No7.⑨を図形として見てみようと思って作問し始めた問題です

3辺の長さがそれぞれ自然数の三角形であり、3辺の長さの合計が1200になるという。このような条件を満たす三角形の個数を求めよ。

問題文

モニターに0が表示されている。ここには3つのボタンがあり、
・ボタン$A$を押すとモニターの数字が1増える。
・ボタン$B$を押すとモニターの数字が2増える。
・ボタン$C$を押すとモニターの数字が3増える。
ボタン$A～C$をそれぞれ任意の回数押したとき、
最後に表示される数字が300以下の非負の3の倍数となるようなボタンの押し方の総数を求めよ。ただし、ボタンを押す順番は区別しない。

解答形式

例）半角数字で入力してください。

問題文

ある食堂では, 27日間各参加者に毎日, 食パン・白米・納豆のいずれか1種類を配る. ここで, 参加者のどの2人についても, 受け取る食品の組合せ9通りが, それぞれちょうど3日ずつ現れるようにしたい. ただし, 組合せは2人の順序を区別して数えるものとする. 最大何人まで参加者を増やせるか.

解答形式

正整数で解答して下さい。(単位不要です)

問題文

$AB=BC$で、面積が$2025$であるような二等辺三角形$ABC$がある。$AB(=BC)$の最小値を求めよ。

解答形式

半角数字で$AB^2(=BC^2)$の値を入力してください。

問題文

すべての内角の大きさが$120$である六角形$ABCDEF$がある. 対角線$AD, BE$の交点を$P$, $BE, CF$の交点を$Q$, $CF, AD$の交点を$R$とする. また$P$から線分$AF$に引いた垂線の足, $Q$から線分$DE$に引いた垂線の足, $R$から線分$BC$に引いた垂線の足をそれぞれ$X, Y, Z$とすると三角形$XYZ$は正三角形となった. $AB=2, BC=4$のとき, 六角形$ABCDEF$の面積は一辺の長さが1の正三角形の面積の何倍か.

解答形式

正整数で解答して下さい。(単位不要です)

問題文

以下の連立方程式を満たすような実数の組$(a,b,c,d)$の個数を求めよ。
$$
\begin{cases} ab^2c^3d^4=1 \\ a^4bc^2d^3=1\\a^3b^4cd^2=1\\a^2b^3c^4d=1\end{cases}
$$

解答形式

半角数字で個数を入力してください。

問題文

整数 $x$ と素数 $p$ が、以下の連立合同式を満たす。

$x \equiv p \pmod{9797}$
$x \equiv 11p + 69 \pmod{9991}$

この条件を満たす最小の素数 $p$ を求めよ。

解答形式

半角左詰め

問題文

ゲームを始める前に、プレイヤーは以下の5枚のカードから1枚を選ぶ.
Aのカードには「1、4、7、9」
Bのカードには「1、3、8、9」
Cのカードには「2、3、6、9」
Dのカードには「2、4、5、9」
Eのカードには「5、6、7、8、9」
という数字が書かれている.
カードを1枚選んだのち, スロットを1度回す. 出た数字が選んだカードに書かれていれば勝ち, 書かれていなければ負けである.
このゲームについて調べたところ, AからEまでのどのカードを選んでも勝つ確率は$\dfrac12$であった.
このとき, スロットを1度回して「9」が出る確率を求めよ.

解答形式

答えは互いに素な正の整数$ a, b $を用い$\dfrac{a}{b}$と表されるので$a+b$を解答せよ.

関数$A(n),B(n)$を
$$
A(n)=(1\le x \le nを満たす1001と互いに素な整数xの個数)\\
B(n)=(n\le x \le 1001を満たす1001と互いに素な整数xの個数)
$$
と定めるとき,次の値を求めてください.
$$
\sum_{n=1}^{1000}\quad \frac{A(n)^2}{A(n)-B(n)}
$$

問題文

三角形 $ABC$ について，線分 $BC,CA$ の中点を $M,N$ とし，三角形 $AMN$ の外接円と三角形 $ABC$ の外接円，半直線 $AB$ がそれぞれ $A$ でない点で交わったのでそれぞれを $D, E$ とする．$MD=5, AB=34, BE=7$ が成り立つとき，線分 $BC$ の長さの二乗を解答せよ．

問題文

$2025$ 以下の正整数 $n$ であって，
$$\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\displaystyle\sum_{i=j}^{2n-j} {}_{2n-j}C_{i}$$
が $6$ の倍数となるものの総和を求めよ．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

10の倍数でない正の整数 $n$ に対し, $f(n)$は, 十進法表示で $n$ を $1$ の位から逆の順番で読んで得られる正の整数として定めます. たとえば$f(123456789) = 987654321$です. $n+f(n)$が81の倍数となるような十進法で10桁の$n$の個数を解答してください．

備考

本問は大学への数学2024年12月学コン3番に掲載されている自作問題です.