を求めよ.

解答形式

答えは互いに素な正の整数$ a, b $を用い$\dfrac{a}{b}$と表されるので$a+b$を解答せよ.

問題文

集合 $\{ 1,2,3,\cdots,10 \}$ を $S$ とおきます。 $S$ の各要素に対して定義され、 $S$ 上に値をとる関数 $f$ であって、任意の $S$ の要素 $x$ に対して $f(f(f(x))) = x$ が成り立つ $f$ の総数を解答してください。

解答形式

算用数字で解答してください

問題文

ある正の整数の組$(a,b,c)$が以下の等式を満たした. このとき, この$3$数の組としてありうるものはどれだけ存在するか. 以下の選択肢から選び回答せよ. あ もしくは い を選ぶ際はその組の数も求めよ.
$a^2+b^2=2026+c^2$
　あ 10000組未満　　い 10000組以上だが有限個しか存在しない　　う無数に存在する

解答形式

あ,または い を解答される場合は組の数を, う を解答される場合は う を入力ください.

問題文

正整数 $n$ に対し，$100$ との正の公約数の個数を $f(n)$ とおくとき，以下の値を求めよ.　
$$\displaystyle \sum_{k=1}^{100} f(k)$$

問題文

πナポゥ君が経営するお店では， 馬 $1$ から馬 $10^9$ までの $10^9$ 種類の馬の置物を売っています．それぞれの置物は十分な個数あり，馬 $x$ の価格は $x$ 円です．

また，このお店の置物には特別な力が宿っています．置物の購入を終えたとき，あなたのパワーは購入した馬の個数を $A$，購入した馬の種類数を $B$ として $A + B^2$ になります．

例えば，$28$ 円を支払って馬 $3$ を $1$ 個，馬 $5$ を $5$ 個買ったとき、あなたのパワーは $6 + 2^2 = 10$ になります。

このとき， $314$ 円で得られるパワーの最大値を解答してください．

解答形式

算用数字で回答してください．

問題文

正三角形 $ABC$ の内部に点 $P$ をとったところ，以下が成立しました．

$$AP = 10 , BP = 14 , CP = 16$$

このとき，正三角形 $ABC$ の面積を求めて下さい．

解答形式

求める値を $2$ 乗した値は正整数となるので，その値を求めて下さい．

問題文

正の整数の組$(a,b)$であって, $a^b-ab=k$を満たすようなものが存在する2026未満の正の整数$k$であって最大のものを求めよ.

解答形式

正整数で解答して下さい