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問題文

鋭角三角形 $ABC$ について、外接円の劣孤 $BC$ の中点を $M$ とする。$ABC$ の外接円の$A$ における接線と直線 $BC$ の交点を $P$ とするとき、
$$AB=8，　BC=12，　\angle PAB=\angle BAM$$ が成立した。このとき $AP$ は互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac a b $ と表せるため，$a +b$ を求めよ．
ただし，$XY$ で線分 $XY$ の長さを表すものとする．

解答形式

非負整数値で解答してください．

問題文

$3\times3$ のマス目の各マスに $1$ 以上 $9$ 以下の整数を重複しないように $1$ つずつ書き込む．どの行，列についても書き込まれた $3$ 数の和が $3$ で割り切れるように数字を書き込む方法は何通りあるか．
ただし，回転や裏返しにより一致する書き込み方も異なるものとして数える．

解答形式

非負整数値で解答してください．

問題文

$$AC = AD，2\angle CBD = \angle CAD$$ をみたす凸四角形 $ABCD$ について，対角線の交点を $E$ とする． また，$ABD$ の外接円と直線 $AC$ の交点を $F$ とする．
$$AE = DE = 6，AB:BF = 3:4$$ が成立するとき，$CD^2$ は正整数 $a, b$ と平方因子を持たない正整数 $c$ を用いて $a - b\sqrt c$ と表されるため，$a + b + c$ を求めよ．
ただし，$XY$ で線分 $XY$ の長さを表すものとする．

解答形式

非負整数値で解答してください．

問題文

$(a_1,a_2,...,a_{900})$ を各項が $1$ 以上 $900$ 以下であるような整数の組とする．
$i = 1, 2, ..., 900$ について
$$P_i = \displaystyle\prod_{k = 1}^{i} a_k$$
とし，$P_i$ を $900$ で割った余りの取りうる値の個数を $C$ とする．このとき，$C$ の取りうる値のうち最大のものを求めよ．

解答形式

非負整数値で解答してください．

問題文

正の整数 $a,b,c,d$ が，
$\gcd(a,b,c) = 2$
$\gcd(a,b,d) = 3$
$\gcd(a,c,d) = 5$
$\gcd(b,c,d) = 7$
をすべて満たしているとき，$a + b + c + d$ の取りうる値の最小値を求めよ．

解答形式

非負整数値で解答してください．

問題文

ゲームを始める前に、プレイヤーは以下の5枚のカードから1枚を選ぶ.
Aのカードには「1、4、7、9」
Bのカードには「1、3、8、9」
Cのカードには「2、3、6、9」
Dのカードには「2、4、5、9」
Eのカードには「5、6、7、8、9」
という数字が書かれている.
カードを1枚選んだのち, スロットを1度回す. 出た数字が選んだカードに書かれていれば勝ち, 書かれていなければ負けである.
このゲームについて調べたところ, AからEまでのどのカードを選んでも勝つ確率は$\dfrac12$であった.
このとき, スロットを1度回して「9」が出る確率を求めよ.

解答形式

答えは互いに素な正の整数$ a, b $を用い$\dfrac{a}{b}$と表されるので$a+b$を解答せよ.

問題文

半径2の円に内接する正九角形がある. 9個の頂点には, 円周に沿って順番に1から9までの番号をつける. 円の中心を$O$とし, さらに$O$を中心とする半径1の円を描く. 1番目の頂点と4番目の頂点を結ぶ対角線を必ず含むように, 内側の円の内部(周上を除く)を通らず, 互いに内部(端点は除く)で交わらない対角線を選ぶ. このとき, 選べる対角線の最大本数と, その最大本数を達成する選び方の総数を求めよ.

解答形式

選べる対角線の最大本数と, その最大本数を達成する選び方の総数を足した正整数を解答して下さい。

問題文

ある正の整数の組$(a,b,c)$が以下の等式を満たした. このとき, この$3$数の組としてありうるものはどれだけ存在するか. 以下の選択肢から選び回答せよ. あ もしくは い を選ぶ際はその組の数も求めよ.
$a^2+b^2=2026+c^2$
　あ 10000組未満　　い 10000組以上だが有限個しか存在しない　　う無数に存在する

解答形式

あ,または い を解答される場合は組の数を, う を解答される場合は う を入力ください.

問題文

正の整数の組$(a,b)$であって, $a^b-ab=k$を満たすようなものが存在する2026未満の正の整数$k$であって最大のものを求めよ.

解答形式

正整数で解答して下さい

問題文

（10進法で）正の整数を書き、各桁の数字を赤か青に塗ったものを色付き整数と定義する。
例えば、57という数字を色付き整数で表すと、5,7をそれぞれ赤、青に塗るかのそれぞれ2通りあるので4通りの表し方がある。
次の条件を満たす色付き整数の個数を求めよ。
・各桁の数の総和が10である。
・どの桁にも0は使われていない。

解答形式

半角整数で入力してください。

問題文

以下の虫食い算を解きなさい．

ここで$□,A,B,C,D$には$0$から$9$までの整数が$1$つずつ入り，それぞれの$1$桁目の数字は$0$ではないとします．

ただし，異なる$□$に同じ数字が入っても構わず，$A,B,C,D$が相異なる値を取るとも限らないことに注意して下さい．

解答形式

$1000A+100B+10C+D$の正の約数の総和を解答して下さい．

問題文

SKG学院の文化祭では，$1$から$10$の目が一つずつ書かれた十面体の歪んだダイスを配布しています．

このダイス$10$個に$1$から$10$までの番号をつけることにしました．

ここで以下のような事実が分かっています．
また$1≦n≦10$を満たす任意の整数$n$について，番号$s$がついたダイスを一回振って$n$の目が出る確率を$a_{n^s}$と書くことにします．

・$a_{1^s}:a_{2^s}…a_{9^s}:a_{10^s}=1^s:2^s\cdots9^s:10^s$を満たす．

この$10$個のダイスを同時に一回振る時，出目の積の期待値を求めて下さい．

解答形式

半角数字で入力して下さい．