No2.広中杯あるある, 選択肢の問題

問題文

正の整数の組$(a,b)$であって, $a^b-ab=k$を満たすようなものが存在する2026未満の正の整数$k$であって最大のものを求めよ.

解答形式

正整数で解答して下さい

問題文

$\angle B$が鋭角である四角形$ABCD$が以下を満たした. このとき$\angle B$の大きさを求めよ.
$\angle A =70^\circ \quad\angle D=100^\circ\quad BC=CD=DA $

解答形式

正の整数で解答して下さい。(単位不要です)

問題文

ゲームを始める前に、プレイヤーは以下の5枚のカードから1枚を選ぶ.
Aのカードには「1、4、7、9」
Bのカードには「1、3、8、9」
Cのカードには「2、3、6、9」
Dのカードには「2、4、5、9」
Eのカードには「5、6、7、8、9」
という数字が書かれている.
カードを1枚選んだのち, スロットを1度回す. 出た数字が選んだカードに書かれていれば勝ち, 書かれていなければ負けである.
このゲームについて調べたところ, AからEまでのどのカードを選んでも勝つ確率は$\dfrac12$であった.
このとき, スロットを1度回して「9」が出る確率を求めよ.

解答形式

答えは互いに素な正の整数$ a, b $を用い$\dfrac{a}{b}$と表されるので$a+b$を解答せよ.

問題文

角xの大きさを求めなさい

上の図は4×4マスの正方形とそれに内接する円でできている。縦の線を左からA、B、C、D、Eとし、横の線を上からF、G、H、I、Gとする。
点は交点を表している。
追記:縦線Bと横線Iとの交点にも点がありましたが、つけ忘れてしまいました。

解答形式

角度を表す「°」は入りません。数字のみを答えればOKです。
小数が出てきた場合、小数点は省略して答えてください。
100.5°→1005

問題文

すべての自然数nにおいて、

が整数となるか。

解答形式

YESorNOで答えて

問題文

$1$ 以上 $10^7$ 以下の $11$ の倍数全てに対して，それぞれの各位の和の総和を求めてください．

問題文

$2024!$ 以上の正整数 $n$ のうち，$\dfrac{2025!}{n}$ の小数部分が $\dfrac{2025!-67}{2025!}$ より大きいものの個数を求めてください．

問題文

ウサギとカメが、$1000$ $\mathrm{m}$ の距離を競走した。カメは $5$ $\mathrm{m/}$分 の速度で出発し、休むことなく歩き続けた。しかし、進むにつれその速度は $1$ $\mathrm{m}$ 当たり $0.001$ $\mathrm{m/}$分 の割合で連続的に遅くなった。一方、ウサギは $200$ $\mathrm{m/}$分 の速度で走り続けたが、途中で一休みした。 競走の結果、カメはウサギよりも $1$ 分早くゴールした。このとき、ウサギは何分休んでいたか。

解答形式

$\ln{2}=0.693, \ln{5}=1.609$ とし、整数(半角数字)で解答せよ。

問題文

奇数回で当たる確率が $\dfrac{2}{n}$，偶数回で当たる確率が $\dfrac{3}{n}$のくじを$n$回引いた時，少なくとも1回当たる確率を $P_n$，1回以上当たった時，最初の当たりが奇数回で起こる確率を $Q_n$ とするとき，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}Q_n$ を求めてください.

解答形式

求める値は互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので, $a+b$ を解答してください. 数字は半角で入力してください.

問題文

$$
p^{q+r} +q^{p+r} +r^{p+q}が素数となるような10以下の素数の組(p,q,r)の個数を求めよ。
$$

解答形式

半角数字で解答してください。覚悟して解いてください。

問題文

３点A(-1,-2),B(2,1),C(𝑝+𝑞,𝑝-𝑞)
に対して実数𝑝,𝑞が
𝑝²+𝑞²+𝑝+𝑞≦3/2を満たすとする。
このとき３点A,B,Cを通る上に凸な二次関数が
存在しないような点Cの取りうる範囲の面積を求めよ。

解答形式

半角で答えのみ。分母に無理数が来る時は有理化し最も簡単な形で解答してください。
回答の際に一文字目に計算記号が来ないようにしてください。
(ダメな例)-2√2+π→(良い例)π-2√2
また掛け算の記号は省略し分数はa/bの形で表すこと。根号→√ 円周率→π ネイピア数→e

問題文

$m$と書かれたカードからなるカードの束を$m$の束と呼ぶことにします。

$1$の束、$2$の束、$3$の束、$4$の束、$5$の束、$6$の束、$7$の束、$8$の束、$9$の束　が$1$つずつあります。

$A$さんは異なるカードの束を$9$つまで選び、その後$A$さんはこれらのカードの束に対して以下の操作を$n$回行います。
操作
選んだカードの束のうち一つを選びカードを$1$枚引く。

操作を$n$回終えた時点で$A$さんは$n$枚のカードを持っています。$A$さんは持っているカードに書かれている数字の総和と総積が等しくなるようにカードを引きたいです。

このようなカードの引き方が存在する束の選び方の総数を求めてください。

ただし、$n$は$2$以上の整数とし、カードの束にカードはいくらでもあるとします。

解答形式

半角数字で入力してください。